系統(tǒng)辨識與參數(shù)估計習題

1、系統(tǒng)辨識與參數(shù)估計課程習題一、 選擇題：答案唯一，在（ ）內(nèi)填入正確答案的編號。1. 對于批量最小二乘格式，其最小二乘無偏估計的必要條件是（ ）。A. 輸入序列為“持續(xù)激勵”信號 B. 與正交C. 為非白噪聲向量 D. 2. 對象模型為時，采用遞推最小二乘估計后的殘差序列的計算式為（ ）。A. B. C. D. 3. 在上題的條件下，遞推最小二乘算法中的增益矩陣可以寫成（ ）。A. B. C. D. 4. 可以同時得到對象參數(shù)和干擾噪聲模型參數(shù)的估計算法是（ ）。A. 輔助變量法 B. 廣義最小二乘法C. 最小二乘限定記憶法 D. 相關(guān)最小二乘兩步法5. 增廣最小二乘估計的關(guān)鍵是（ ）。A.

2、將控制項增廣進中，并用殘差項取代進行估計B. 將輸出項增廣進中，并用殘差項取代進行估計C. 將噪聲項增廣進中，并用殘差項取代進行估計D. 將噪聲項增廣進中，并用輸出項取代進行估計答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C 二、 判斷題：以表示正確或×表示錯誤。1估計殘差平方和最小是確定辨識過程對象結(jié)構(gòu)的唯一標準。（ ）2最小二乘估計的批量算法和遞推算法在數(shù)學上是等價的。（ ）3廣義最小二乘法就是輔助變量法和增廣最小二乘法交替試用。（ ）4在遞推最小二乘算法中，若置，則該算法也能克服“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，進而可適用于時變系統(tǒng)。（ ）5用神經(jīng)網(wǎng)絡對SISO非線性系統(tǒng)辨識，采用的是

3、輸入層和輸出層均為一個神經(jīng)元的三層前饋神經(jīng)元網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)。（ ）答案：1. × 2. 3. × 4. 5. × 三、 設和之間滿足關(guān)系，試圖利用和的觀測值來估計參數(shù)，請將該模型化成最小二乘格式。答案：其中， 四、 對于多輸入單輸出（MISO）系統(tǒng)可由下面的模型描述其中，為系統(tǒng)的m×1維輸入向量；為系統(tǒng)的標量輸出；為標量i.i.d隨機噪聲；為延遲算子，即；為標量參數(shù)多項式，為1×m的參數(shù)多項式向量：請寫出：最小二乘遞推算法公式和計算步驟或流程。答案：根據(jù)題意，可寫出最小二乘格式為：其中，因此，采用批量最小二乘法估計時，設采集數(shù)據(jù)時刻為k=1,2,L，

4、則有批量最小二乘格式為：其中，從而，批量最小二乘估計公式為：遞推最小二乘估計公式為：，初始估計：，是一個充分大的正數(shù)。 計算流程為：（0） 給定；（1） 量測，組成；（2） 計算；（3） 計算；（4） 輸出估計結(jié)果，并由誤差限或數(shù)據(jù)長度L來確定是否停止估計。若條件滿足，則停止估計；否則，繼續(xù)進行。（5） 計算；（6） ，返回到（1）。 五、 對于SISO系統(tǒng)的數(shù)學模型其中，和分別為系統(tǒng)的輸入輸出量，為干擾噪聲，和為參數(shù)多項式：且，為延遲算子，即。1 對于量測、，寫出估計系統(tǒng)參數(shù)的最小二乘批量算法詳細公式。2 給出最小二乘法無偏估計的條件并加以證明。3 簡述辨識動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟。答案：

5、1由題意可知，采用L次測量的批量最小二乘格式可寫為：其中，因此，最小二乘批量算法公式為： 2證明：當和不相關(guān)時，上式第二項為零，最小二乘估計為無偏估計，為零均值獨立隨機序列時，此條件自然滿足。此時，。 3辨識動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟為：Step1: 確定建模目的，并由工藝和物理/化學過程初步確定模型形式和結(jié)構(gòu)；Step2: 試驗設計：包括試驗信號設計、采樣周期選擇、實驗數(shù)據(jù)長度選定、試驗方式（離線/在線）等；Step3: 實際系統(tǒng)試驗，采集輸入輸出數(shù)據(jù)，并進行數(shù)據(jù)的預處理；Step4: 模型結(jié)構(gòu)假設，選定階次范圍；Step5: 選供適用算法進行參數(shù)估計，得到一組數(shù)學模型；Step6: 模型結(jié)

6、構(gòu)的確定，得到一個數(shù)學模型；Step7: 模型檢驗；根據(jù)檢驗結(jié)果，可能要從Step2到Step6中的任何一步重新做起。Step8: 若模型檢驗合格，則得到最終模型。 六、 某系統(tǒng)的動態(tài)模型為，假設：系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且和都為零均值廣義平穩(wěn)隨機序列。采用輔助變量法進行參數(shù)估計，進行L次量測，且L充分大,試證明：是一個合適的輔助變量矩陣。答案：證明：輔助變量法的計算公式為根據(jù)題義有因vk、uk和yk均為是零均值廣義平穩(wěn)噪聲序列，所以，式中，又相關(guān)函數(shù)可得由此可知，ZN矩陣是一個合適的輔助變量矩陣。 七、 在遞推最小二乘估計中，新息的表達式為。1. 請寫出殘差的表達式2. 證明：答案：1. 2. 證明：

7、 八、 請證明：在遞推最小二乘估計中。證明：在遞推最小二乘估計中， 九、 考慮一個SISO閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示，其中和分別為前向通道過程輸入和輸出量，為白噪聲擾動序列，過程參數(shù)多項式、和已知的調(diào)節(jié)器參數(shù)多項式、分別表示為： 試證明：過程參數(shù)多項式可辨識的條件是使調(diào)節(jié)器參數(shù)多項式的階次滿足+ -+ +過程 或 答案：證明：由題義可知過程對象的數(shù)學模型為由wk到y(tǒng) k的閉環(huán)系統(tǒng)方程為令 （8-1）顯然有，則閉環(huán)系統(tǒng)方程可以寫為亦可進一步寫成最小二乘格式 其中，采用相應的最小二乘類型參數(shù)估計算法，可以估計得到。應估計的主要的過程參數(shù)多項式、的參數(shù)個數(shù)為，需要根據(jù)已知的調(diào)節(jié)器參數(shù)多項式、，用估計得到的，從方程（3-1）中解出。方程（3-1）兩邊同次冪系數(shù)比較即可得到線性方程組，從而解出過程參數(shù)的估計值和，有唯一解的必要條件為：其等價條件為或，命題得證。 十、 考慮一個SISO閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示,其中和分別為前向通道被控對象的輸入和輸出量，為白噪聲擾動序列。試討論以下兩種情況的被控對象模型參數(shù)的可辨識性和辨識結(jié)果。1控制器為：2控制器為：+ +控制器被控對象答案：被控對象的結(jié)構(gòu)參數(shù)：1時， ，該閉環(huán)系統(tǒng)可以辨識。閉環(huán)系統(tǒng)方程為：其中，根據(jù)題意，采用增廣最小二乘法對閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù)進行估計，可得：從而可以解出前向通道被控系統(tǒng)參數(shù)的估計值為：2. 由于是兩個不同的控制器切換，故存在閉環(huán)系統(tǒng)可辨識性。（1