數(shù)值分析歷年考題

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流數(shù)值分析歷年考題.精品文檔.數(shù)值分析A試題2007.1第一部分：填空題1051.設(shè),則_ _2.將分解成，則對(duì)角元為正的下三角陣_3.已知數(shù)據(jù)12341.652.724.487.39,請(qǐng)用線性最小二乘擬合方法確定擬合函數(shù)中的參數(shù)： _ _4.方程在上有 個(gè)根，若初值取，迭代方法的收斂階是5.解方程的迭代方法為_(kāi)，其收斂階為_(kāi)6.設(shè) 為三次樣條函數(shù)，則 _ _7.要想求積公式：的代數(shù)精度盡可能高，參數(shù) _ _此時(shí)其代數(shù)精度為：_8.用線性多步法來(lái)求解初值問(wèn)題其中，該方法的局部截?cái)嗾`差為_(kāi)，設(shè)其絕對(duì)穩(wěn)定性空間是_9.用線性多步法來(lái)求解初值問(wèn)題其中

2、，希望該方法的階盡可能高，那么 _ _，此時(shí)該方法是幾階的：_10.已知上的四次legendre多項(xiàng)式為,求積分_其中為常數(shù)。第二部分：解答題（共5題，其中1，2，5題必做，3，4選做一題）1.（14分）已知方程組其中（1）用迭代收斂的充要條件，分別求出是Jacobi和Gauss-seidel迭代法收斂的的取值范圍，并給出這兩種迭代法的漸進(jìn)收斂速度比。（2）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出SOR方法迭代矩陣的表達(dá)式和SOR方法計(jì)算公式的分量形式，并取初值，求（3）取，用迭代公式，試求使該迭代方法收斂的的最大取值范圍，最優(yōu)=？2（14分）用單步法求解初值問(wèn)題：（1） 求出局部截?cái)嗾`差以及局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，該方法是幾階

3、的？（2） 求絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)間。（寫(xiě)出求解過(guò)程）（3） 用該方法解初值問(wèn)題時(shí)，步長(zhǎng)滿足什么條件才能保證方法的絕對(duì)穩(wěn)定性。3（14分）已知非線性方程組 ，在矩形域內(nèi)有解。提示：（1） 取初值，用Newton迭代。（2） 記，并設(shè)。試證明不動(dòng)點(diǎn)迭代法在處具有局部收斂性。4（14分）試構(gòu)造Gauss型求積公式：其中，權(quán)函數(shù)構(gòu)造步驟如下：（1） 構(gòu)造區(qū)間上權(quán)函數(shù)為的首項(xiàng)系數(shù)為1的二次正交多項(xiàng)式，求出Gauss點(diǎn)（2） 寫(xiě)出求積系數(shù)，并給出求積公式代數(shù)精確度的次數(shù)（3） 寫(xiě)出求積公式的余項(xiàng)表達(dá)式并化簡(jiǎn)5（8分）設(shè)A為n階非奇異陣，B是奇異陣，求證,其中為矩陣從屬范數(shù)，為常數(shù)，且第二份（2004.6）1.

4、給定二階RK基本公式，求相容階數(shù)，判斷是否收斂，考慮穩(wěn)定性后對(duì)h的要求2. 給定一個(gè)分段函數(shù)，求全函數(shù)為1區(qū)間的最佳二次平方逼近3. 給定對(duì)稱(chēng)正定矩陣（3*3），判斷SOR收斂性（）、給定初值算一步，估計(jì)5次迭代誤差4. 給定求積表達(dá)式，要求有最大的代數(shù)精度，確定參數(shù)和代數(shù)精度 從0積到2 5. 給定兩個(gè)矩陣（均為3*3）,將A變化為三對(duì)角陣，用QR方法對(duì)算一步求6. （1）設(shè)B奇異，證明,其中為算子范數(shù)。（2）證明最佳n次平方逼近函數(shù)奇偶性與相同第三份，韓老師2002.11. 單步法（1）收斂階（2）絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間（3）對(duì)在時(shí)討論數(shù)值擾動(dòng)的穩(wěn)定性2.（1）的逼近 （2） 確定，判斷代數(shù)精度，是

5、否高斯3. 給定 (1) ,證明局部收斂 （2） 給定，用牛頓算兩步4. 含未知數(shù) （1）求，使存在 （2）給定，用算L （3）給定，判斷是否收斂 （4）給定，SOR算一步5. 給定（1）算p，（2）對(duì)做QR（3）算一步QR迭代，得到6. ,證明可逆，并證明第四份，鄭老師2006年填空：1. 3.1425926是的幾位有效數(shù)字2. ，求均差3. 公式得代數(shù)精度是幾階4. 積分系數(shù)的和是多少5. ，求6. ，求的最佳一次平方逼近，最佳一次一致逼近7. 拉格朗日插值基函數(shù)，是相異節(jié)點(diǎn)，求簡(jiǎn)答：1. 高斯積分，使代數(shù)精度最高，求2. ，用LU分解求解3. 變換成準(zhǔn)上三角陣，用givens變換，第一種

6、原點(diǎn)位移QR分解求一步，求4. 證明嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣A可逆，且除第一份是完整試卷外，其余皆為回憶版，可能有錯(cuò)誤之處，大家湊合看，抓住要點(diǎn)即可。2002年12月30晚7:20-9:20B卷一.(1)函數(shù)f(x)=|x|在-1,1上積分，求在空間span1,x2和spanx,x3上權(quán)函數(shù)p(x)=1的最佳平方逼近函數(shù)，并說(shuō)明(2)對(duì)f(x)在-1,1上積分,求A0,A1,A2,x0,x2,使得A0*f(x0)+A1*f(0)+A2*f(x2)對(duì)求積公式有最高的代數(shù)精度，并求代數(shù)精度二.A=201;02-1;1-11(1)求householder變換矩陣P，使得A1=PAP為三對(duì)角矩陣(2)用Giv

7、ens變換，對(duì)A1進(jìn)行QR分解；(3)若用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并證明A2和A相似三.線性二步法y(n+2)=y(n)+h*(fn-fn+2)fi=f(ti,yi)(1)求局部截?cái)嗾`差及主部，方法是幾階收斂(2)用根條件判斷收斂性(3)絕對(duì)收斂域四.A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，最大特征值和最小特征值分別是1和n,迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b求w的范圍，使迭代法收斂，并求w使收斂速度最快。五.非線性方程組F(x)=x12-10*x1+x22+8;x1*x22+x1-10*x2+8=0令G(x)=1/10*(x12+x22+8)1/10*(x1*x22+x1+8)(1

8、)若0x1,x23/2,用x=G(x)迭代，證明G(x)在D中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)；(2)判斷G(x)是否收斂？(3)寫(xiě)出牛頓迭代法的公式，并且取初值x0=(0.5,0.5)T,求出x1六.A，B為n*n階矩陣，A非奇異，|A-B|1/|A(-1)|證明：(1)B非奇異(2)|B(-1)|=|A(-1)|/(1-|A(-1)|*|A-B|)(3)|A(-1)-B(-1)|=|A(-1)|2*|A-B|/(1-|A(-1)|*|A-B|)1.三點(diǎn)高斯勒讓得積分公式最佳平方逼近，f(x)=|x|，(-1,1)分別在span1,x2和spanx,x3中求2.書(shū)上P236第31題第2小問(wèn)原題，只是沒(méi)告訴的

9、范圍，要你求3.書(shū)上P257原題加了兩問(wèn)，證明收斂，再算一步4.householder變換Givens做QR分解5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2)求局部TE，相容，根條件，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間6.定理1.12和推論，以及P167式3.4的應(yīng)用|A-B|1/|inv(A)|要證B可逆,|inv(B)|=|inv(A)|/(1-|A-B|*|inv(A)|)|inv(A)-inv(B)|=(|inv(A)|)2*|A-B|/(1-|A-B|*|inv(A)|)填空：1A=1,1/2;1/2,1/3求|A|2和cond2（A）2J，GS迭代有關(guān)3f(x)=x2+3x+2,在2，1，0，1，2

10、五點(diǎn)確定得拉格朗日多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式4一個(gè)穩(wěn)定得算法計(jì)算一個(gè)良態(tài)得問(wèn)題是否一定穩(wěn)定（大致）計(jì)算1F(x)=.(1)證明x(k+1)=x(k)-1/4F(x)收斂到其解x*=1,1,1(2)用牛頓法在給定初值x0.下計(jì)算兩步2顯式和隱式歐拉法得局部截?cái)嗾`差和階數(shù)，寫(xiě)出梯形法，及其階數(shù).3A=4,1,1;1,1,1;1,1,2;b=.(1)housholder變換求A得QR變換(2)用QR變換結(jié)果計(jì)算Ax=b證明已知Ax=b,A(x+deltaX)=b+deltaB證明|deltaX|/|x|=cond(A)*|deltaB|/|b|1.（1）求f(x)=|x|,區(qū)間-1，1上權(quán)函數(shù)為(x)=1，在

11、span1,x2上的最佳平方逼近（2）0，1上權(quán)函數(shù)為(x)=1，求積分公式Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)的參數(shù)使得代數(shù)精度盡可能高2。A=034；300；401（1）求householder變換使A1=PAP為對(duì)稱(chēng)三對(duì)角陣（2）用givens變換求A1的QR分解（3）用不帶原點(diǎn)位移的QR算A的特征值，A1迭代一次得A2，證明A2與A1相似3。不動(dòng)點(diǎn)迭代F（x）=0，F(xiàn)（x）=x1+x22-x12+x2等價(jià)于x=G(x)，G(x)=-x22x12（a）證明D=（x1,x2）T|-0.25=x1,x2=0.25上，G有唯一不動(dòng)點(diǎn)（b）寫(xiě)出newton公式，取x(0)=(1,1)T，求x(1

12、)4.初值問(wèn)題dy/dt+y=0,y(0)=1（a）tn=nh，用梯形法求數(shù)值解yn（b）h趨于0時(shí)，證明數(shù)值解收斂于準(zhǔn)確解y=exp(-t)（c）梯形法的局部階段誤差主項(xiàng)（d）梯形法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域5（1）A為n*m矩陣，列滿秩，w與ATA的特征值有什么關(guān)系時(shí)x(k+1)=x(k)+wAT(b-Ax(k)收斂到ATAx=ATb的唯一解（2）B為n階方陣，x*=Bx*+C,迭代公式x(k+1)=Bx(k)+C若|B|=1且|x(k)-x(k-1)|=(1-)/證明|x*-x(k)|=6.A對(duì)稱(chēng)正定，（x）=0.5xTAx-xTb,p為非零向量定義()=(x+p),求為何值時(shí)()最小證明對(duì)此定義下

13、的x*=x+p,有b-Ax*與p正交1、給定2階RK基本公式，求相容階數(shù)，判斷是否收斂，考慮穩(wěn)定性后對(duì)h的要求yn+1=yn+h/2*(k1+k2)k1=f(tn,yn)k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1)2、給定一個(gè)分段函數(shù)，求全函數(shù)為1區(qū)間0，2的最佳二次平方逼近3、給定對(duì)稱(chēng)正定矩陣(3*3)，判斷SOR收斂性(w=1.2)、給定初值算一步、估計(jì)5次迭代誤差4、給定求積表達(dá)式，要求有最大的代數(shù)精度，確定參數(shù)和代數(shù)精度f(wàn)(x)從0積到2=r1*f(x1)+r2*f(x2)5、給定兩個(gè)矩陣A、A1(均為3*3)，將A變化為三對(duì)角陣，用QR方法對(duì)A1算一步求A26、(1)以前試題

14、的變形,設(shè)B奇異，證明(|A-B|/|A|)=1/(|inv(A)|A|)，其中|為算子范數(shù)(2)證明最佳n次平方逼近函數(shù)奇偶性與f(x)相同5道大題，若干小題，卷面成績(jī)滿分701.(1)求f(x)=sqrt(1-x2)在span1,x,x2上，權(quán)函數(shù)為rou=1/sqrt(1-x2)的最佳平方逼近多項(xiàng)式(2)求證高斯型求積公式中的A(k)滿足A(k)=p(x)l(x)dx=p(x)l2(x)dx，其中l(wèi)(k)為L(zhǎng)agrange多項(xiàng)式2.(1)Ax=b中A非奇異，則用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等價(jià)方程ATAx=ATb，各種方法的收斂性怎樣？（其中0w2)(2)A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，求證其

15、有唯一的LU分解，對(duì)稱(chēng)矩陣310;131;013求其cholysky分解3.(1)寫(xiě)出用Lanczos方法計(jì)算某矩陣第一列的和(2)已知矩陣300;032;023，求其QR分解，計(jì)算一步H=RQ4(1)f(x)=x22-x12-x1其精確解為x*=000,寫(xiě)出牛頓法的計(jì)算公式sin(x12)-x2;(2)已知G(x)=x22-x12sin(x12);給出區(qū)域D使得在此區(qū)域內(nèi)的初始值可以收斂到精確解，并說(shuō)明原因5.(1)線性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2)，計(jì)算其局部階段誤差的階數(shù)若h=0.1，判斷其穩(wěn)定性(2)已知R(z)

16、的穩(wěn)定函數(shù)是exp(z)的pade(1,2)逼近多項(xiàng)式，計(jì)算其穩(wěn)定域，是否是A-穩(wěn)定?（pade逼近的計(jì)算公式卷子上給了)1.已知矩陣21求矩陣的譜半徑，條件1范數(shù)，條件2范數(shù)，條件無(wú)窮范數(shù)01,我做的是2,1,3+sqr(5),3,切比雪夫多項(xiàng)式是T(X),問(wèn)T(2x-1)的時(shí)候取值范圍以及權(quán)我的計(jì)算是0,1,1/sqr(1-(2x-1)2)2.已知一個(gè)內(nèi)積的定義xf(x)g(x)dx=(g,f)，范圍是(0,1)，求x2在0，1上面的一次最佳平方逼近。3.要求高斯積分x(1-x)f(x)dx=Aif(xi),求N=1以及N=2時(shí)的求積節(jié)點(diǎn)以及系數(shù)我的答案，隨便猜得N=1，節(jié)點(diǎn)為0.5+sq

17、r(3)/6,0.5-sqr(3)/6，系數(shù)都是1/12還是1/6,記不清楚了N=2時(shí)，三個(gè)節(jié)點(diǎn)0.5-saq(15)/10,0.5,0.5+sqr(15)/10，三個(gè)系數(shù)1/36.1/9.1/36，不知道對(duì)不對(duì)。4.LU分解解一個(gè)三階矩陣5.牛頓迭代法6.QR分解以及HOUSEHOULDER變換7.現(xiàn)性多步法8.單步法求證二階相容并且絕對(duì)穩(wěn)定1、填空：a、有效數(shù)字，3.1425926近似pi小心，從小數(shù)點(diǎn)后第三位就不一樣了b、均差f=x3+x-1求f1,1,1，f0,1,2,3，f0,1,2,3,4c、simpson公式代數(shù)精度3d、Newton-Cotes積分系數(shù)Ck的和這個(gè)就是1啦，呵呵

18、e、A=1,2;0,1，求普半徑，1，2，無(wú)窮條件數(shù)f、x2的最佳一次平方逼近和一致逼近g、拉格朗日插值基函數(shù)lk(x)xk(n+1)從0到n求和2、高斯積分x2f(x)=Af(x0)+Bf(x1)+Af(x2).積分限-1，13、LU分解求方程組的解4、求Householder陣P使得PAP為三對(duì)角陣用第一種QR位移迭代算一步，求A25、證明嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣A可逆，且A(-1)的無(wú)窮范數(shù)小于1/min|aii|-除對(duì)角線外的|aij|6、第九章的作業(yè)題P480T6(數(shù)值分析基礎(chǔ)高等教育出版社關(guān)治、陸金甫)填空：1.3.14215是pi的幾位有效數(shù)字據(jù)說(shuō)是32.f(x)=x3+x-1,求f1,

19、1,16,f0,1,2,31,f0,1,2,3,403.simpson的代數(shù)精度是幾階34.N-C的系數(shù)是Cnk，求系數(shù)和15.12;01譜半徑1條件1范數(shù)9條件2范數(shù)32sqr(2)條件無(wú)窮范數(shù)96.-1,1求f(x)=x2的最佳一次平方逼近1/3最佳一次一致逼近1/27.X0,X1.Xn是相異節(jié)點(diǎn)求西格碼lk（0）Xk(n+1)=(-1)nX0X1Xn計(jì)算題1積分符號(hào)x2f(x)dxAf(x0)+Bf(x1)+A(x3)，-1,1,使代數(shù)精度最高求A,B，x0,x1,x2A=7/25,B=8/75X0=-sqr(5/7)x1=0x2=sqr(5/7)2121;223;-1-30b=032L

20、U分解接x1,-1,13.201;02-1;1-11householder變換成準(zhǔn)上三角陣用givens變換，第一種原點(diǎn)位移QR分解求一步證明A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，證明A可逆（書(shū)上定理）|A-1|u-,問(wèn)哪個(gè)是穩(wěn)態(tài)的哪個(gè)不是矩陣如果可以相似對(duì)角化，就一定可以求解特征值，其條件數(shù)等于求矩陣解的條件數(shù)cond（判斷）多重網(wǎng)格是解橢圓方程的最優(yōu)方案，其特點(diǎn)是用粗網(wǎng)格消去高頻分量，細(xì)網(wǎng)格消去低頻分量（判斷）f(x)=f(x1,x2,x3)=x1x2-x2x3-x32-x2-x3臨界點(diǎn)臨界值正則點(diǎn)正則值不完全LU分解用于用Gauss消去法求解稀疏陣（判斷）就記得這么多了大題：（4,1,1;1,2,1;1,

21、1,3)用初值q1=(1/3,2/3,2/3)進(jìn)行l(wèi)anczos分解（數(shù)據(jù)是回憶的，不一定對(duì)）一個(gè)函數(shù)(x)，表達(dá)示不記得了問(wèn)(1)證明x=(.,.)是其解（送分的，代入就行）(2)寫(xiě)出Newton法迭代式（很容易寫(xiě)）(3)寫(xiě)出當(dāng)x0=(.,.)時(shí)用newton法的x1（總體很常規(guī)，不難）A=（4,1;1,1;1,2)問(wèn)(1)svd分解(2)求A+(3)求r(A)，（送分的）4.證明題:zm屬于krylov空間Km(r0,Ar0,A2r0.)，Lm=AKm(Ar0,A2r0,A3r0.)，證明（r0-Azm,v)=0,v屬于Lm|r0-Azm|=min|r0-Az|其中z屬于Km（比較簡(jiǎn)單，書(shū)

22、上有的）5一題變分的，要求證明兩個(gè)問(wèn)題等價(jià)，好像是d4u/dx4=f(x)，變分為一個(gè)邊值和一階邊值為零的問(wèn)題具體記不清了，因?yàn)闆](méi)時(shí)間，只看了看，但也不是太難可用分部積分算算應(yīng)該可以做出來(lái)1。單步法yn+1=yn+h/4(f(tn,yn)+3f(tn+2/3h，yn+2/3hf(tn,yn)1)Tn+1,收斂階2)絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間3)對(duì)y=-5y+2,y0=1(好像是），在h=0.2,0.5,1時(shí)討論數(shù)值擾動(dòng)的穩(wěn)定性2.1)exp(-2x)的pade(1*2)逼近2)I=A(f(x0)+f(x1)+f(x2)確定A,x1,x0,x2,判斷代數(shù)精度，是否高斯3。給定F(x)1）xk+1=xk-1/4

23、F(x),x*=(1,1,1)T,證明局部收斂2）給定x0,用牛頓算兩部4。Ax=bA含未知數(shù)a1)求a,使LLT存在2）給定a,用cholesky算L3)給定a,判斷jacobi,gauss_siedel是否收斂4）給定a,sor算一步5。給定A,1)househoulder算p，A1=pAp2)givens對(duì)A1做QR3)算一步QR迭代，得到A26。|B|1,證明I-B可逆，并證明|I-B|1/1-|B|1.(1)sin(x)的pade(3*3)逼近(2)確定求擊公式的待定參數(shù)，使代數(shù)精度盡量高并指出代數(shù)精度是多少，判斷是否為Gauss型2.給出一多步線性方法，要求作出(1)該方法誤差主項(xiàng)

24、和階的判定(2)相容性判定(3)是否滿足根條件(4)是否A穩(wěn)定3.給定矩陣，要求作上Hessenberg陣和基本QR分解4.給一非線性方程組，要求(1)寫(xiě)出相應(yīng)的牛頓法迭代公式(2)自己再設(shè)計(jì)一種迭代方式，并判定其局部收斂性5.給一矩陣A，含有參數(shù)a，要求(1)用J法的充要條件求a的范圍(2)若a0，寫(xiě)出SOR法的分量計(jì)算公式，并求最優(yōu)松弛因子6.壓縮影射原理中不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性證明1.1)求sin(x)的pade(3*3)逼近R332)確定求積公式的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高并指出代數(shù)精度是多少，判斷是否為Gauss型(區(qū)間是-2到2,被積函數(shù)是f(x),求積公式為Af(-)+Bf(0)+Cf()2.給出一多步線性方法，y(n+2)=y(n)+hf(n)+f(n+2)1)求此方法局部截?cái)嗾`差主項(xiàng),并判斷方法的階2)是否相容3)是否滿足根條件,是否收斂4)是否A穩(wěn)定3.給定矩陣A,B.51-2340A=-321B=4414130021)用正交相似變換把A變化成上Hessenberg型矩陣2)對(duì)B做一次QR分解4.給一非線性方程組3(X1)2-(X2)2=03(X1)(X2)2-(X1)3-1=0此方程組在D