向量基礎知識及應用

1、向 量 基 礎 知 識 及基本知識：1. 向量加法的定義及向量加法法則（三角形法則、平行四邊形法則）2. 向量減法的定義及向量減法法則（三角形法則、平行四邊形法則）3. 實數(shù)與向量的積入a .向量共線的充要條件：向量b與非零向量a共線的充要條件 是有且只有一個實數(shù)入，使得b =入a 。4. 向量a和b的數(shù)量積：a b =| a | | b |cos ，其中 為a和b的夾角。向量b在a上的投影：| b |cos，其中為a和b的夾角1 P1P2 |= (X2 xi)2( y2yi)a b =05.向量的坐標表示：0A xi yj x, y若向量a x, y ,則丨a | x2 y2 ；X2 Xi,

2、 y2 yi 若 P1 ( xi, yi)、R ( X2,y2)，貝V ppa bXiX2, yiy2r-abXiX2, yi yaXi,yia? bXi X2yiy-I-&Fa/bXiy2 X2yi0abxiX2+ yi y2=ocos =XiX2yiy2(為向量的夾角）/ 22 廠22Xiyi,X 2y2右 a = ( Xi, yi)6.向量的坐標運算及重要結論:b = ( X2, y2),則7點P分有向線段pP2所成的比的ppPF2，或PiPPP2P內分線段PiP2時,0; P外分線段RP2時,0.8.定比分點坐標公式:Xi X2 xiyiy2i ，中點坐標公式:x-ix2X2y

3、iy29.三角形重心公式及推導（見課本例2）:三角形重心公式：（Xi X2 X3 yi y2 y3）3'310.圖形平移：設F是坐標平面內的一個圖形， 將F上所有的點按照同一方向移動同樣長度（即按向量a平移），得到圖形F'，我們把這一過程叫做圖形的平移。平移公式:x' xhy' ykx x' h y y' k平移向量a = PP'=（h，k）應用：1.禾U用向量的坐標運算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題例1已知向量OR,OB,OR滿足條件OROP2 OF30，OPi1，求OF2證：PBR是正三角形 解：令o為坐標原點，可設Pi

4、 cos i ,sin,R cos 2,sin 2,P3 cos3,sin由 OP OP，OR，即cos 1,s in 1cos 2,sin 2cos 3sincos 1 cos 2sin 1 sin 2cos 3sin 3兩式平方和為12cos 1cos 1由此可知為1200，即OP與OP2的夾角為1200,1200, Op?與O百的夾角為1200，這說明,P2,P5三點均勻分部在一個單位圓上，所以RF2F3為等腰三角形例2求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸建立直角坐標系，設 A 2a,0 , B 0,2a，貝U D同理可得OR與O

5、R的夾角為x軸、y a,0 ,C 0, a從而可求:AC2a, a , BD a, 2a , cosAC BDAC BD4a22.禾U用向量的坐標運算，解決有關線段的長度問題4arccos 一5例3已知 ABC , AD為中線，求證 AD2證明：以B為坐標原點,D c,0，則 AD2以BC所在的直線為2a 0 b2的最小正角2a, a a, 2ax 5a 5a2BC21 AB22x軸建立如圖2直角坐標系，設Aa,b,Cc,0 ,2c22ac a b ,4AC2F 2ABF 2ACb2b222,2Ca b ac42從而ADABI AC 2壬,AD22-AB2 AC222BC3.利用向量的坐標運算

6、，用已知向量表示未知向量例4已知點0是 ABC內的一點， AOB 150°, BOC 90°, 設OA a,0B b,0C C,且 a 2, b 1,C3試用 a,和b表示C 點到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離解：以O為原點,由 OA=2 AOx 設OA5,OC OB所在的直線為x軸和y軸建立如圖3所示的坐標系.120°，所以 A2cos120°,2sin 120°，即A -1, ,3，易求 B0,-1，C 3,0，-131OB2°C，即-1, 31 0,-12 3,0，a、3b lc.解：以O為坐標原點，以 OA

7、所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，則A1,0 ,由 COA 300，所以 C5cos300,5sin 30。，即C 口,5 ,2 2OCoaSb.4.利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直冋題例6 求證：三角形的三條高交于同一點分析如圖，已知 ABC中，由AD BC, BE AC ,AD BE H ,要證明CH AB,利用向量法證明CH AB，只要證得CH AB 0即可；證明中，要充分利用好AH BC 0 , BH CAAD BC, H 在 AD 上，AH(CH CA)BC0 ,即 CH BCCABC0又 BH AC, BHCH CB,BHAC0 即（CHCB) ACCH ACCBAC0-得

8、：CHBCCH AC0,即CHBC AC00這兩個條件證明AH BC 0 而從而 CH BA 0 , CH AB , CH AB.5.利用向量的數(shù)量積解決有關距離的問題，距離問題包括點到點的距離，點的線的距離,CH CA ,例7 求平面內兩點 A(x1,y1), B(x2,y2)間的距離公式分析已知點A(xi，yj, B(x2，y2)求代B兩點間的距離|AB|,這時，我們就可以構造出向量 AB，那么 AB (x2 x1,y2 y1),而 | AB | | AB |，根據(jù)向量模的公式得|AB| .(X2 X1)2 卜2 yi)2，從而求得平面內兩點間的距離公式 為 |AB| .(X2 Xi)2

9、(y2 yi)2 .解：設點 A(x1, y1), B(x2, y2) ， AB (x2 x1, y2 y1) | AB |. &2一Xi)2(丫2一yj2 ,而 | AB | | AB|點A與點B之間的距離為：|AB| ; (x2 x1)2 (y2 y1)26.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題 例 8 證明：cos( ) cos cos sin sin則 向 量分析如圖，在單位圓上任取兩點 A, B,以Ox為始 邊，OA,OB為終邊的角分別為 ，設出A,B兩點的坐 標，即得到 OA,OB的坐標，貝U為向量OA,OB的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證 證明：在單位圓

10、 O上任取兩點 代B,以Ox為始邊， 以OA,OB為終邊的角分別為，則A點坐標為OA(cos ,sin ), OB(cos,sin)，它們的夾角為，|OA|OB| 1, OA OBcoscossin sin,由向量夾角公式得、 OA OBcos()coscossin sin,從而得證|OA|OB|注：用同樣的方法可證明cos()cos cossin sin(cos ,sin ),B 點 坐 標為 (cos , sin )7.利用向量的數(shù)量積解決有關不等式、最值問題例9證明柯西不等式(為22 2 2y1 ) (X2y2 ) (X1X2y“2)2證明：令a(X1, yjb(X2, y?)(1)當a 0或b0 時，a b X1X2 y20，結論顯然成立;(2)當a 0且b0時，令為a,b的夾角，則0,a bX1X2 yy |a |b | cos .又 |cos | 1|a b| |a|b|(當且僅當a / b時等號成立)x1y