一個正整數(shù)能夠表示成兩個正整數(shù)平方和的充分必要條件

1、一個正整數(shù)能夠表示成兩個正整數(shù)平方和的充分必要條件在上面第 1 樓的帖子中，證明了這樣一個定理：第 1 樓帖子中定理正整數(shù)M子分解式中，所有形為4n1能表示成兩個整數(shù)平方和的充分必要條件是：的素因子的冪指數(shù)都是偶數(shù)。M 的素因注意，這個定理中說的是 “ 整數(shù)平方和 ”，不是“ 正整數(shù)平方和 ”，所以，像 93202 ，497 20 2 ， 44121202 這樣的兩整數(shù)平方和，都算是符合定理要求的。如果我們希望把上面這種帶0 的整數(shù)平方和的例子排除在外，把定理中的 “整數(shù)平方和”改為“ 正整數(shù)平方和”，那么，定理又會是怎么樣的呢？為了證明這樣的定理，下面先證明一個引理。引理若有 x 2y2z2

2、，其中 x, y, z都是正整數(shù)， ( x, y)1 ，則必有正整數(shù)p, q ，( p, q)1，而且p, q 一奇一偶，使得zp 2q2。證 x, y不會都是奇數(shù)，否則x2y 2是形為4n2 的數(shù)，不可能等于z2。又因為( x, y)1， x, y也不會都是偶數(shù)，所以x, y必定一奇一偶，不妨設(shè)x是奇數(shù)， y是偶數(shù)，這時z顯然也是奇數(shù)，而且zx， ( x, z)1 。因為z, x都是奇數(shù)， zx ，所以zx，zx這時有2顯然都是正整數(shù)。2( z x )( z x)z2x2y2( y ) 2 。2222222因為y 是偶數(shù)，所以y是整數(shù)。又因為( x, z)1，所以 ( zx , z x )1

3、 ，所以222( y )2中的任何一個素因子， 或者全部在zx中，或者全部在zx中。由于( y )2中2zx2zx22的素因子的冪次都是偶數(shù)，所以，中的素因子的冪次也都是偶數(shù)，可見22zxzx，都是完全平方數(shù)。22z x， qzx，因為zxzxp, q設(shè) p22，都是完全平方數(shù)， 所以22都是正整數(shù)，而且有p2q 2zx zxz， p 2q2z xz xx。2222假如( p, q) d 1 ，則 ( p2 , q 2 ) d 21， zp2q2， xp2q 2 就有公因子 d 21 ，與 (x, z)1 矛盾，所以必有( p, q)1 。假如p, q 都是奇數(shù)或p, q 都是偶數(shù)， 則 zp

4、 2q 2， xp2q 2顯然都是偶數(shù)，與 ( x, z)1矛盾，所以p, q 必定是一奇一偶。定理正整數(shù)M 能表示成兩個正整數(shù)平方和的充分必要條件是要滿足下列兩條：（ 1） M 的素因子分解式中，所有形為4n 1的素因子的冪指數(shù)都是偶數(shù)。（ 2）如果M的素因子分解式中，不含有形為4n1 的素因子，則必有M2z2 ，其中z 是正整數(shù)。證先證明充分性。如果M 中不含有形為4n1 的素因子，則M2z2z2z2，顯然這時M可以表示成兩個正整數(shù)的平方和。如果M 中含有形為4n1的素因子，再加上已知M中形為4n1 的素因子的冪指數(shù)都是偶數(shù)，只要仿照第 1 樓帖子中定理 的推導(dǎo)過程，就可證明這時M 能表示

5、成兩個正整數(shù)的平方和。再證明必要性。設(shè)已知M能表示成兩個正整數(shù)的平方和，有Mx2y 2 。由第 1 樓帖子中定理 可知，這時 M中所有形為4n1 的素因子的冪指數(shù)都是偶數(shù)。所以只要證明 “ 如果 M 中不含有形為4n 1的素因子， 則必有M2z2 ”就可以了。因為M 中不含有形為4n1 的素因子，而所有形為4n1的素因子的冪指數(shù)都是偶數(shù)，所以，M只有兩種可能：或者有M2z2 ，或者有Mz2。下面用反證法證明：當(dāng) M中不含有形為4n1的素因子時，不可能有Mx 2y 2z2。假設(shè)有Mx2y 2z2，其中x, y, z都是正整數(shù)。設(shè) ( x, y)d，將 x, y, z都除以d ，則有 ( x )

6、2( y ) 2( z )2，( x , y )1 。ddddd所以，下面只要考慮( x, y) 1的情形就可以了。在滿足x2y2z2 ， x, y, z都是正整數(shù)， ( x, y)1的解中，總可以找到z最小的一組解。顯然z1 ，所以必有zz2 。因為 x2y 2z2， x, y, z都是正整數(shù)， ( x, y) 1，所以根據(jù)上面的 引理 ，可知必有正整數(shù)p, q， ( p, q)1 ，而且p, q 一奇一偶，使得zp2q2。因為p, q一奇一偶，所以zp2q2 是奇數(shù)，不含有因子2 。因為 Mz2中不含形為4n1的素因子， 所以 z中也不含形為4n1的素因子。又因為z可以表示為兩個正整數(shù)的平方和，由第 1 樓帖子中定理 可知，這時，z中形為 4n1的素因子的冪指數(shù)都是偶數(shù)。由此可見， z 是一個完全平方數(shù)，所以必有正整數(shù)z1