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1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12.2 2.2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算上頁下頁返回首頁四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、矩陣的行列式五、矩陣的行列式一、矩陣的加法一、矩陣的加法二、矩陣的數(shù)乘二、矩陣的數(shù)乘三、矩陣的乘法三、矩陣的乘法 矩陣的乘法的定義、矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)矩陣加法與矩陣數(shù)乘的性質(zhì)矩陣的乘法的性質(zhì)結(jié)束鈴上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2一、矩陣的加法一、矩陣的加法下頁 1.定義定義2.3 設(shè)A與B為兩個(gè)mn矩陣ABa11b11 a12b12 a1nb1n a21b21 a22b22 a2nb2n am1bm1 am2bm2 amnbmn=。a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2
2、amnA=,b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB=,A與B對應(yīng)位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與矩陣B的和,記為AB。即上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3 例例1設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ,1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ,則3 5 7 22 0 4 30 1 2 3AB=1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+8=4 8 9 24 1 9 100 7 6 11。=下頁矩陣的加法:矩陣的加法:設(shè)A=(aij)mn與B=(bij)mn
3、,則AB= (aijbij)mn。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁4u 設(shè)設(shè) A, B, C 為同型矩陣為同型矩陣, 則則 (1) A + B = B + A ( ) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ();上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁5其中其中 O 是與是與 A 同型的零矩陣同型的零矩陣;.3459=C例如,例如,C 的負(fù)矩陣為的負(fù)矩陣為:.C=3459上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁6a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=, 定義定義4.4 設(shè)A=(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積,記為kA。
4、即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA=。下頁二、數(shù)與矩陣相乘(數(shù)乘)二、數(shù)與矩陣相乘(數(shù)乘)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁7矩陣的數(shù)乘:矩陣的數(shù)乘: 設(shè)A=(aij)mn ,則kA=(kaij)mn 。 例例2設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ,則3A3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 = 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 = 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = 。下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁8 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁9 設(shè)設(shè) A, B 為同型矩陣為同型矩陣, , 為常
5、數(shù),則為常數(shù),則(1) () A= ( A); 結(jié)合律結(jié)合律(2) ( + )A = A + A. 分配律分配律(3) (A + B) = A + B. 分配律分配律上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁10 例例3設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ,1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ,求3A2B。 解:解:3A2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3= 31 3 2 02 1 5 70 6 4 822 6 4 04 2 10 140 12 8 169 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = 。7 9 17 62 2 2 50 9 2 7=92 156 214
6、 6064 02 1210 91400 312 68 916 = 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁11 例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ,1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ,且A2X=B,求X。 解解:)(21ABX= =52504110252221=2/512/5022/12/1012/511。 下頁練習(xí)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12 定義定義2.5 設(shè)A是一個(gè)ms矩陣,B是一個(gè)sn矩陣:構(gòu)成的mn矩陣C 稱為矩陣 A 與矩陣 B 的積,記為C=AB。 下頁則由元素 cij=ai1b1jai2b2j aisbsj (i=1, 2, , m;j=1, 2, ,
7、n)。 a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA=,b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB=,c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB=。即三、矩陣的乘法三、矩陣的乘法 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁13B = ,求AB及BA。 A= , 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解:解:2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁14B = ,求AB及BA。 A= , 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解:解:2 31 23 11 2 32 1
8、0AB= =678303;下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁15B = ,求AB及BA。 A= , 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解:解:2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678309735;下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁16B = ,求AB及BA。 A= , 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 02 31 23 11 2 32 1 0BA= =4983, 解:解:2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678309735;下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁17 例例6設(shè) A= ,4221B= ,求AB及BA。 4 263AB=42214 263 解:解:32 16
9、168=,BA=42214 2630 000=,B = ,求AB及BA。 A= , 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解:解: AB =678309735, BA= =4983。下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁18 例例6設(shè) A= ,4221B= ,求AB及BA。 4 263AB= 解:解:32 16168,BA=0 000,B = ,求AB及BA。 A= , 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解:解: AB =678309735, BA= =4983。 可見,矩陣乘法一般不滿足交換律,即ABBA 。 兩個(gè)非零矩陣相乘,可能是零矩陣,從而AB=O推不出A=O或B=O。下頁
10、練習(xí)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁191110 例例7設(shè) A= ,B= ,求AB及BA。 2110 解:解:11102110AB=3110=,21101110BA=3110=, 顯然AB=BA。 如果兩矩陣A與B相乘,有AB=BA,則稱矩陣A與矩陣B可交換。下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁20 解:解:設(shè)可交換的一切矩陣。 例例8求與矩陣A=010001000B= ,abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=那么,下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁21 解:解:
11、設(shè)可交換的一切矩陣。 例例8求與矩陣A=010001000B= ,abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000=, BA0ab0a1b10a2b2=。 令A(yù)B=BA,則有 a1=a2=b2=0,b1=c2=a,c1=b。于是與A可交換的矩陣為Babc0ab00a=,其中a,b,c為任意數(shù)。 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁22 例例 9設(shè)=3021A,=4001B,=0011C,則有 =00113021AC=0011 =00114001BC=0011顯然AC=BC,但AB。矩陣乘法不滿足消去律。 =00113021AC=0011, =00114001BC=0011, 下頁上頁
12、下頁鈴結(jié)束返回首頁23 (1) (AB)C=A(BC); (2) (AB)C=ACBC; (3) C(AB)=CACB; (4) k(AB)=(kA)B=A(kB)。應(yīng)注意的問題:應(yīng)注意的問題: (1) ABBA ; (3) AB=OA=O或B=O。 / (2) AC=BCA=B。 / 下頁 例例11證明:如果CA=AC, CB=BC,則有 (AB)C=C(AB), (AB)C=C(AB)。 證:證:因?yàn)镃A=AC,CB=BC,所以有(AB)C =ACBC=CACB=C(AB),(AB)C =A(BC)=A(CB)=(AC)B =(CA)B =C(AB)。矩陣乘法的性質(zhì):矩陣乘法的性質(zhì):上頁下
13、頁鈴結(jié)束返回首頁24 如果如果 A 是是 n 階矩陣階矩陣, 那么那么AA 有意義有意義, AmAAA個(gè)也有意義也有意義, AkkAAAA個(gè)= 1 = A, 2 = A , k+1 =k ,因此有下述定義因此有下述定義:上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁25 設(shè)設(shè) A 為方陣為方陣, k, l 為正整數(shù)為正整數(shù), 則則對對n階方陣階方陣 A 與與 B一般來說一般來說 , 由于矩陣乘法一般不滿足交換律,由于矩陣乘法一般不滿足交換律, AkAl =的乘法公式不一定成立的乘法公式不一定成立. 所以初等數(shù)學(xué)中所以初等數(shù)學(xué)中(AB)k AkBk ;(A+B)2 A2 +2AB+B2;(A+B)(A-B) A2 -B
14、2;(Ak)l =Ak+l , Akl .上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁26 定義定義2.6 將mn矩陣A的行與列互換,得到的nm矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT或A。即如果a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =,a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =則。 例如,設(shè)x=(x1 x2 xn),y=(y1 y2 yn),則(y1 y2 yn )xTyx1x2xn =x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn 。下頁五、矩陣的轉(zhuǎn)置五、矩陣的轉(zhuǎn)置上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁27轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì):轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì): (
15、1)(AT)T=A; (2)(AB)T=ATBT; (3)(kA)T=kAT;下頁a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =,a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =則。 定義定義2.6 將mn矩陣A的行與列互換,得到的nm矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT或A。即如果五、矩陣的轉(zhuǎn)置五、矩陣的轉(zhuǎn)置 (4)(AB)T=BTAT 。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁28設(shè)設(shè)A與與B是兩個(gè)是兩個(gè)n階對稱矩陣。證明:階對稱矩陣。證明:AB是對稱矩陣是對稱矩陣的的充分必要條件充分必要條件是是A與與B可交換??山粨Q。 因?yàn)橐驗(yàn)锳、B是對稱矩陣,所以是對稱矩陣,所以
16、.,BBAATT=1 1、若、若ABAB是對稱矩陣,則有是對稱矩陣,則有,)(ABABT=于是有于是有TABAB)(=TTAB=BA=所以所以A與與B可交換。可交換。2 2、若、若A A、B B是可交換,則有是可交換,則有,BAAB =于是有于是有TTTABAB=)(BA=AB=所以所以ABAB是對稱矩陣。是對稱矩陣。 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁29 一個(gè)由n階矩陣A的元素按原來排列的形式構(gòu)成的n階行列式稱為矩陣A的行列式,記為|A|,即n階方陣的行列式具有的運(yùn)算律:階方陣的行列式具有的運(yùn)算律: (1)|AB|=|A|B|; (2)| AT |= |A|; (3)| lA|=ln |A|。a11a
17、21an1 a12a22an2 a1na2nann A =,a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann 則 |A| =。下頁六、方陣的行列式六、方陣的行列式上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁30 例例12設(shè)A=(aij)為三階矩陣,若已知|A|=2,求|A|A|。 解:解: |A|A|=(2)3|A|=(2)3(2)=16。提問:提問: 設(shè)矩陣A為三階矩陣,且|A|=m,問|mA|=?答:m4。結(jié)束2A上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁31課堂練習(xí): 2、設(shè)、設(shè)A、B為為n階矩陣,且階矩陣,且A為對稱陣,證明:為對稱陣,證明:ABBT也是對稱陣。也是對稱陣。 3、設(shè)列矩陣、設(shè)列矩陣TnxxxX),(21=滿足滿足, 1=XXTE為為n階單位矩陣,階單位矩陣,,2TXXEH=證明:證明:H是對是對稱矩陣,且稱矩陣,且.EHHT= 1、P57 20 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁32 1、P57 20.若 ,TTA AAAE=.A求 解解TTA AAAE=TTA AAAE=1TAAE=即TAA=又21A=1.A= 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁33 2、設(shè)、設(shè)A、B為為n階矩陣,且階矩陣,且A為對稱陣,證明:為對稱陣,證明:ABBT也是對稱陣。也是對稱
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