矩陣的運(yùn)算（課堂PPT）

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12.2 2.2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算上頁下頁返回首頁四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、矩陣的行列式五、矩陣的行列式一、矩陣的加法一、矩陣的加法二、矩陣的數(shù)乘二、矩陣的數(shù)乘三、矩陣的乘法三、矩陣的乘法 矩陣的乘法的定義、矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)矩陣加法與矩陣數(shù)乘的性質(zhì)矩陣的乘法的性質(zhì)結(jié)束鈴上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2一、矩陣的加法一、矩陣的加法下頁 1.定義定義2.3 設(shè)A與B為兩個(gè)mn矩陣ABa11b11 a12b12 a1nb1n a21b21 a22b22 a2nb2n am1bm1 am2bm2 amnbmn=。a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2

2、amnA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB=，A與B對應(yīng)位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與矩陣B的和，記為AB。即上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3 例例1設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，則3 5 7 22 0 4 30 1 2 3AB=1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+8=4 8 9 24 1 9 100 7 6 11。=下頁矩陣的加法：矩陣的加法：設(shè)A=(aij)mn與B=(bij)mn

3、，則AB= (aijbij)mn。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁4u 設(shè)設(shè) A, B, C 為同型矩陣為同型矩陣, 則則 (1) A + B = B + A ( ) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ();上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁5其中其中 O 是與是與 A 同型的零矩陣同型的零矩陣;.3459=C例如，例如，C 的負(fù)矩陣為的負(fù)矩陣為:.C=3459上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁6a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=， 定義定義4.4 設(shè)A=(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA。

4、即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA=。下頁二、數(shù)與矩陣相乘（數(shù)乘）二、數(shù)與矩陣相乘（數(shù)乘）上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁7矩陣的數(shù)乘：矩陣的數(shù)乘： 設(shè)A=(aij)mn ，則kA=(kaij)mn 。 例例2設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，則3A3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 = 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 = 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = 。下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁8 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁9 設(shè)設(shè) A, B 為同型矩陣為同型矩陣, , 為常

5、數(shù)，則為常數(shù)，則(1) () A= ( A); 結(jié)合律結(jié)合律(2) ( + )A = A + A. 分配律分配律(3) (A + B) = A + B. 分配律分配律上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁10 例例3設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，求3A2B。 解：解：3A2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3= 31 3 2 02 1 5 70 6 4 822 6 4 04 2 10 140 12 8 169 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = 。7 9 17 62 2 2 50 9 2 7=92 156 214

6、 6064 02 1210 91400 312 68 916 = 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁11 例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，且A2X=B，求X。 解解：)(21ABX= =52504110252221=2/512/5022/12/1012/511。 下頁練習(xí)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12 定義定義2.5 設(shè)A是一個(gè)ms矩陣，B是一個(gè)sn矩陣：構(gòu)成的mn矩陣C 稱為矩陣 A 與矩陣 B 的積，記為C=AB。 下頁則由元素 cij=ai1b1jai2b2j aisbsj (i=1, 2, , m；j=1, 2, ,

7、n)。 a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB=，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB=。即三、矩陣的乘法三、矩陣的乘法 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁13B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁14B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1

8、0AB= =678303；下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁15B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678309735；下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁16B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 02 31 23 11 2 32 1 0BA= =4983， 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678309735；下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁17 例例6設(shè) A= ，4221B= ，求AB及BA。 4 263AB=42214 263 解：解：32 16

9、168=，BA=42214 2630 000=，B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解： AB =678309735, BA= =4983。下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁18 例例6設(shè) A= ，4221B= ，求AB及BA。 4 263AB= 解：解：32 16168，BA=0 000，B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解： AB =678309735, BA= =4983。 可見，矩陣乘法一般不滿足交換律，即ABBA 。 兩個(gè)非零矩陣相乘，可能是零矩陣，從而AB=O推不出A=O或B=O。下頁

10、練習(xí)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁191110 例例7設(shè) A= ，B= ，求AB及BA。 2110 解：解：11102110AB=3110=，21101110BA=3110=， 顯然AB=BA。 如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換。下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁20 解：解：設(shè)可交換的一切矩陣。 例例8求與矩陣A=010001000B= ，abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=那么，下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁21 解：解：

11、設(shè)可交換的一切矩陣。 例例8求與矩陣A=010001000B= ，abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000=， BA0ab0a1b10a2b2=。 令A(yù)B=BA，則有 a1=a2=b2=0，b1=c2=a，c1=b。于是與A可交換的矩陣為Babc0ab00a=，其中a，b，c為任意數(shù)。 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁22 例例 9設(shè)=3021A，=4001B，=0011C，則有 =00113021AC=0011 =00114001BC=0011顯然AC=BC，但AB。矩陣乘法不滿足消去律。 =00113021AC=0011， =00114001BC=0011， 下頁上頁

12、下頁鈴結(jié)束返回首頁23 (1) (AB)C=A(BC)； (2) (AB)C=ACBC； (3) C(AB)=CACB； (4) k(AB)=(kA)B=A(kB)。應(yīng)注意的問題：應(yīng)注意的問題： (1) ABBA ； (3) AB=OA=O或B=O。 / (2) AC=BCA=B。 / 下頁 例例11證明：如果CA=AC， CB=BC，則有 (AB)C=C(AB)， (AB)C=C(AB)。 證：證：因?yàn)镃A=AC，CB=BC，所以有(AB)C =ACBC=CACB=C(AB)，(AB)C =A(BC)=A(CB)=(AC)B =(CA)B =C(AB)。矩陣乘法的性質(zhì)：矩陣乘法的性質(zhì)：上頁下

13、頁鈴結(jié)束返回首頁24 如果如果 A 是是 n 階矩陣階矩陣, 那么那么AA 有意義有意義, AmAAA個(gè)也有意義也有意義, AkkAAAA個(gè)= 1 = A, 2 = A , k+1 =k ,因此有下述定義因此有下述定義:上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁25 設(shè)設(shè) A 為方陣為方陣, k, l 為正整數(shù)為正整數(shù), 則則對對n階方陣階方陣 A 與與 B一般來說一般來說 , 由于矩陣乘法一般不滿足交換律，由于矩陣乘法一般不滿足交換律， AkAl =的乘法公式不一定成立的乘法公式不一定成立. 所以初等數(shù)學(xué)中所以初等數(shù)學(xué)中(AB)k AkBk ；(A+B)2 A2 +2AB+B2；(A+B)(A-B) A2 -B

14、2；(Ak)l =Ak+l , Akl .上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁26 定義定義2.6 將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A。即如果a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =則。 例如，設(shè)x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，則(y1 y2 yn )xTyx1x2xn =x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn 。下頁五、矩陣的轉(zhuǎn)置五、矩陣的轉(zhuǎn)置上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁27轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)：轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)： (

15、1)(AT)T=A； (2)(AB)T=ATBT； (3)(kA)T=kAT；下頁a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =則。 定義定義2.6 將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A。即如果五、矩陣的轉(zhuǎn)置五、矩陣的轉(zhuǎn)置 (4)(AB)T=BTAT 。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁28設(shè)設(shè)A與與B是兩個(gè)是兩個(gè)n階對稱矩陣。證明：階對稱矩陣。證明：AB是對稱矩陣是對稱矩陣的的充分必要條件充分必要條件是是A與與B可交換?？山粨Q。 因?yàn)橐驗(yàn)锳、B是對稱矩陣，所以是對稱矩陣，所以

16、.,BBAATT=1 1、若、若ABAB是對稱矩陣，則有是對稱矩陣，則有,)(ABABT=于是有于是有TABAB)(=TTAB=BA=所以所以A與與B可交換。可交換。2 2、若、若A A、B B是可交換，則有是可交換，則有,BAAB =于是有于是有TTTABAB=)(BA=AB=所以所以ABAB是對稱矩陣。是對稱矩陣。 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁29 一個(gè)由n階矩陣A的元素按原來排列的形式構(gòu)成的n階行列式稱為矩陣A的行列式，記為|A|，即n階方陣的行列式具有的運(yùn)算律：階方陣的行列式具有的運(yùn)算律： (1)|AB|=|A|B|； (2)| AT |= |A|； (3)| lA|=ln |A|。a11a

17、21an1 a12a22an2 a1na2nann A =，a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann 則 |A| =。下頁六、方陣的行列式六、方陣的行列式上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁30 例例12設(shè)A=(aij)為三階矩陣，若已知|A|=2，求|A|A|。 解：解： |A|A|=(2)3|A|=(2)3(2)=16。提問：提問： 設(shè)矩陣A為三階矩陣，且|A|=m，問|mA|=?答：m4。結(jié)束2A上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁31課堂練習(xí)： 2、設(shè)、設(shè)A、B為為n階矩陣，且階矩陣，且A為對稱陣，證明：為對稱陣，證明：ABBT也是對稱陣。也是對稱陣。 3、設(shè)列矩陣、設(shè)列矩陣TnxxxX),(21=滿足滿足, 1=XXTE為為n階單位矩陣，階單位矩陣，,2TXXEH=證明：證明：H是對是對稱矩陣，且稱矩陣，且.EHHT= 1、P57 20 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁32 1、P57 20.若 ,TTA AAAE=.A求 解解TTA AAAE=TTA AAAE=1TAAE=即TAA=又21A=1.A= 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁33 2、設(shè)、設(shè)A、B為為n階矩陣，且階矩陣，且A為對稱陣，證明：為對稱陣，證明：ABBT也是對稱陣。也是對稱