第九章 第4節(jié)

1、.第4節(jié)直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系最新考綱1.能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；2.能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；3.初步理解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想知 識(shí) 梳 理1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：xa2yb2r2，直線(xiàn)l：AxByC0，圓心Ca，b到直線(xiàn)l的間隔 為d，由消去y或x，得到關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切dr0相離d>r<02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，Rr，圓心距為d，那么兩圓的位置關(guān)系可用下表來(lái)表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切

2、內(nèi)含幾何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代數(shù)特征無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解公切線(xiàn)條數(shù)43210常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1關(guān)注一個(gè)直角三角形當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)，由弦心距圓心到直線(xiàn)的間隔 、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形2兩圓相交時(shí)公共弦的方程設(shè)圓C1：x2y2D1xE1yF10，圓C2：x2y2D2xE2yF20，假設(shè)兩圓相交，那么有一條公共弦，其公共弦所在直線(xiàn)方程由所得，即：D1D2xE1E2yF1F20.診 斷 自 測(cè)1考慮辨析在括號(hào)內(nèi)打“或“×1“k1是“直線(xiàn)xyk0與圓x2y21相交的必要不充分條件2假如兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，那么兩圓外切

3、3假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，那么兩圓相交4從兩相交圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程5過(guò)圓O：x2y2r2上一點(diǎn)Px0，y0的圓的切線(xiàn)方程是x0xy0yr2.解析1“k1是“直線(xiàn)xyk0與圓x2y21相交的充分不必要條件2除外切外，還有可能內(nèi)切3兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含答案1×2×3×452假設(shè)直線(xiàn)xy10與圓xa2y22有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是A3，1 B1，3C3，1 D，31，解析由題意可得，圓的圓心為a，0，半徑為，即|a1|2，解得3a1.答案C3直線(xiàn)3x4yb與圓x2y22x2y10相切，那么b的值是A2

4、或12 B2或12C2或12 D2或12解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x12y121，圓心1，1到直線(xiàn)3x4yb的間隔 為1，解得b2或b12，應(yīng)選D.答案D42019·嘉興月考在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A1，2間隔 為1，且與點(diǎn)B3，1的間隔 為2的直線(xiàn)共有_條解析分別以A，B為圓心，以1，2為半徑作圓，兩圓的公切線(xiàn)有兩條答案25假設(shè)直線(xiàn)3x4y50與圓x2y2r2r>0相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且AOB120°O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么r_解析如圖，過(guò)O點(diǎn)作ODAB于D點(diǎn)，在RtDOB中，DOB60°，DBO30°，又|OD|1，r2|OD|2.答案26必修2P133A9改編圓x

5、2y240與圓x2y24x4y120的公共弦所在直線(xiàn)的方程為_(kāi)；公共弦長(zhǎng)為_(kāi)解析由相減得xy20，即為兩圓公共弦所在的直線(xiàn)方程又圓x2y24的圓心到直線(xiàn)xy20的間隔 為.由勾股定理得弦長(zhǎng)的一半為，所以，所求弦長(zhǎng)為2.答案xy202考點(diǎn)一直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系【例1】 1點(diǎn)Ma，b在圓O：x2y21外，那么直線(xiàn)axby1與圓O的位置關(guān)系是A相切 B相交C相離 D不確定2一題多解圓x2y21與直線(xiàn)ykx2沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是_解析1因?yàn)镸a，b在圓O：x2y21外，所以a2b21，而圓心O到直線(xiàn)axby1的間隔 d1，故直線(xiàn)與圓O相交. 2法一將直線(xiàn)方程代入圓方程，得k21x24kx30，直線(xiàn)與圓

6、沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是16k212k210，解得k.法二圓心0，0到直線(xiàn)ykx2的間隔 d，直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是d1，即1，解得k.答案1B2k規(guī)律方法判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法1幾何法：利用d與r的關(guān)系2代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：假設(shè)直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線(xiàn)與圓相交上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線(xiàn)問(wèn)題【訓(xùn)練1】 1“a3是“直線(xiàn)yx4與圓xa2y328相切的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2直線(xiàn)yxm與圓x2y21在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么m的取值范圍是A，2 B，3C.

7、 D.解析1假設(shè)直線(xiàn)yx4與圓xa2y328相切，那么有2，即|a1|4，所以a3或5.但當(dāng)a3時(shí)，直線(xiàn)yx4與圓xa2y328一定相切，故“a3是“直線(xiàn)yx4與圓xa2y328相切的充分不必要條件2當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，1時(shí)，直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)m1；當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)有圓心到直線(xiàn)的間隔 d1，解得m切點(diǎn)在第一象限，所以要使直線(xiàn)與圓在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么1m.答案1A2D考點(diǎn)二圓的切線(xiàn)、弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2】 1過(guò)點(diǎn)3，1作圓x22y224的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi)2過(guò)點(diǎn)P2，4引圓x12y121的切線(xiàn)，那么切線(xiàn)方程為_(kāi)解析1設(shè)P3，1，圓心C2，2，那么|PC|，半徑r2，由題意知最

8、短的弦過(guò)P3，1且與PC垂直，所以最短弦長(zhǎng)為22.2當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x2，此時(shí)，圓心到直線(xiàn)的間隔 等于半徑，直線(xiàn)與圓相切，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y4kx2，即kxy42k0，直線(xiàn)與圓相切，圓心到直線(xiàn)的間隔 等于半徑，即d1，解得k，所求切線(xiàn)方程為xy42×0，即4x3y40.綜上，切線(xiàn)方程為x2或4x3y40.答案122x2或4x3y40規(guī)律方法1弦長(zhǎng)的兩種求法代數(shù)方法：將直線(xiàn)和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程在判別式0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)幾何方法：假設(shè)弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，那么弦長(zhǎng)l2.2圓的切線(xiàn)方

9、程的兩種求法代數(shù)法：設(shè)切線(xiàn)方程為yy0kxx0，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式0進(jìn)而求得k.幾何法：設(shè)切線(xiàn)方程為yy0kxx0，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的間隔 公式表示出圓心到切線(xiàn)的間隔 d，然后令dr，進(jìn)而求出k.【訓(xùn)練2】 12019·全國(guó)卷設(shè)直線(xiàn)yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，假設(shè)|AB|2，那么圓C的面積為_(kāi)2過(guò)原點(diǎn)O作圓x2y26x8y200的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，那么線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為_(kāi)解析1圓C：x2y22ay20，即C：x2ya2a22，圓心為C0，a，半徑r，C到直線(xiàn)yx2a的間隔 為d.又由|AB|2，得a22，解得a2

10、2，所以圓的面積為a224.2將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x32y425，那么圓心為3，4，半徑長(zhǎng)為.由題意可設(shè)切線(xiàn)的方程為ykx，那么圓心3，4到直線(xiàn)ykx的間隔 等于半徑長(zhǎng)，即，解得k或k，那么切線(xiàn)的方程為yx或yx.聯(lián)立切線(xiàn)方程與圓的方程，解得兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為4，2，此即為P，Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的間隔 公式得|PQ|4.答案1424考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系【例3】 2019·浙江五校聯(lián)考兩圓x2y22x6y10，x2y210x12ym0.1m取何值時(shí)兩圓外切？2m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？3當(dāng)m45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦的長(zhǎng)解因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x12y3211，x52

11、y6261m，所以?xún)蓤A的圓心分別為1，3，5，6，半徑分別為，1當(dāng)兩圓外切時(shí)，由，得m2510.2當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因?yàn)槎▓A半徑小于兩圓圓心之間的間隔 5，所以5，解得m2510.3由x2y22x6y1x2y210x12y450，得兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為4x3y230.故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為22.規(guī)律方法1判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的間隔 與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法2假設(shè)兩圓相交，那么兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到【訓(xùn)練3】 12019·山東卷圓M：x2y22ay0a0截直線(xiàn)xy0所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是2，那么圓M與圓N：

12、x12y121的位置關(guān)系是A內(nèi)切 B相交C外切 D相離22019·寧波調(diào)研圓C1：xa2y224與圓C2：xb2y221 相外切，那么ab的最大值為A. B. C. D2解析1圓M：x2ya2a2，圓心坐標(biāo)為M0，a，半徑r1為a，圓心M到直線(xiàn)xy0的間隔 d，由幾何知識(shí)得2a2，解得a2.M0，2，r12.又圓N的圓心坐標(biāo)N1，1，半徑r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，兩圓相交，應(yīng)選B.2由圓C1與圓C2相外切，可得213，即ab29，根據(jù)根本不等式可知ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立答案1B2C根底穩(wěn)固題組一、選擇題12019·溫州模擬假設(shè)

13、直線(xiàn)yxb與圓x2y21有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是A1，1 B0，1C0， D，解析由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為0，0，半徑為1，因?yàn)橹本€(xiàn)yxb與圓x2y21有公共點(diǎn)，所以1，解得b.答案D2圓x2y22x2ya0截直線(xiàn)xy20所得弦的長(zhǎng)度為4，那么實(shí)數(shù)a的值是A2 B4 C6 D8解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x12y122a，所以圓心為1，1，半徑r，圓心到直線(xiàn)xy20的間隔 d，故r2d24，即2a24，所以a4，應(yīng)選B.答案B32019·金華調(diào)研過(guò)點(diǎn)3，1作圓x12y2r2的切線(xiàn)有且只有一條，那么該切線(xiàn)的方程為A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析過(guò)點(diǎn)3，1

14、作圓x12y2r2的切線(xiàn)有且只有一條，點(diǎn)3，1在圓x12y2r2上，圓心與切點(diǎn)連線(xiàn)的斜率k，切線(xiàn)的斜率為2，那么圓的切線(xiàn)方程為y12x3，即2xy70.應(yīng)選B.答案B4圓x22xy24y30上到直線(xiàn)xy10的間隔 為的點(diǎn)共有A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析圓的方程化為x12y228，圓心1，2到直線(xiàn)間隔 d，半徑是2，結(jié)合圖形可知有3個(gè)符合條件的點(diǎn)答案C52019·溫州調(diào)研過(guò)點(diǎn)P1，2作圓C：x12y21的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，那么AB所在直線(xiàn)的方程為Ay ByCy Dy解析圓x12y21的圓心為1，0，半徑為1，以|PC|2為直徑的圓的方程為x12y121，將兩圓的方程相減

15、得AB所在直線(xiàn)的方程為2y10，即y. 應(yīng)選B.答案B62019·浙東北教聯(lián)一模設(shè)直線(xiàn)l：3x4ya0，圓C：x22y22，假設(shè)在圓C上存在兩點(diǎn)P，Q，在直線(xiàn)l上存在一點(diǎn)M，使得PMQ90°，那么a的取值范圍是A18，6B65，65C16，4D65，65解析設(shè)直線(xiàn)l：3x4ya0上任意一點(diǎn)M1.當(dāng)M1Q，M1P分別與圓相切時(shí)，PM1Q最大，隨著M1的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CM1與直線(xiàn)l垂直時(shí)，PM1Q取到最大值，此時(shí)四邊形CPM1Q為正方形，CM12.利用點(diǎn)到直線(xiàn)的間隔 公式得2，解得a16或a4，只需PM1Q90°，即CM12，即可存在點(diǎn)M滿(mǎn)足題意，所以a的取值范圍是16，4

16、答案C二、填空題72019·全國(guó)卷 已知直線(xiàn)l：xy60與圓x2y212交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線(xiàn)與x軸交于C，D兩點(diǎn)，那么|CD|_解析設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，由得y23y60，解得y1，y22，A3，B0，2過(guò)A，B作l的垂線(xiàn)方程分別為yx3，y2x，令y0，得xC2，xD2，|CD|224.答案482019·寧波調(diào)研點(diǎn)P在圓C1：x2y28x4y110上，點(diǎn)Q在圓C2：x2y24x2y10上，那么|PQ|的最小值是_；|PQ|的最大值是_解析把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得x42y229，x22y124.圓C1的圓心坐標(biāo)是4，2，半徑長(zhǎng)是3；

17、圓C2的圓心坐標(biāo)是2，1，半徑長(zhǎng)是2.圓心距d3.所以，|PQ|的最小值是35，|PQ|的最大值為35.答案35359由直線(xiàn)yx1上的一點(diǎn)向圓x32y21引切線(xiàn)，那么切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為_(kāi). 解析設(shè)直線(xiàn)上一點(diǎn)為P，切點(diǎn)為Q，圓心為M，那么|PQ|即切線(xiàn)長(zhǎng)，MQ為圓M的半徑，長(zhǎng)度為1，|PQ|.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)yx1上的點(diǎn)到圓心M的最小間隔 設(shè)圓心到直線(xiàn)yx1的間隔 為d，那么d2.所以|PM|的最小值為2.所以|PQ|.答案102019·浙江三市聯(lián)考圓C：xa2yb22，圓心C在曲線(xiàn)yx1，2上，那么ab_，直線(xiàn)l：x2y0被圓C所截得的弦長(zhǎng)的取值

18、范圍是_解析由題意得b，且a1，2，所以ab1.圓心C到直線(xiàn)l的間隔 d，所以直線(xiàn)l被圓C所截得的弦長(zhǎng)t22，當(dāng)a1，2時(shí)，a2，3，所以t.答案1三、解答題11一題多解直線(xiàn)l：ykx1，圓C：x12y1212.1試證明：不管k為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；2求直線(xiàn)l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)法一1證明由消去y得k21x224kx70，因?yàn)?4k228k21>0，所以不管k為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)2解設(shè)直線(xiàn)與圓交于A(yíng)x1，y1，Bx2，y2兩點(diǎn)，那么直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)|AB|x1x2|22 ，令t，那么tk24kt30，當(dāng)t0時(shí)，k，當(dāng)t0時(shí)，因?yàn)閗R，所以164tt30，

19、解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時(shí)|AB|最小為2.法二1證明因?yàn)椴还躪為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l總過(guò)點(diǎn)P0，1，而|PC|<2R，所以點(diǎn)P0，1在圓C的內(nèi)部，即不管k為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l總經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)部的定點(diǎn)P.所以不管k為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)2解由平面幾何知識(shí)知過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)P0，1的弦，只有與PCC為圓心垂直時(shí)才最短，而此時(shí)點(diǎn)P0，1為弦AB的中點(diǎn)，由勾股定理，知|AB|22，即直線(xiàn)l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為2.12過(guò)點(diǎn)A0，1且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C：x22y321交于M，N兩點(diǎn)1求k的取值范圍；2假設(shè)·12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解1易知圓心坐標(biāo)為2，3，半徑r

20、1，由題設(shè)，可知直線(xiàn)l的方程為ykx1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.2設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2將ykx1代入方程x22y321，整理得1k2x241kx70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y21k2x1x2kx1x218.由題設(shè)可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.才能提升題組13一條光線(xiàn)從點(diǎn)2，3射出，經(jīng)y軸反射后與圓x32y221相切，那么反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為A或 B或C或 D或解析由，得點(diǎn)2，3關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為2，3，由入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，知反射光線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)2，3

21、設(shè)反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為k，那么反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為y3kx2，即kxy2k30.由反射光線(xiàn)與圓相切，那么有d1，解得k或k，應(yīng)選D.答案D14兩圓x2y22axa240 和x2y24by14b20恰有三條公切線(xiàn)，假設(shè)aR，bR且ab0，那么的最小值為A1 B3 C. D.解析x2y22axa240，即xa2y24，x2y24by14b20，即x2y2b21.依題意可得，兩圓外切，那么兩圓圓心間隔 等于兩圓的半徑之和，那么123，即a24b29，所以1，當(dāng)且僅當(dāng)，即a±b時(shí)取等號(hào)答案A152019·紹興檢測(cè)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A0，3，直線(xiàn)l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心C在直線(xiàn)l上，假設(shè)圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，那么圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是_解析設(shè)點(diǎn)Mx，y，因?yàn)閨MA|2|MO|，所以2，整理得x2y124，所以點(diǎn)M的軌跡是以P0，1為圓心，半徑為2的圓設(shè)圓C的圓心Ct，2t4由題意可得圓C與圓P至少有一個(gè)公共點(diǎn)，所以13，解得t.所以圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是.答案162