運(yùn)籌學(xué)試題及答案

1、一、填空題：（每空格2分，共16分）1、線性規(guī)劃的解有唯一最優(yōu)解、無(wú)窮多最優(yōu)解、 無(wú)界解 和無(wú)可行解四種。2、在求運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)度運(yùn)輸問(wèn)題中，如果某一非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為4，則說(shuō)明 如果在該空格中增加一個(gè)運(yùn)量運(yùn)費(fèi)將增加4 。3、“如果線性規(guī)劃的原問(wèn)題存在可行解，則其對(duì)偶問(wèn)題一定存在可行解”，這句話(huà)對(duì)還是錯(cuò)？ 錯(cuò) 4、如果某一整數(shù)規(guī)劃：MaxZ=X1+X2X1+9/14X251/14-2X1+X21/3X1,X20且均為整數(shù)所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃（松弛問(wèn)題）的最優(yōu)解為X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我們現(xiàn)在要對(duì)X1進(jìn)行分枝，應(yīng)該分為 X11 和 X12 。5、在用逆向解法求動(dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí)，f

2、k(sk)的含義是： 從第k個(gè)階段到第n個(gè)階段的最優(yōu)解 。6. 假設(shè)某線性規(guī)劃的可行解的集合為D，而其所對(duì)應(yīng)的整數(shù)規(guī)劃的可行解集合為B，那么D和B的關(guān)系為 D 包含 B 7. 已知下表是制訂生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題的一張LP最優(yōu)單純形表（極大化問(wèn)題，約束條件均為“”型不等式）其中X3,X4,X5為松馳變量。XBbX1X2X3X4X5X4300-213X14/310-1/302/3X210100-1Cj-Zj00-50-23問(wèn)：（1）寫(xiě)出B-1=(2)對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解： Y（5，0，23，0，0）T 8. 線性規(guī)劃問(wèn)題如果有無(wú)窮多最優(yōu)解，則單純形計(jì)算表的終表中必然有_某一個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為0_；9. 極大

3、化的線性規(guī)劃問(wèn)題為無(wú)界解時(shí)，則對(duì)偶問(wèn)題_ 無(wú)解_；10. 若整數(shù)規(guī)劃的松馳問(wèn)題的最優(yōu)解不符合整數(shù)要求，假設(shè)Xi=bi不符合整數(shù)要求，INT（bi）是不超過(guò)bi的最大整數(shù)，則構(gòu)造兩個(gè)約束條件：XiINT（bi）1 和 XiINT（bi） ，分別將其并入上述松馳問(wèn)題中，形成兩個(gè)分支，即兩個(gè)后繼問(wèn)題。11. 知下表是制訂生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題的一張LP最優(yōu)單純形表（極大化問(wèn)題，約束條件均為“”型不等式）其中X4,X5,X6為松馳變量。XBbX1X2X3X4X5X6X12110201X32/3001104X510-20116Cj-Zj000-40-9問(wèn)：(1)對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解： Y(4,0,9,0,0,0)T

4、（2）寫(xiě)出B-1= 二、計(jì)算題（60分）1、 已知線性規(guī)劃（20分）MaxZ=3X1+4X2X1+X252X1+4X2123X1+2X28X1,X20其最優(yōu)解為：基變量X1X2X3X4X5X33/2001-1/8-1/4X25/20103/8-1/4X11100-1/41/2j000-3/4-1/21） 寫(xiě)出該線性規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題。2） 若C2從4變成5，最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生改變，為什么？3） 若b2的量從12上升到15，最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化，為什么？4） 如果增加一種產(chǎn)品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4該產(chǎn)品是否應(yīng)該投產(chǎn)？為什么？解：1)對(duì)偶問(wèn)題為Minw=5y1+12y2+8y3 y1+

5、2y2+3y33y1+4y2+2y34 y1,y202)當(dāng)C2從4變成5時(shí)，4=-9/85=-1/4由于非基變量的檢驗(yàn)數(shù)仍然都是小于0的，所以最優(yōu)解不變。3）當(dāng)若b2的量從12上升到15X9/8 29/8 1/4由于基變量的值仍然都是大于0的，所以最優(yōu)解的基變量不會(huì)發(fā)生變化。4）如果增加一種新的產(chǎn)品，則P6=(11/8,7/8，1/4)T6=3/8>0所以對(duì)最優(yōu)解有影響,該種產(chǎn)品應(yīng)該生產(chǎn)2、已知運(yùn)輸問(wèn)題的調(diào)運(yùn)和運(yùn)價(jià)表如下，求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案和最小總費(fèi)用。（共15分）。銷(xiāo)地產(chǎn)地B1B2B3產(chǎn)量A159215A231711A362820銷(xiāo)量181216解：初始解為B1B2B3產(chǎn)量/tA11515

6、A21111A3181120銷(xiāo)量/t181216計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)B1B2B3產(chǎn)量/tA1513015A220011A300020銷(xiāo)量/t181216由于存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)小于0，所以不是最優(yōu)解，需調(diào)整調(diào)整為：B1B2B3產(chǎn)量/tA11515A21111A3712120銷(xiāo)量/t181216重新計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)B1B2B3產(chǎn)量/tA1513015A202211A300020銷(xiāo)量/t181216所有的檢驗(yàn)數(shù)都大于等于0，所以得到最優(yōu)解3、某公司要把4個(gè)有關(guān)能源工程項(xiàng)目承包給4個(gè)互不相關(guān)的外商投標(biāo)者，規(guī)定每個(gè)承包商只能且必須承包一個(gè)項(xiàng)目，試在總費(fèi)用最小的條件下確定各個(gè)項(xiàng)目的承包者，總費(fèi)用為多少？各承包商對(duì)工程的

7、報(bào)價(jià)如表2所示： （15分） 項(xiàng)目投標(biāo)者ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317答最優(yōu)解為： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 總費(fèi)用為504. 考慮如下線性規(guī)劃問(wèn)題（24分）Max z=-5x1+5x2+13x3s.t. -x1+x2+3x32012x1+4x2+10x390x1，x2， x30回答以下問(wèn)題：1）求最優(yōu)解2）求對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解3）當(dāng)b1由20變?yōu)?5，最優(yōu)解是否發(fā)生變化。4）求新解增加一個(gè)變量x6，c6=10，a16=3，a26=5，對(duì)最優(yōu)解是否有影響5）c2有5變?yōu)?，是否影響最優(yōu)解。答：最優(yōu)解為1

8、)Cj-551300CBXBbX1X2X3X4X50X420-1131020/30X59012410019Cj-Zj-55130013X320/3-1/31/311/30200X570/346/322/30-10/3170/22Cj-Zj-2/32/30-13/3013X3185/33-34/33012/11-1/225X235/1123/1110-5/113/22-68/3300-1/11-1/11最優(yōu)解為X1=185/33, X3=35/112)對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)解為Y（1/22,1/11,68/33,0,0）T3)當(dāng)b1=45時(shí)X= 45/11 -11/90由于X2的值小于0，所以最優(yōu)解將發(fā)生

9、變化4）P6=(3/11,-3/4)T6=217/20>0所以對(duì)最優(yōu)解有影響。5）當(dāng)C2=61=-137/334=4/115=-17/22由于4大于0所以對(duì)最優(yōu)解有影響5. 求如圖所示的網(wǎng)絡(luò)的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的數(shù)字是（cij , fij ）。（15分） V1 (5,0) (3,3) (3,3) VS （4,1） V2 (4,0) (9,3) (8,4)V3 Vt (6,0)最大流為：14 V1 (5,3) (3,3) (3,0) V2 Vs (4,4) (4,1) (9,7) (8,8) Vt V3 (6,6) 6. 考慮如下線性規(guī)劃問(wèn)題（20分）Max z=3x1+x2

10、+4x3s.t. 6x1+3x2+5x393x1+4x2+5x38x1，x2， x30回答以下問(wèn)題：1）求最優(yōu)解；2）直接寫(xiě)出上述問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題及其最優(yōu)解；3）若問(wèn)題中x2列的系數(shù)變?yōu)椋?，2）T，問(wèn)最優(yōu)解是否有變化；4）c2由1變?yōu)?，是否影響最優(yōu)解，如有影響，將新的解求出。Cj31400CBXBbX1X2X3X4X50X49635100X5834501Cj-Zj314000X413-101-14X38/53/54/5101/5Cj-Zj3/5-11/500-4/53X1 1/31-1/301/3-1/34X37/5011-1/52/5Cj-Zj0-20-1/5-3/5最優(yōu)解為X1=1/3,

11、X3=7/5,Z=33/52)對(duì)偶問(wèn)題為Minw=9y1+8y2 6y1+3y233y1+4y215y1+5y24 y1,y20對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)解為y1=1/5,y2=3/53) 若問(wèn)題中x2列的系數(shù)變?yōu)椋?，2）T則P2=(1/3,1/5)T2=-4/50所以對(duì)最優(yōu)解沒(méi)有影響4）c2由1變?yōu)?2=-10所以對(duì)最優(yōu)解沒(méi)有影響7. 求如圖所示的網(wǎng)絡(luò)的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的數(shù)字是（cij , fij ）。（10分） V1 (4,4 ) V3 (9,5) (6,3) VS (3,1) (3,0) (4,1) Vt (5,3) (7,5)V2 (5,4) V4解： V1 (4,4) V3 (9

12、,7) (6,4) (3,2) (4,0) Vs Vt (5,4) (7,7) V2 (5,5) V4最大流118. 某廠、三種產(chǎn)品分別經(jīng)過(guò)A、B、C三種設(shè)備加工。已知生產(chǎn)單位各種產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)，設(shè)備的現(xiàn)有加工能力及每件產(chǎn)品的預(yù)期利潤(rùn)見(jiàn)表： 設(shè)備能力(臺(tái).h)ABC1 1 110 4 52 2 6100600300單位產(chǎn)品利潤(rùn)(元)10 6 41)建立線性規(guī)劃模型，求獲利最大的產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃。(15分)2)產(chǎn)品每件的利潤(rùn)到多大時(shí)才值得安排生產(chǎn)？如產(chǎn)品每件利潤(rùn)增加到50/6元，求最優(yōu)計(jì)劃的變化。(4分)3)產(chǎn)品的利潤(rùn)在多大范圍內(nèi)變化時(shí)，原最優(yōu)計(jì)劃保持不變。(2分)4)設(shè)備A的能力在什么范圍內(nèi)變

13、化時(shí)，最優(yōu)基變量不變。(3分)5)如有一種新產(chǎn)品，加工一件需設(shè)備A、B、C的臺(tái)時(shí)各為1、4、3h，預(yù)期每件為8元，是否值得生產(chǎn)。(3分)6)如合同規(guī)定該廠至少生產(chǎn)10件產(chǎn)品，試確定最優(yōu)計(jì)劃的變化。(3分)解：1）建立線性規(guī)劃模型為：MaxZ=10x1+6x2+4x3x1+x2+x310010x1+4x2+5x36002x1+2x2+6x3300xj0,j=1,2,3獲利最大的產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃為：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(100/3,200/3,0,0,0,100) Z*=2200/32）產(chǎn)品每件利潤(rùn)到20/3才值得生產(chǎn)。如果產(chǎn)品每件利潤(rùn)增加到50/6元，最優(yōu)計(jì)劃的變化為：X*

14、=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(175/6,275/6,25,0,0,0) Z*=7753）產(chǎn)品的利潤(rùn)在6,15變化時(shí)，原最優(yōu)計(jì)劃保持不變。4）設(shè)備A的能力在60,150變化時(shí)，最優(yōu)基變量不變。5）新產(chǎn)品值得生產(chǎn)。6）最優(yōu)計(jì)劃的變化為：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(190/6,350/6,10,0,0,60 ) Z*=706.79. 給出成性規(guī)劃問(wèn)題：(15分)Min z=2x1+3x2+6x3x1+2x2+x32-2x1+x2+3x3-3xj0 j=1,，4要求：(1)寫(xiě)出其對(duì)偶問(wèn)題。(5分)(2)利用圖解法求解對(duì)偶問(wèn)題。(5分)(3)利用(2)的結(jié)果，根據(jù)對(duì)偶問(wèn)題性質(zhì)寫(xiě)出原問(wèn)題最優(yōu)解。(5分)解：1）該問(wèn)題的LD為： MaxW=2y1-3y2y1-2y222y1+y23y1+3y26y10,y202)用圖解法求得LD的最優(yōu)解為：Y*=(y1,y2)=(8/5,-1/5) W*=19/53)由互補(bǔ)松弛定理：原問(wèn)題的最優(yōu)解為：X*=(x1,x2,x3)=(8/5,1/5,0)10. 銷(xiāo)產(chǎn)某部門(mén)有3個(gè)生產(chǎn)同類(lèi)產(chǎn)品的工廠(產(chǎn)地)，生產(chǎn)的產(chǎn)品由4個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)(銷(xiāo)地)出售，各工廠的生產(chǎn)量，各銷(xiāo)售點(diǎn)的銷(xiāo)售量(單位.t)以及各工廠到各銷(xiāo)售點(diǎn)的單位運(yùn)價(jià)(元/t)示于下表中，要求研究產(chǎn)品如何調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)量最小？(10分)B1B2B3B4產(chǎn)量A141241132A2