第17講矩形、菱形、正方形

1、第17講矩形、菱形、正方形考試目標(biāo)鎖定考綱要求備考指津1.掌握平行四邊形與矩形、菱形的關(guān)系2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)3.靈活運(yùn)用特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明.特殊的平行四邊形是中考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題的形式出現(xiàn)，也常與折疊、平移和旋轉(zhuǎn)問(wèn)題相結(jié)合，出現(xiàn)在探索性、開(kāi)放性的題目中基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定1定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形2性質(zhì)：(1)矩形的四個(gè)角都是直角(2)矩形的對(duì)角線相等(3)矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸；它的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)3判定：(1)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形(

2、2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形考點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定1定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等(2)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角3判定：(1)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形(2)四條邊都相等的四邊形是菱形考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)與判定1定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形2性質(zhì)：(1)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角(2)正方形的對(duì)角線相等，且互相垂直平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角(3)正方形是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線，以及過(guò)每一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線都是它的對(duì)稱軸；正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心3判定：(1)一組鄰邊相

3、等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形(3)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形(4)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形(5)對(duì)角線相等的菱形是正方形1如圖所示，已知ABCD，下列條件：ACBD，ABAD，12，ABBC中，能說(shuō)明ABCD是矩形的有_(填寫(xiě)序號(hào))2如圖，在菱形ABCD中，AB15，ADC120°，則B，D兩點(diǎn)之間的距離為()A15 BC7.5 D153下列命題中是真命題的是()A對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形D兩邊相等的平行四邊形是菱形4下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是

4、中心對(duì)稱圖形的是()A角 B任意三角形C矩形 D等腰三角形5如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，AOF90°.求證：BECF.規(guī)律-方法探索一、矩形的性質(zhì)與判定【例1】 如圖，ABC中，ABAC，AD，AE分別是BAC和BAC外角的平分線，BEAE. (1)求證：DAAE；(2)試判斷AB與DE是否相等，并證明你的結(jié)論分析：第(1)題利用鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直易證；第(2)題中，AB與DE是四邊形ADBE的對(duì)角線，可考慮利用矩形的判定證四邊形ADBE是矩形即可解：(1)證明：AD，AE分別平分BAC，BAF，BADBAC，BAEBAF.BAC

5、BAF180°，BADBAE(BACBAF)×180°90°，即DAE90°.DAAE.(2)ABDE.理由是：ABAC，AD平分BAC，ADBCADB90°.BEAE，AEB90°.DAE90°，四邊形ADBE是矩形ABDE.矩形的定義既可以作為性質(zhì)，也可以作為判定矩形的性質(zhì)是求證線段或角相等時(shí)常用的知識(shí)點(diǎn)證明一個(gè)四邊形是矩形的方法：(1)先證明它是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角是直角；(2)先證明它是平行四邊形，再證明它的對(duì)角線相等；(3)證明有三個(gè)內(nèi)角為90°.二、菱形的性質(zhì)與判定【例2】 如圖，AD

6、EF，點(diǎn)B，C在AD上，12，BFBC(1)求證：四邊形BCEF是菱形；(2)若ABBCCD，求證：ACFBDE.證明：(1)ADFE，F(xiàn)EB2.12，F(xiàn)EB1.BFEF.BFBC，BCEF.四邊形BCEF是平行四邊形又BFBC，BCEF是菱形(2)EFBC，ABBCCD，ADFE.四邊形ABEF，四邊形CDEF均為平行四邊形AFBE，F(xiàn)CED又AC2BCBD，ACFBDE(SSS)菱形的定義既可作為性質(zhì)，也可作為判定證明一個(gè)四邊形是菱形的一般方法是：(1)四邊相等；(2)首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；(3)對(duì)角線互相垂直平分；(4)對(duì)角線垂直的平行四邊形如圖，在菱形ABCD中

7、，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6.過(guò)D點(diǎn)作DEAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求BDE的周長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P為線段BC上的點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q，求證：BP=DQ.三、正方形的性質(zhì)與判定【例3】 如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，HAEBFCGD，連接EG，F(xiàn)H，交點(diǎn)為O.(1)如圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開(kāi)，再把得到的四個(gè)四邊形按圖的方式拼接成一個(gè)四邊形若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3 cm，HAEBFCGD1 cm，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)c

8、m2.分析：根據(jù)題目的條件可先證AEH，BFE，CGF，DHG四個(gè)三角形全等，證得四邊形EFGH的四邊相等，然后由全等再證一個(gè)角是直角解：(1)四邊形EFGH是正方形證明：四邊形ABCD是正方形，ABCD90°，ABBCCDDAHAEBFCGD，AEBFCGDH.AEHBFECGFDHG.EFFGGHHE.四邊形EFGH是菱形由DHGAEH，知DHGAEH.AEHAHE90°，DHGAHE90°.GHE90°.菱形EFGH是正方形(2)1證明一個(gè)四邊形是正方形可從以下幾個(gè)方面考慮：(1)“平行四邊形”+“一組鄰邊相等”+“一個(gè)角為直角”(定義法)；(2)

9、“矩形”“一組鄰邊相等”；(3)“矩形”“對(duì)角線互相垂直”；(4)“菱形”“一個(gè)角為直角”；(5)“菱形”“對(duì)角線相等”知能優(yōu)化訓(xùn)練1(2012山東濱州)若菱形的周長(zhǎng)為8 cm，高為1 cm，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為()A31 B41C51 D612(2012江蘇泰州)下列四個(gè)命題：一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；順次連接矩形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形；正五邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形其中真命題共有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)3(2011江蘇南京)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2 cm，E是AB的中點(diǎn)，且DEAB，則菱形ABCD的面積

10、為_(kāi) cm2. 4(2011黑龍江哈爾濱)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，若DP1，則tanBPC的值是_5(2012四川南充)矩形ABCD中，AB2AD，E為AD的中點(diǎn)，EFEC交AB于點(diǎn)F，連接FC(1)求證：AEFDCE；(2)求tanECF的值1下列說(shuō)法不正確的是()A一組鄰邊相等的矩形是正方形B對(duì)角線相等的菱形是正方形C對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形D有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形2如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AOB60°，AB2，則矩形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)是()A2 B4 C2 D43如圖所示，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20 cm，DEAB，垂足

11、為E，sin A，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()DE3 cmBE1 cm菱形的面積為15 cm2BD2 cmA1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)4如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF.若CD6，則AF等于()A4 B3C4 D85如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)AB到E，使AEAC，則BCE的度數(shù)是_6我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形若一個(gè)四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是一個(gè)矩形，則四邊形ABCD可以是_(寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論即可)7如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD4，P是AD上不與A，D重合的一動(dòng)點(diǎn)，PEAC

12、，PFBD，E，F(xiàn)為垂足，則PEPF的值為_(kāi)8如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，MPNP的最小值是_9如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AFBD，連接BF. (1)求證：D是BC的中點(diǎn)(2)如果ABAC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論參考答案基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)自主測(cè)試12.A3.C4.C5證明：如題圖，四邊形ABCD為正方形，ABBC，ABCBCD90°.EABAEB90°.EOBAOF90°，F(xiàn)BCAEB90°.EABFBC.A

13、BEBCF.BECF.規(guī)律方法探究變式訓(xùn)練解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BEAD，又ACDE，故四邊形ACED為平行四邊形，則有ABADBCCE5，所以BEBCCE10，ACDE6，又OAAC×63，AB5，OA垂直于OB，所以在RtAOB中有AB2OB2OA2.所以O(shè)B4BD，BD8，故BDE的周長(zhǎng)為BDDEBE861024.(2)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以O(shè)BOD，BEAD，則DBCADB，又BOPDOQ，所以BOPDOQ，故有BPDQ.知能優(yōu)化訓(xùn)練中考回顧1C2.B 324.2或5(1)證明：在矩形ABCD中，AD90°.EFEC，F(xiàn)EC90°，F(xiàn)EACED90°.FEAEFA90°，EFACED.AEFDCE.(2)解：AB2AD，E為AD的中點(diǎn)，AEADABCD.AEFDCE，.在RtCEF中，ta