初中八上全等三角形證明方法歸納經(jīng)典全

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上【第1部分 全等基礎知識歸納、小結(jié)】1、全等三角形的定義： 能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。 概念深入理解：（1）形狀一樣，大小也一樣的兩個三角形稱為全等三角形。（外觀長的像）（2）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折之后能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。（位置變化）圖3圖1圖22、全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的，記作“ABCABC”其中，“”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3、全等三角形的性質(zhì)： 全等是工具、手段，最終是

2、為了得到邊等或角等，從而解決某些問題。（1）全等三角形的對應角相等、對應邊相等。 （2）全等三角形的對應邊上的高，中線，角平分線對應相等。 （3）全等三角形周長，面積相等。 4、尋找對應元素的方法（1）根據(jù)對應頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應頂點為頂點的角是對應角；以對應頂點為端點的邊是對應邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應頂點的字母都寫在對應的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應的元素。（2）根據(jù)已知的對應元素尋找全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（3）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應關系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關系的觀察和分

3、析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過下列各種運動而形成的；運動一般有3種：平移、對稱、旋轉(zhuǎn)；5、全等三角形的判定：（深入理解）邊邊邊（SSS） 邊角邊（SAS） 角邊角（ASA） 角角邊（AAS）斜邊，直角邊（HL）注意：（容易出錯）（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等（邊定全等）；（2）不能證明兩個三角形全等的是，三個角對應相等，即AAA；有兩邊和其中一角對應相等，即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識。6、常見輔助線寫法：（照著

4、輔助線說明要能做出圖、養(yǎng)成嚴謹、嚴密的習慣）如： 過點A作BC的平行線AF交DE于F過點A作BC的垂線，垂足為D延長AB至C，使BCAC在AB上截取AC，使ACDE作ABC的平分線，交AC于D取AB中點C，連接CD交EF于G點 同一條輔助線，可以說法不一樣，那么得到的條件、證明的方法也不同?！镜?部分 中點條件的運用】1、還原中心對稱圖形（倍長中線法）中心對稱與中心對稱圖形知識： 把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。中心對稱的兩條基本性質(zhì)：（1）關于中

5、心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。（2）關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。中心對稱圖形把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。（一個圖形）如：平行四邊形線段本身就是中心對稱圖形，中點就是它的對稱中心，所以遇到中點問題，依托中點借助輔助線還原中點對稱圖形，可以把分散的條件集中起來（集散思想）。例1、AD是ABC中BC邊上的中線，若AB2，AC4，則AD的取值范圍是_。例2、已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F，AFEF，求證：A

6、CBE。例3、如圖，D是ABC的邊BC上的點，且CD=AB，ADB=BAD，AE是ABD的中線。求證：AC=2AE例4 ABC中，AD、BE、CF是三邊對應中線。（則O為重心） 求證：AD、BE、CF交于點O。（類倍長中線）； 練習 1、在ABC中，D為BC邊上的點，已知BADCAD，BDCD，求證：ABAC2、如圖，已知四邊形ABCD中，ABCD，M、N分別為BC、AD中點，延長MN與AB、CD延長線交于E、F，求證BEMCFM3、如圖，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，點M為BC的中點，求證：DE=2AM （基本型：同角或等角的補角相等、K型）2、兩條平行線間線段的中點（“八字型

7、”全等） 如圖，C是線段AB的中點，那么過點C的任何直線都可以和二條平行線以及AB構造“8字型”全等例1 已知梯形ABCD，ADBC，點E是AB的中點，連接DE 、CE。 求證：例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中點，CEAB于點E，CEM=40°，求DME的大小。（提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）例3 已知ABD和ACE都是直角三角形，且ABDACE=90°，連接DE，設M為DE的中點。求證：MBMC；設BADCAE，固定RtABD，讓RtACE移至圖示位置，此時MBMC是否成立？請證明你的結(jié)論。練習 1、已知：如圖，梯形ABCD中，AD

8、BC，ABC=90°若BD=BC，F(xiàn)是CD的中點，試問：BAF與BCD的大小關系如何？請寫出你的結(jié)論并加以證明；2、RtABC中，BAC=90°，M為BC的中點，過A點作某直線，過B作于點D，過C作于點E。（1）求證：MD=ME（2）當直線與CB的延長線相交時，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否任然成立？3、如圖（1），在正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC）中，點B、C、G在同一直線上，M是AE的中點，（1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關系，并證明；（2）將圖（1）中的正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF的對角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線

9、上，原問題中的其他條件不變。（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。（結(jié)合前面“8字型”全等，仔細思考）3、構造中位線三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半 重點區(qū)分：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開，三角形中線是連結(jié)一頂點和它對邊的中點；而三角形中位線是連結(jié)三角形兩邊中點的線段。（全等法）在ABC中，D、E分別是AB、AC邊的中點，證明：DEBC，DE=BC證明：延長DE至F點，使DE=EF，連接CF（倍長中線） 三角形的中位線在位置關系和數(shù)量關系二方面把三角形有關線段聯(lián)系起來，將

10、題目給出的分散條件集中起來（集散思想）。注：題目中給出多個中點時，往往中點還是不夠用的。例1 在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。例2 已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC=BD，M、N分別是AB、CD的中點，MN分別交BD、AC于點E、F.你能說出OE與OF的大小關系并加以證明嗎？練習 1、三角形ABC中，AD是BAC的角平分線，BDAD，點D是垂足，點E是邊BC的中點，如果AB=6，AC=14，求DE的長。2、ABCD，BCAD ，DEBE ，DF=EF，甲從B出發(fā)，沿著BA->AD->DF的

11、方向運動，乙B出發(fā)，沿著BC->CE->EF的方向運動，如果兩人的速度是相同的，且同時從B出發(fā)，則誰先到達F點？3、等腰RtABC與等腰RtCDE中，ACB=EDC=90°，連AE、BE，點M為BE的中點，連DM。（1）當D點在BC上時，求的值（2）當CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角時，上結(jié)論是否任然成立，試證明4、ABC、CEF都為等腰直角三角形，當E、F在AC、BC上，ACB=90°，連BE、AF，點M、N分別為AF、BE的中點（1）MN與AE的數(shù)量關系（2）將CEF繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，MN與AE的數(shù)量關系4、與等面積相關的圖形轉(zhuǎn)換 在涉及三角形的面積問

12、題時，中點提供了底邊相等的條件，這里有個基本幾何圖形 如圖，ABC中，E為BC邊的中點，那么顯然 ABE和AEC有相同的高AD，底邊也相等，故面積相等。例 E、F是矩形ABCD的邊AB、BC的中點，連AF、CE交于點G，則=擴展 如圖，等腰RtACD與RtABC組成一個四邊形ABCD，AC=4，對角線BD把四邊形ABCD分成了二部分，求的值。【5、等腰三角形中的“三線合一”】 “三線合一”是相當重要的結(jié)論和解題工具，它告訴我們等腰三角形與直角三角形有著極為親密的關系。例 ABC中，AB=AC，BDAC于D，問CBD和BAC的關系？分析：CBD和BAC分別位于不同類型的三角形中，可以考慮轉(zhuǎn)為同類

13、三角形。例 在ABC中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC中點，MNAC于點N，則MN=_【6、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半】這可以作為一個定理直接運用，關于這個定理的證明有多種方法，包括利用前面所講中點的一些知識。例 如圖RtABC中，ACD=90°，CD為斜邊AB上的中線 求證：CD= AB（1）利用垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任一點到線段 的二個端點的距離相等。 取AC的中點E，連接DE。則DEBC（中位線性質(zhì)） ACB=90°BCAC ，DEAC 則DE是線段AC的垂直平分線AD=CD（2）全等法，證法略。例 在三角形ABC中，AD是三角形的高，點D是垂

14、足，點E、F、G分別是BC、AB、AC的中點，求證：四邊形EFGD是等腰梯形。練習 1、在RtABC中，A=90°，AC=AB，M、N分別在AC、AB上，且AN=BM。O為斜邊BC的中點。試判斷OMN的形狀，并說明理由。2、ABC中，A=90°，D是BC的中點，DE DF。求證: （集散思想）3、ABC中，AB=AC，點D在BC上，E在AB上，且BD=DE，點P、M、N分別為AD、BE、BC的中點（1）若BAC=90°，則PMN=_，并證明（2）若BAC=60°，則PMN=_（3）若BAC= ，則PMN=_【中點問題練習題】1、假設給出如下定義：有一組相

15、鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形請解答下列問題：（1）寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；（2）如圖1，在ABC中，AB=AC，點D在BC上，且CD=CA，點E、F分別為BC、AD的中點，連接EF并延長交AB于點G求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；（3）如圖2，若點D在ABC的內(nèi)部，（2）中的其他條件不變，EF與CD交于點H，是否存在等鄰角四邊形，若存在，是哪個四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由2、已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90°，點M是CE的中點，連接BM （1）如圖，點D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點N，可探究

16、得出BD與BM的數(shù)量關系為_，寫出證明過程。 （2）如圖，點D不在AB上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由。3、在AOB中，AB=OB=2，COD中，CD=OC=3，ABO=DCO連接AD、BC，點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點若A、O、C三點在同一直線上，ABO=60°，則PMN 的形狀是_，此時=_4、已知：如圖，正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45º，如圖所示，取DF中點G，連接EG，CG問（1）中的

17、結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 （3）將圖中BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均要求證明）全等三角形綜合二知識點：1、 全等三角形的判定及性質(zhì)：2、 角平分線的性質(zhì)與判定：3、 常用輔助線：例題講解例1、如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，AE平分BAC，交CD于K，交BC于E，F(xiàn)是BE上一點，且BF=CE，求證：FKAB例2、如圖1，ABC中，BAC=90°，BA=AC，（1）D為AC的中點，連BD，過A點作AEBD于E點，交BC于F點，連DF，求證

18、：ADB=CDF（2）若D，M為AC上的三等分點，如圖2，連BD，過A作AEBD于點E，交BC于點F，連MF，判斷ADB與CMF的大小關系并證明例3、如圖，在ABC中，C=90°，M為AB的中點，DMAB，CD平分ACB，求證：MD=AM例4、在ABC中，ACB為銳角，動點D（異于點B）在射線BC上，連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF（1）若AB=AC，BAC=90°那么如圖一，當點D在線段BC上時，線段CF與BD之間的位置、大小關系是_ （直接寫出結(jié)論）如圖二，當點D在線段BC的延長上時，中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由（2）若ABAC，BAC90

19、°點D在線段BC上，那么當ACB等于多少度時？線段CF與BD之間的位置關系仍然成立請畫出相應圖形，并說明理由例5、如圖所示，已知A，B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為直角邊向ABC外作等腰直角CAD和等腰直角CBE，滿足CAD=CBE=90°，過點D作DD1l于點D1，過點E作EE1l于點E1（1）如圖，當點E恰好在直線l上時，試說明DD1=AB；（2）在圖中，當D，E兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段DD1，EE1，AB之間的數(shù)量關系，并說明理由例6、如圖1，已知點A（a，0），點B（0，b），且a、b滿足 （1）求A、B兩點

20、的坐標；（2）若點C是第一象限內(nèi)一點，且OCB=45°，過點A作ADOC于點F，求證：FA=FC；（3）如圖2，若點D的坐標為（0，1），過點A作AEAD，且AE=AD，連接BE交x軸于點G，求G點的坐標鞏固：1、如圖，已知BAC=90°，ADBC于點D，1=2，EFBC交AC于點F試說明AE=CF2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長3、如圖，ABC中，AC=2AB，AD平分BAC交BC于D，E是AD上一點，且EA=EC。求證：EBAB4、如圖，在ABC中

21、，ACB=90，P為AC上一點，PQAB于Q，AMAB交BP的延長線于M，MNAC于N，AQ=MN（1）求證：AP=AM；（2）求證：PC=AN5、如圖，ABC內(nèi)，BAC=60°，ACB=40°，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是BAC，ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP6、 將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖（1）方式擺放，其中ACB=DEB=90°，A=D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F（1）求證：CF=EF；（2）若將圖（1）中的DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角a，且0°a60°

22、;，其他條件不變，如圖（2）請你直接寫出AF+EF與DE的大小關系：AF+EF_ DE（填“”或“=”或“”）（3）若將圖（1）中DBE的繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，且60°180°，其他條件不變，如圖（3）請你寫出此時AF、EF與DE之間的關系，并加以證明7、如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，ABC的三點坐標分別為A（0，5），B（-5，0），C（2，0），BDAC于D且交y軸于E，連接CE（1）求ABC的面積；（2）求的值及ACE的面積8、如圖1，在平面直角坐標系中，點A（4，4），點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16（1）COA的值為_ ；

23、（2）求CAB的度數(shù)；（3）如圖2，點M、N分別是x軸正半軸及射線OA上一點，且OHMN的延長線于H，滿足HON=NMO，請?zhí)骄績蓷l線段MN、OH之間的數(shù)量關系，并給出證明9、在平面直角坐標系中，點A（2，0），點B（0，3）和點C（0.2）；（1）請寫出OB的長度：OB=_ ；（2）如圖：若點D在x軸上，且點D的坐標為（-3，0），求證：AOBCOD；（3）若點D在第二象限，且AOBCOD，則這時點D的坐標是_ （直接寫答案）10、已知，在ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分線的交點O在AB上，M、N分別在直線AC、BC上，MON=A=45°（1）如圖1，若點M、N分別在邊AC、BC上，求證：CN