數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“線性方程組的最速下降法與共軛梯度法解法”實(shí)驗(yàn)報(bào)告(內(nèi)含matlab程序代碼)

1、西京學(xué)院數(shù)學(xué)軟件實(shí)驗(yàn)任務(wù)書(shū)課程名稱數(shù)學(xué)軟件實(shí)驗(yàn)班級(jí)數(shù) 0901學(xué)號(hào)0912020107姓名李亞強(qiáng)實(shí)驗(yàn)課題線性方程組的最速下降法與共軛梯度法實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜ぞ€性方程組的最速下降法與共軛梯度法實(shí)驗(yàn)要求運(yùn)用 Matlab/C/C+/Java/Maple/Mathematica 等其中一種語(yǔ)言完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容線性方程組的最速下降法線性方程組的共軛梯度法成績(jī)教師實(shí)驗(yàn)五實(shí)驗(yàn)報(bào)告一、實(shí)驗(yàn)名稱：最速下降法與共軛梯度法解線性方程組。二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模哼M(jìn)一步熟悉理解掌握最速下降法與共軛梯度法解法 思路，提高matlab編程能力。三、實(shí)驗(yàn)要求：已知線性方程矩陣，應(yīng)用最速下降與共軛梯度法在 相關(guān)軟件編程求解線性方程組的解。四、實(shí)

2、驗(yàn)原理：1. 最速下降法：從某個(gè)初始點(diǎn)X(0)出發(fā)，沿f(X)在點(diǎn)X(0)處的負(fù)梯度方向r(0)=f(X(0) = b-AX(0)求得f (X)的極小值點(diǎn)X(1),即min f (X (叭 r(0) o然后從X(1)出發(fā)，重復(fù)上面的過(guò)程得到X。如此下去，得到序列X(k)f(X(0) f(X )f (X(k)可以證明，從任一初始點(diǎn)X(0)出發(fā)，用最速下降法所得到的序列X(k)均收斂于問(wèn)題使X最小化f(X)的解，也就是方程組AX 5的解。其收斂速度取決于，其中-1 ,'n分別為A的最小，最大特征值。最速下降法迭代格式：給定初值X(0),X(k)按如下方法決定：r k - -、f(X(k)

3、=b-AX(k)fr(k)Tr(k) 土丄y<r ，r =X(fX(k) +)r(k)k(k)T(k)X- Xkr<r ,Ar >2. 共軛梯度法其基本步驟是在點(diǎn)X(k)處選取搜索方向d(k),使其與前一次的搜索方向d(z關(guān)于A共軛，即d(z ：d(k),Ad(k)=0然后從點(diǎn)X(k)出發(fā)，沿方向d(k)求得f(X)的極小值點(diǎn)X(k 1),即f(x(k1) =min f(X(k)d(k)如此下去，得到序列X(k)。不難求得:d(k),Ad(k4=0的解為(k 1)= X(k):b-AX(k),d(k) <d(k"),Ad(k")-(k)-3 -# -

4、注意到d(k)的選取不唯一，我們可取-# -d(k)=f(x(k) gd(z由共軛的定義：d(k),Ad(k =0可得:n<r(k),Ad(kJL) >'k_：d(kJ),Ad(kJ) 共軛梯度法的計(jì)算過(guò)程如下:第一步：取初始向量X(0),計(jì)算d(0)=嚴(yán)-f(X(0) =b-AX(0)<r(0),Ad(0)>x(1)_<d(0),Ad(0) = X(0) &(0)第k 1步：計(jì)算二-Vf(x(k) =b _AX(k) <r(k),Ad(kJ) :d(k4),Ad(k4) (k)二嚴(yán) dZ_<r(k),Ad(k)>k <d(

5、k),Ad(k)-X(kL) *五、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:%最速下降法function x,k=fastest(A,b,eps);xO二zeros(size(b),1);x=xO;k=O;m=1OOO;tol=1;while tol>=epsr=b-A*xO;q=dot(r,r)/dot(A*r,r);x=xO+q*r;k=k+1;tol二no rm(x-x0);x0=x;if k>=mdisp('迭代次數(shù)太多，可能不收斂！');return;endend%共軛梯度法function k,x=gong_e(A,b)esp=input('請(qǐng)輸入允許誤差esp=');x0=input('請(qǐng)輸入初始值x0=');k = 0 ;r0 = b-A*x0;%求出 dangqian 梯度whileno rm(rO)>espr0 = b -A*x0;k = k + 1 ;if k=1p0 = r0 ;elselamda=(rO'*rO)/(pO'*A*pO); r1 = r0 - lamda*A*p0 ;pO二rO+(rO'*rO)/(r1'*r1)*pO; x1 = x0 + lamda*p0; x0=x1;r0=r1;-7 -endendx=