初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(圓)1

1、平面幾何根底知識(shí)教程圓一、 幾個(gè)重要定義外心：三角形三邊中垂線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為外心內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為內(nèi)心垂心：三角形三邊上的高所在直線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為垂心凸四邊形：四邊形的所有對(duì)角線都在四邊形ABCD內(nèi)部的四邊形稱為凸四邊形折四邊形：有一雙對(duì)邊相交的四邊形叫做折四邊形如以下圖折四邊形二、 圓內(nèi)重要定理：1 四點(diǎn)共圓定義：假設(shè)四邊形ABCD的四點(diǎn)同時(shí)共于一圓上，那么稱A，B，C，D四點(diǎn)共圓根本性質(zhì)：假設(shè)凸四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，那么其對(duì)角互補(bǔ)證明：略判定方法：1定義法：假設(shè)存在一點(diǎn)O使OA=OB=OC=OD，那么A，B，C，D四點(diǎn)共圓2定理1：假設(shè)凸

2、四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，那么此凸四邊形ABCD有一外接圓證明：略特別地，當(dāng)凸四邊形ABCD中有一雙對(duì)角都是90度時(shí)，此四邊形有一外接圓3視角定理：假設(shè)折四邊形ABCD中，那么A，B，C，D四點(diǎn)共圓證明：如上圖，連CD，AB，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)P因?yàn)?，所以特別地，當(dāng)=90時(shí)，四邊形ABCD有一外接圓2圓冪定理：圓冪定理是圓的相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長(zhǎng)定理的統(tǒng)一形式。相交弦定理：P是圓內(nèi)任一點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩弦AB，CD，那么證明：切割線定理：P是圓外任意一點(diǎn)，過(guò)P任作圓的兩割切線PAB，PCD，那么證明方法與相交弦定理完全一樣，可仿前。特別地，當(dāng)C，D兩點(diǎn)重合成為一點(diǎn)C時(shí)，割線PC

3、D變成為切線PC而由割線定理，此時(shí)割線定理成為切割線定理而當(dāng)B，A兩點(diǎn)亦重合為一點(diǎn)A時(shí)，由切割線定理因此有PC=PA，此時(shí)切割線定理成為切線長(zhǎng)定理現(xiàn)考慮割線與切線同時(shí)存在的情況，即切割線定理的情況：如圖，PCD是圓的割線，PE是圓的切線設(shè)圓心為O，連PO，OE，那么由切割線定理有：而注意到黃色是RT，由勾股定理有：，結(jié)合切割線定理，我們得到，這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，如果圓心O與P是確定的，那么PC與PD之積也是唯一確定的。以上是P在圓外的討論現(xiàn)在再重新考慮P在圓內(nèi)的情形，如以下圖，PCD是圓內(nèi)的現(xiàn)，PAB是以P為中點(diǎn)的弦那么由相交弦定理有連OP，OA，由垂徑定理，OPA是RT由勾股定理有，結(jié)合相交弦定理

4、，便得到這個(gè)結(jié)果同樣說(shuō)明，當(dāng)O與P是固定的時(shí)候PC與PD之積是定值以上是P在圓內(nèi)的討論當(dāng)P在圓上時(shí)，過(guò)P任作一弦交圓于A即弦AP，此時(shí)也是定值綜上，我們可以把相交弦定理，切割線定理，割線定理，切線長(zhǎng)定理統(tǒng)一起來(lái)，得到圓冪定理。圓冪定理：P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)可以在圓內(nèi)，圓上，圓外，過(guò)點(diǎn)P任作一直線交圓O于A，B兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)可以重合，也可以之一和P重合，圓O半徑為r那么我們有：由上面我們可以看到，當(dāng)P點(diǎn)在圓內(nèi)的時(shí)候，此時(shí)圓冪定理為相交弦定理當(dāng)P在圓上的時(shí)候，當(dāng)P在圓外的時(shí)候，此時(shí)圓冪定理為切割線定理，割線定理，或切線長(zhǎng)定理以下有很重要的概念和定理：根軸先來(lái)定義冪的概念：從一點(diǎn)A作一圓周上的

5、任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點(diǎn)對(duì)于這圓周的冪對(duì)于兩圓有等冪的點(diǎn)的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。根軸的定義：兩圓等冪點(diǎn)的軌跡是一條直線，這條直線稱為兩圓的根軸性質(zhì)1 假設(shè)兩圓相交，其根軸就是公共弦所在直線由于兩圓交點(diǎn)對(duì)于兩圓的冪都是0，所以它們位于根軸上，而根軸是直線，所以根軸是兩交點(diǎn)的連線性質(zhì)2 假設(shè)兩圓相切，其根軸就是過(guò)兩圓切點(diǎn)的公切線即性質(zhì)1的極限情況性質(zhì)3 假設(shè)三圓兩兩不同心，那么其兩兩的根軸交于一點(diǎn)，或互相平行所交的這點(diǎn)稱為根心證明：假設(shè)三圓心共線，那么兩兩圓的根軸均垂直于連心線，因此此時(shí)兩兩的根軸互相平行假設(shè)三圓心不共線，那么必成一三角形，因此兩兩的根軸必垂直

6、于兩兩的連心線。如圖，設(shè)CD與EF交于點(diǎn)O，連AO交圓分O2圓O3于B,B，那么其中前兩式是點(diǎn)O對(duì)圓O2的冪，后二式是點(diǎn)O對(duì)圓O3的冪，中間是圓O對(duì)圓O1的冪進(jìn)行轉(zhuǎn)化由此B與B重合，事實(shí)上它們就是點(diǎn)B圓O2與圓O3的非A的交點(diǎn)，由此兩兩的根軸共點(diǎn)圓冪定理是對(duì)于圓適用的定理，今使用圓冪定理對(duì)圓內(nèi)接四邊形判定方法的補(bǔ)充：圓內(nèi)接四邊形判定方法4相交弦定理逆定理：如果四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)P，且滿足，那么四邊形ABCD有一外接圓5切割線定理逆定理：如果凸四邊形ABCD一雙對(duì)邊AB與DC交于點(diǎn)P且滿足，那么四邊形ABCD有一外接圓這樣我們就補(bǔ)充了兩種判定方法例射影定理：RTABC中，BC

7、是斜邊，AD是斜邊上的高那么證明：123例2：垂心ABC中，三邊所在的高的所在的直線交于一點(diǎn)證明：3Miquel定理之前1，2的重要定理都是討論關(guān)于點(diǎn)共圓的情況。那么反過(guò)來(lái)，圓共點(diǎn)的情況又如何？從最簡(jiǎn)單的開(kāi)始了解，在本文之后討論圓共點(diǎn)問(wèn)題中，甚至其他類(lèi)型的問(wèn)題，Miquel定理都給予莫大的便利，我們將要不止一次地用到它。先看一個(gè)事實(shí)：如圖，ABC中，AD，BE，CF分別是三邊上的高，那么分別以AEF，BDF，CDE作圓這三個(gè)圓共于一點(diǎn)，而且可以通過(guò)觀察，這個(gè)點(diǎn)就是垂心剛好是AD，BE，CF的交點(diǎn)在介紹Miquel定理之后，我們將會(huì)給這題與垂心一個(gè)闡釋Miquel定理：ABC中，X，Y，Z分別是

8、直線AB，BC，AC上的點(diǎn)，那么這樣的點(diǎn)O稱為X，Y，Z對(duì)于ABC的Miquel點(diǎn)證明：事實(shí)上這個(gè)證明隱含著對(duì)一般證圓共點(diǎn)的方法在開(kāi)掘Miquel定理的證明方法時(shí)可以得到一種更一般的證題方法注意這個(gè)證明只在X，Y，Z在AB，BC，AC邊上時(shí)可以當(dāng)在直線AB，BC，AC上時(shí)需要改一下，這里略去了?，F(xiàn)在回到之前關(guān)于垂心的問(wèn)題。為什么D，E，F(xiàn)關(guān)于ABC的Miquel點(diǎn)就是ABC的垂心 證明：有了Miquel定理，我們可以對(duì)垂心有一個(gè)新的看法用同樣的方法可以對(duì)內(nèi)心，外心以同樣的解釋?zhuān)河纱丝梢?jiàn)，共點(diǎn)圓與三角形的特殊點(diǎn)有很大的關(guān)系，上述3種只是最簡(jiǎn)單的最容易發(fā)現(xiàn)的提起外心就會(huì)聯(lián)想到外接圓，這里不得不提一

9、個(gè)常用定理：正弦定理正弦定理：ABC中，外接圓半徑R，那么證明：作直徑AOD，連BD其余同理想到三角函數(shù)里面的函數(shù)名，那么自然會(huì)想到余弦定理余弦定理：證明：接著便就是著名的費(fèi)馬點(diǎn)，它也與共點(diǎn)圓有關(guān)系費(fèi)馬點(diǎn)，即ABC內(nèi)一點(diǎn)，使其到三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)當(dāng)ABC任一內(nèi)角都<120時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)存在于內(nèi)部，當(dāng)有一內(nèi)角>=120時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)與此角頂點(diǎn)重合設(shè)ABC中任一內(nèi)角均<120，那么費(fèi)馬點(diǎn)F可以通過(guò)如下方法作出來(lái)：分別以AB，AC，BC向外作正，連接對(duì)著的頂點(diǎn)，那么得事實(shí)上，點(diǎn)F是這3個(gè)正的外接圓所共的點(diǎn)而FA+FB+FC其實(shí)就是頂點(diǎn)到對(duì)著的正頂點(diǎn)的連線的長(zhǎng)而且之后將會(huì)有一種方法計(jì)算FA

10、+FB+FC的長(zhǎng)度而這將會(huì)在之后進(jìn)行討論4Simson定理Simson定理是常用而且著名的定理，多用于證明點(diǎn)共線，其逆定理也成立Simson定理：P是ABC外接圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直BC，PE垂直于AB，同理PF那么D，E，F(xiàn)是共線的三點(diǎn)直線DEF稱為點(diǎn)P關(guān)于ABC的Simson線引理完全四邊形的Miquel定理：四條直線兩兩交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點(diǎn)那么共點(diǎn)其中所共的點(diǎn)叫做完全四邊形的Miquel點(diǎn)證明：這里運(yùn)用Miquel定理作為證明今逆定理證略從這個(gè)證明我們看到Miquel定理的威力不僅在于圓共點(diǎn)，而且對(duì)于共點(diǎn)圓也同樣適用在有了Simson定理之后，我們可以運(yùn)用Simson定理來(lái)

11、給予完全四邊形的Miquel定理一個(gè)新的證明即前面的引理證明：由這個(gè)證明，我們可以知道完全四邊形的Miquel定理和Simson定理是等價(jià)的能夠運(yùn)用Simson定理證明的必也可用完全四邊形的密克定理證明，反之亦然這樣，Simson定理便與密克定理產(chǎn)生了莫大的關(guān)聯(lián)例.如圖，P為ABC外接圓上一點(diǎn)，作交圓周于A，作交圓周于B，C同理。求證：證明：設(shè)PA交BC于D，PB交AC于E，F(xiàn)同理，那么由Simson定理知，DEF三點(diǎn)共線由圖形看來(lái)，題斷三條互相平行的線均與Simson線平行，因此可以試證連PB而注意到P，B，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，因此因此AA與Simson線平行。其余同理事實(shí)上，Simson定理可

12、以作推廣，成為Carnot定理Carnot定理：通過(guò)ABC外接圓上的一點(diǎn)P，引與三邊BC，CA，AB分別成同向等角即的直線PD，PE，PF與三邊或其所在直線的交點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)那么D，E，F(xiàn)是共線的三點(diǎn)可以仿照前面的證明(這里的證明也可以運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定定理與性質(zhì)，再證)證明留給讀者，作為習(xí)題5Ptolemy定理本文主要介紹一些平面幾何圓中較為重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一個(gè)十分重要的定理，及其也有重要的推廣Ptolemy定理：假設(shè)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，那么證明：至此，我們重新把求費(fèi)馬點(diǎn)至三頂點(diǎn)距離的長(zhǎng)度和的問(wèn)題提出，運(yùn)用Ptolemy定理解決：如圖，設(shè)AB=c,AC=

13、b,BC=a由，有A，F(xiàn)，B,C四點(diǎn)共圓(這里我們用到著名的求積公式: ,證略).至此，本文平面幾何圓的根底知識(shí)已經(jīng)全部介紹完畢，這里將以著名的Chapple定理結(jié)束(只做了解)這是與圓冪定理的應(yīng)用有關(guān)的定理之一Chapple定理：設(shè)R是ABC的外接圓半徑，r是內(nèi)切圓半徑,d是這兩圓的圓心距，那么證明：事實(shí)上Chapple定理對(duì)旁心也有相應(yīng)的公式，不過(guò)是等號(hào)右邊的符號(hào)-變+但對(duì)本文不提及旁心，因此略去習(xí)題：第一局部(四點(diǎn)共圓的應(yīng)用)1. 如圖，在ABC中，AB=AC.任意延長(zhǎng)CA到P，再延長(zhǎng)AB到Q使AP=BQ.求證：ABC的外心O與A,P,Q四點(diǎn)共圓.(1994年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試第1

14、題)2.如圖，在中，是底邊上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且.求證：.(1992年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試第2題)3. 如圖，設(shè)AB,CD為O的兩直徑，過(guò)B作PB垂直于AB,并與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,過(guò)P作直線與O分別交于E,F兩點(diǎn)，連結(jié)AE,AF分別與CD交于G,H求證:OG=OH.(2002年我愛(ài)數(shù)學(xué)初中生夏令營(yíng)一試第2題).第二局部(圓冪定理的應(yīng)用)4.如圖，等邊三角形ABC中，邊AB與O相切于點(diǎn)H，邊BC,CA與O交于點(diǎn)D,E,F,G。AG=2,GF=6,FC=1.那么DE=_.(第33屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題改編)5. 如圖，O和O都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B，PQ切O于P，交O于Q，M，交AB的延長(zhǎng)線于N.求證: .6.如圖,點(diǎn)P是O外一點(diǎn),PS,PT是O的兩條切線，過(guò)點(diǎn)P作O的割線PAB,交O于A.B兩點(diǎn)，并交ST于點(diǎn)C,求證: .(2001年TI杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽B卷第14題)第三局部(Ptolemy定理的應(yīng)用)7.a,b,x,y是正實(shí)數(shù)，且，求證: .8.從銳角ABC的外心O向它的邊BC,CA,AB作垂線,垂足分別為D,E,F.設(shè)ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r.求證:OD+OE+OF=R+r.9.設(shè)ABC與ABC的三邊分別為a,b,c與a,b,c,且B=B, A+A=.試證:aa=bb+cc.第四局部(Simon定理的應(yīng)用)10證明Carnot定理11