二次函數(shù)的概念—知識講解(提高)

1、二次函數(shù)的概念一知識講解提高學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解函數(shù)的定義、函數(shù)值、自變量、因變量等根本概念；2. 了解表示函數(shù)的三種方法一一解析法、列表法和圖像法；3. 會根據(jù)實際問題列出函數(shù)的關(guān)系式，并寫出自變量的取值圍；4. 理解二次函數(shù)的概念，能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系要點梳理要點一、函數(shù)的概念一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x, y，對于自變量x在某一圍的每一個確定值，y都有惟一確定的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù).對于自變量x在可以取值圍的一個確定的值a,函數(shù)y有惟一確定的對應(yīng)值， 這個對應(yīng)值叫做當(dāng)x=a時函數(shù)的值，簡稱函數(shù)值.要點詮釋：對于函數(shù)的概念，應(yīng)從以下幾個方面去理解：1函

2、數(shù)的實質(zhì)，揭示了兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；2 判斷兩個變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對于x允許取的每一個值，y是否都有惟一確定的值 與它相對應(yīng)；3函數(shù)自變量的取值圍，應(yīng)要使函數(shù)表達(dá)式有意義，在解決實際問題時，還必須考慮使實際問 題有意義要點二、函數(shù)的三種表示方法表示函數(shù)的方法，常見的有以下三種：1 解析法：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)的表達(dá)式，或解析式，用數(shù)學(xué)式子表示函 數(shù)的方法稱為解析法2 列表法：用一個表格表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法.3圖象法：用圖象表達(dá)兩個變量之間的關(guān)系的方法 要點詮釋：函數(shù)的三種表示方法各有不同的長處.解析式法能揭示出變量之間的在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的函數(shù)都能列出解析式；

3、列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值，這會對某些特定的數(shù) 值帶來一目了然的效果，例如火車的時刻表，平方表等；圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨 勢，而且對于一些無法用解析式表達(dá)的函數(shù)，圖象可以充當(dāng)重要角色對照表如下：表示方法全面性準(zhǔn)確性直觀性形象性列表法XVVX解析式法VVXX圖象法XXVV要點三、二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c (a, b, c 是常數(shù)，0)的函數(shù)叫做 x的二次函數(shù).假設(shè)b=0，那么y=ax2+c； 假設(shè)c=0，那么y=ax2+bx； 假設(shè)b=c=0，貝U y=ax2.以上三種形式都是二次函數(shù)的特2殊形式，而y=ax +bx+c (a* 0)是二次

4、函數(shù)的一般式.在二次函數(shù)的一般式 y=ax2+bx+c (a* 0)中，ax2叫函數(shù)的二次項，bx叫函數(shù)的一次項，c叫常數(shù) 項；a叫二次項系數(shù)，b叫一次項系數(shù)，c叫常數(shù)項.要點詮釋：(1) 如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常數(shù)，a* 0)，那么y叫做x的二次函數(shù).這里，當(dāng) a=0時就不是二 次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零.(2) 判斷系數(shù)時，首先要將二次函數(shù)化成一般式，再對照定義寫出，特別要注意的是系數(shù)要包含 其前面的符號.典型例題類型一、函數(shù)的相關(guān)概念B .變量：“滿足 I" '，那么"是卞的函數(shù);C .變量滿足丿=用，那么丁是*的函數(shù)；d

5、.變量兒x滿足y = 1,那么丁是x的函數(shù).思路點撥嚴(yán)格依照函數(shù)的概念進(jìn)行判斷 .答案A；解析B C、D三個選項，對于一個確定的 忑的值，都有兩個?值和它對應(yīng)，不滿足單值對應(yīng)的條件, 所以不是函數(shù).總結(jié)升華理解函數(shù)的概念，關(guān)鍵是函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)值是 惟一確定的.舉一反三：思路點撥要使函數(shù)有意義，需1 沁nm或<x-l >07x-1 <0.»J解這個不等式組即可答案與解析即彳pm-1 < 0解方程組得，自變量取值是二或總結(jié)升華自變量的取值圍是使函數(shù)有意義的x的值.見、如下列圖，用一段長30米的籬笆圍成一個一邊靠墻墻的長度為1

6、5米的矩形菜園ABCD設(shè)AB的長為x米，那么菜園的面積y單位：米2與x單位：米的函數(shù)關(guān)系式為 寫自變量的取值圍.JJ1JJ UJ JjTJ f JF JfjTf JJJ J J! J1 JcAH思路點撥根據(jù)矩形的周長和一邊 AB的長表示出另一臨邊 AD的長，再根據(jù)矩形的面積公式來求解1 2答案y X 15x 0 V X< 15230 x解析解：矩形的周長為 30米，邊AB長x米， AD=3米，230 x 1矩形的面積 y=x 一= x215x 0 v x< 152 2總結(jié)升華考慮到實際情況，對于自變量x來說，一定不能超過墻的長度舉一反三：變式圓的半徑是1cm,假設(shè)半徑增加xcm,圓

7、的面積增加ycm2，那么y與x的關(guān)系式為： ,答案yx2 2 x類型二、函數(shù)的三種表示方法矩形的面積為 a( a為常數(shù),a> 0),當(dāng)該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少?數(shù)學(xué)模型a設(shè)該矩形的長為x，周長為y，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式為y 2(x)(x>0).x探索研究1我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y x -(x>0)的圖象性質(zhì).x 填寫下表，畫出函數(shù)的圖象：JT1413:21234y 觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；2 在求二次函數(shù)y=ax + bx+ c( a* 0)的最大(小)值時，除了通過觀察圖象， 還可以通過配方得到.請1你通過配方求函

8、數(shù) y x(x > 0)的最小值.x解決問題用上述方法解決“問題情境中的問題，直接寫出答案.思路點撥此題告訴我們一種研究問題的方法，從最根本的函數(shù)研究起，慢慢到較復(fù)雜的函數(shù)所以一定要跟著題目教給我們的思路走答案與解析17解y的值依次是：一,105 , 2,51017432234函數(shù)y x (x 0)的圖象如圖.xJ5-/斗r/3/2卜1卜.1.1.1 *-1 C-1)2345此題答案不唯一，以下解法供參考.x 1 (x 0)的x當(dāng)0 x 1時，y隨x增大而減小；當(dāng)x 1時，y隨x增大而增大；當(dāng)x 1時函數(shù)y 最小值為2.y x 1x=(x)2 ( J2= (7x)2 (J1)2 2坂 J

9、1 2lx x x當(dāng)乂匚 J =0,即x 1時，函數(shù)y x 1 (x 0)的最小值為2.V xx當(dāng)該矩形的長為a時，它的周長最小，最小值為4Ja .總結(jié)升華此題屬于閱讀理解型問題，要好好閱讀材料，根據(jù)題目的提示一步步往下進(jìn)行 列表法、圖形法和解析法三種函數(shù)的表示方法.綜合考察了類型三、二次函數(shù)的概念5、(2021秋校級月考)一個二次函數(shù)y (k 1)xk 3k 4 2x 1 .(1) 求k的值.(2) 求當(dāng)x=3時，y的值？思路點撥關(guān)鍵要考慮兩點：一是自變量的最高次數(shù)為2，二是最高次項系數(shù)不能為 0.答案與解析解(1 )依題意有k2 3k 4 2解之得，k=2.(2)把k=2代入函數(shù)解析式中得：y=x 2+2x-1,當(dāng) x=3 時，y=14.總結(jié)升華此題考察二次函數(shù)的定義和函數(shù)值.舉一反三：變式1函數(shù)y (m 3)xim 1 3x 1是二次函數(shù)，那么 m的值是()A . 3 B . -3 C .土 2 D .土