浙江地區(qū)高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1.2兩角和與差的正弦余弦正切公式二導(dǎo)精品學(xué)案新人教A版

1、名校名師推薦3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明.3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見(jiàn)變形，并能靈活應(yīng)用.0r問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一兩角和與差的正切公式思考1怎樣由兩角和的正弦、余弦公式得到兩角和的正切公式？通生sinfa+3sinacosB+cosasinB答案tan(a+3)=-，占：一,cos"+3)cosacos3sinasin3分子分母同除以cosacos3,便可得到.思考2由兩角和的正切公式如何得到兩角差的正切公式？答案用一3替換tan(a+3

2、)中的3即可得到.梳理名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正切T(a+B)tan(a+3)=tana+tan31tanatan3a,3,a+3均不等于k兀+-2(keZ)兩角差的正切T()tan(a3)=tanatan31+tanatan3a,3,a3均兀不等于ku+(keZ)知識(shí)點(diǎn)二兩角和與差的正切公式的變形(1)T(“+B)的變形:tana+tan3=tan(a+3)(1tanatan3).tana+tan3+tanatan3tan(a+3)=tan(a+B).tana+tan3tanatan3=1;二.tan(a+3)(2)T(”T)的變形：tanatan3=tan(aB)(1+tanata

3、nB).tanatan3tanatan3tan(a-3)=tan(a6).21tanatantanatan3tanfa3-1.題型探究類型一正切公式的正用一i，例1已知tana=-2,tan(a+3)=7,則tan3的值為.答案3解析tan 3 =tan(所以tan( atan+ 3)=ea +tan 3a tan 3_+ 一2 31 11 - -x 一2 3=1.1+tan(a+3Jana17:3.2) 1(2)已知a , 3均為銳角，tan a =2，tan答案一4解析 因?yàn)閠an a =-, tan 3 =馬,3)因?yàn)閍,3均為銳角，所以a+3C(0,兀)，所以a+3=亍反思與感悟(1)

4、注意用已知角來(lái)表示未知角(2)利用公式T(“+b)求角的步驟:計(jì)算待求角的正切值縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角跟蹤訓(xùn)練1已知0是第四象限角，且sin+方!=|,則tan,一：:=.答案4解析由題意，得cos%十2'卜4,.,|兀itan0+|=34.tan-4廣tan0類型43.正切公式的逆用例2(1)1+tan151-tan15(2)1-3tan75也+tan75答案(1)淄(2)-1解析(1)原式=tan45+tan15=tan60=tan(30反思與感悟當(dāng)式子出現(xiàn)1tan45tan15=tan(45°+15°)=.3.tan

5、30(2)原式=1+tan30-75°)=-tan45tan751.tan75注意正切公式的結(jié)構(gòu)特征，遇到兩角正切的和與差，構(gòu)造成與公式一致的形式,12，1,再這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，往往是“由值變角”的提示跟蹤訓(xùn)練2求下列各式的值:IS一sin75+sin751-tan27(2)tan27tan33+tan331-tan75解原式=一而tan45tan75=tan(45-75°)=tan(1+tan45tan75(2)原式=-30°)=-tan30tan27°+33°tan60類型三正切公式的變形使用例3(1)化簡(jiǎn)：tan23+tan37+

6、3tan23tan37°(2)若銳角“3滿足(1+小tan解(1)方法一tan23+tan37&)(1+J3tan+3tan233)=4,求a+3的值.tan37)十 小tan 23 ° tan 37=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37=tan60(1-tan23°tan37°)+淄tan23°tan373.方法,.tan(23+37°)=tan23°+tan371tan23°tan37tan23°+tan371tan23°tan37.姆一

7、地tan23°tan37°=tan23°+tan37°,tan23°+tan37°+/tan23°tan37°=水.(2).(1十淄tana)(1+0tan3)=1+/(tana+tan3)+3tanatan3=4,tana+tan3=小(1tanatan3),tana+tanBtan(a+3)=x/3.'口1tanatan3"又二a,3均為銳角，.0°<a+3<180°, a+3=60°.tan a ±tan 3 tan反思與感悟兩角和與差的正

8、切公式有兩種變形形式：tana±tan3=tan(a±3)(1?tanatan3)或1?tanatan當(dāng)a±3為特殊角時(shí)，?？紤]使用變形形式，遇到1與正切的乘積的和（或差）時(shí)常用變形形式.合理選用公式解題能起到快速、簡(jiǎn)捷的效果跟蹤訓(xùn)練3在ABC,A+B-2,且tanA+tanB+J3=，3tanAtanB,則角C的值為B.C.7tD.答案A解析.tanA+tanB+3/3=-/3tanAtanB?tan(A+B)-(1tanAtanB)=(tanAtanB-1).若1tanAtanB=0,則cosAcosB-sinAsinB=0,即cos(A+B)=0. 0<

9、;A+B<ti,，A+B=y與題設(shè)矛盾. 由得tan(A+B)=、/3,即tanC=*.兀又<0<C<兀，.二C=.當(dāng)堂訓(xùn)練1.若 tan a =3,tan4“3=q,則tan(a3)等于(31A.3B.-1C.33D.3答案解析tan(tanatan31+tanatan43314=3.1+3Xo32.已知cos7t2,7tA.-B.7-7C.1D.77答案解析cos一4曰二 a = _EEL a t57t2，7t35'所以tansin a(X =cos 534,所以tan7t一 a4兀tan -tan 民1-一4故選D.兀1 + tan Tian a431-4

10、=7.3.已知 A+ B= 45° ,則(1 +tan A)(1+ tan B）的值為（）A.1 B.2 C. -2 D.不確定答案 B解析(1 + tan A)(1 + tan B)=1 + (tan A+ tanB) + tan Atan B=1 + tan( A+ B)(1一tan Atan B) + tan Atan B=1 + 1 tan AtanB+ tan Atan B= 2.154 .已知A,B都是銳角，且tanA=3,sinB=當(dāng)，則A+B=解析:B為銳角，sinB=書(shū).cosB=乎,1-tanB=2,tan A+ tan Btan(A+B)=q1tanAtanB1

11、 1I3 27= 1.1 11X 3 2一-一-兀又.0<A+B<冗)A+B=.4Sina+COSa5 .已知sin-cosa=3,tan(a3)=2,則tan(3一2a)=答案33解析一Sin a + COS a 由條件知sin -COS atantana + 1-=3,貝U tan(X 1a = 2.tan(X3)=2).tan(3a)=2)上，tanfBatana224故tan(32a)=tanK3-a)-a=1+tan(3_“tana=1+(2)x2=3.L規(guī)律與方法1 .公式T("士B)的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律(1)公式T("士B)的右側(cè)為分式形式，其中分

12、子為tan“與tan3的和或差，分母為1與tanatan3的差或和.(2)符號(hào)變化規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”.2 .應(yīng)用公式T("士B)時(shí)要注意的問(wèn)題(1)公式的適用范圍-、一一-一TT由正切函數(shù)的定義可知，a、3、a+3(或a3)的終邊不能落在y軸上，即不為k%十萬(wàn)(kCZ).(2)公式的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換如,3等.特另1J要注意 tan(a ) = ： + ：an tan(。一 a ) 41 - tan a 4兀tan 7=11 tan a1 + tan atantan7t3(3)公式的變形應(yīng)用只要用到 tan a ±tan 3 ,

13、tan a tan時(shí)，有靈活應(yīng)用公式T(“±b)的意識(shí)，就不難想到解題思路.特別提醒：tana+tan3,tan“tan3,容易與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系，應(yīng)注意此類題型、選擇題1.若tan1,于tan(312'課時(shí)作業(yè)則tan3等于（）1A.71B.65c.75d.6答案解析tan3=tan(1-X2317.2.3tan23tan97tan23tan97°的值為A.2B.23C.3D.0答案C解析.tan(23°+97°)=tan23+tan97=tan120tan23+tan971-tan23tan973+3tan23tan97.原式=,3tan2

14、3tan97(-V3+V3tan23tan97°)3.已知tan(25,7ttan3a+-4j的值為（）3A.12222B.一13131D.6答案A解析因?yàn)樗詔an+4廠I兀tan一彳J1+tan(a+3Jan1*3-215-4211X-5432?4.A,B,C是ABC勺三個(gè)內(nèi)角，且tanA,tanB是方程3x5x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則ABB(A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.無(wú)法確定答案A解析.tanAH-tanB=5,tanA-tanB=1,.tan(A+B)552,tanC=tan(A+B)=2，C為鈍角，即AB勃鈍角三角形.5.若tan28tan32=a，則t

15、an28+tan32A.3aC.3(a1)B.D.3(1-a)3(a+1)答案B解析.tan(28°+32)=tan28+tan321-tan28tan32=43,tan28+tan323(1-a).6.設(shè)向量a=(cosa，-1),b=(2,sina),若a,b,則tan1B.3D.3解析a-b=2coss一sina=0,得tana=2.tan、tanaJL,兀一tan-4211_1=一4'.+兀1+231+tanatan-47.在ABC43,tanA+tanB+tanC=3>/3,tan2B=tanA-tanC,則B等于（A.30B.450.120°答案D

16、解析由公式變形得D.60°tanA+tanB=tan(A+E)(1tanAtanE)=tan(180°0(1-tanAtanE)=tanC(1tanAtanE)=tanC+tanAtanEtanC.tanA+tanE+tanC=tanC+tanAtanEtanC+tanC=tanAtanEtanC=33.又.匕門力=tanAtanC,.tan3E=3®tanE>=3/3,E>=60.二、填空題,.兀,1tan(7+a丁18.已知tana=",貝U的值是.2兀.1+tan(1+aj答案2tan75°tan15°9.1+tan

17、75°tan15°-.答案3解析原式=tan(75°-15°)=tan60°=木.,一cosasina,10.已知a.B均為銳角，且tanB=-F,則tan(a+B)=.COSa十Sina答案1解析.tanCOSaSinaCOSa+sina1tan1+tantan3+tanatan3=1tana,tana+tan3+tanatan3=1,tana+tan3=1tanatan3,.tana+tan3I1tanatan3'tan(a+3)=1.11.如圖，在AEC,ADLECD為垂足,八口在AEC勺夕卜部，且ED：CD：AD=2：3：6,則

18、tan/BAC=答案解析.ADLBC且BD：CD：AD=2：3：6,tanBD1/BAD=-,AD3'CD31tan/CAD=AcT62'tan/BAC=tan(/CAD-/BADtan/CAD-tan1+tan/CAIthn/BAD11+-x-2312.若(tana1)(tan31)=2,則a+3的最小正值為3兀答案不三、解答題13.已知tan七十a(chǎn)j=小，tan3tan7t(2)tan(a+3)的值.解(1)tan兀Ia+B4f=tan兀I+i+121tantana+(兀、tanjF"+12jan(2)tan(a+3)=tan,兀tan-4兀an-4 2+11+2X12 成3.四、探究與拓展214.如果tan a , tan 3是萬(wàn)程x3x3=0兩根，則sin (a + 3cos fa 3答案解析sin " + 3 l sin c cos 3 + cos a sin 3cos fa 3cos c cos 3 + sin s sin 3tana +tan 31 + tan a tan 31+( 332.3 ,它們的終邊分別與15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角a,單位圓相交于A,B兩點(diǎn)，已知AB的橫坐標(biāo)分別