圓冪定理講義

1、圓冪定理1:進門考 理念：1.檢測垂徑定理的基本知識點與題型2. 垂徑定理典型例題的回顧檢測。3. 分析學生圓部分的薄弱環(huán)節(jié)。(1)例題復習1. (2015?夏津縣一模)一副量角器與一塊含 30°銳角的 三角板如圖所示放置，三角板的直角頂點C落在量角器的直徑上， 頂點A, B恰好都落在量角器的圓弧上，且/.若 8,則量角器 的直徑.【考點】M3垂徑定理的應用；：勾股定理；T7:解直角三角形.【分析】作丄于點 D,取圓心O連接，作丄于點 E,首先求得 的長，即的長，在直角中，利用勾股定理求得半徑的長，貝V即 可求解.【解答】解：作丄于點 D,取圓心O連接，作丄于點E.在直角中，/ 30

2、°,貝V亍4,在直角中，/ 90°-/ 60°,-?4X 二=2(),二 2.：；,在中，丄4,則 i | ：' I'2 7 (),則 24().故答案是：4【點評】本題考查了垂徑定理的應用，在半徑或直徑、弦長以及弦心距之間的計算中，常用的方法是轉化為解直角三角形.2.,則折痕的長為（D.2 -；故選：D.（2017?阿壩州）如圖將半徑為 2的圓形紙片折疊后，【考點】M2垂徑定理；：翻折變換（折疊問題）【分析】通過作輔助線，過點 O作丄交于點D,根據折疊的性質 可知2,根據勾股定理可將的長求出，通過垂徑定理可求出的長.【解答】解：過點 O作丄交于點

3、D,連接，T 22,-'.-()【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運用， 正確應用勾股 定理是解題關鍵.3. （2014?瀘州）如圖，在平面直角坐標系中，OP的圓 心坐標是（3, a）（ a> 3）,半徑為3，函數的圖象被O P截得A. 4 B .： C【考點】M2垂徑定理；F8: 次函數圖象上點的坐標特征；：勾股定理.【專題】11 :計算題；16 :壓軸題.【分析】丄x軸于C,交于D,作丄于E,連結，由于3,易得 D點坐標為（3, 3）,則為等腰直角三角形，也為等腰直角 三角形.由丄，根據垂徑定理得 寺2近，在中，利用勾股定理 可計算出1,則一：，所以3+】:.【解答】解：

4、作丄x軸于C,交于D,作丄于E,連結，如圖，vO P的圓心坐標是（3, a）,二3, 把3代入得3,二D點坐標為（3, 3）,二3,二為等腰直角三角形，二也為等腰直角三角形,在中，3,二和三一律近嚴二1，二/，二3+衛(wèi). 故選：B.7A0C、【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并 且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的 性質.4. (2013?內江)在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓過點A (13, 0)，直線-34與O O交于B、C兩點，則弦的長的最小值為.【考點】：一次函數綜合題.【專題】16 :壓軸題.【分析】根據直線-34必過點D (3, 4),

5、求出最短的弦是過點D且與該圓直徑垂直的弦，再求出的長，再根據以原點0為圓心的圓過點 A(13， 0)，求出的長，再利用勾股定理求出，即可 得出答案【解答】解：T直線-34 (x - 3) +4, 二 k (x - 3)- 4,t k有無數個值，二x - 3=0, y - 4=0,解得3, 4,二直線必過點D(3, 4),最短的弦是過點 D且與該圓直徑垂直的弦,點D的坐標是(3, 4),二5,以原點O為圓心的圓過點A (13, 0),二圓的半徑為13, 13,12, 的長的最小值為24;故答案為：24.【點評】此題考查了一次函數的綜合， 用到的知識點是垂徑定理、 勾股定理、圓的有關性質，關鍵是求

6、出最短時的位置.2: 新課講解1、熟練掌握圓冪定理的基本概念 2、熟悉有關圓冪定理的相關題型，出題形式與解題思路。3、能夠用自己的話敘述圓冪定理的概念。4、通過課上例題，結合課下練習。掌握此部分的知識一、相交弦定理相交弦定理jt I:（1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等I? 一基引本題型:各弦被這點所分成的兩段的積相等）.I幾何語言：若弦、交于點 P,則？（相交弦定理）（經過圓內相的兩條線段的比例中項.幾何語言：若是直徑，垂直于點p,則2?（相交弦定理推論）A. 6 B. 12 C. 8 D.不能確定【例1】（2014秋?江陰市期中）如圖，O O的弦、【考點】M7

7、相交弦定理.【專題】11 :計算題.可得出的長,【分析】由相交線定理可得出？，再根據3, 4, 2, 從而得出即可.【解答】解：？,CPt 3, 4, 2,-6,二 2+6=8.故選C.【點評】本題考查了相交線定理，圓內兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.【練習1】（2015?南長區(qū)一模）如圖，矩形為O O的內接四邊形，2, 3,點E為上一點，且1,延長交O O于點F,則線段的長為（ ）【考點】M7相交弦定理.【分析】由矩形的性質和勾股定理求出，再由相交弦定理求出, 即可得出的長.【解答】解：四邊形是矩形，:丄 90°廠丁 I： 一：. w .- 3, 1,. 2, 由相交弦定

8、理得：？,BE-CE 1*225AEV&5故選：A.【點評】本題考查了矩形的性質、勾股定理、相交弦定理；熟練 掌握矩形的性質和相交弦定理，并能進行推理計算是解決問題的 關鍵.?綜合題型例2】（2004?福州）如圖，是O O的直徑，M是O O上一點，丄, 垂足為N. P、Q分別是“、Y上一點（不與端點重合），如 果ZZ,下面結論：/仁/2;/ 180° ;/;2?.其中正確的是（）一dA方丿A. B. C. D.【考點】M7相交弦定理；M2垂徑定理；M4:圓心角、弧、弦 的關系；M5圓周角定理；S9:相似三角形的判定與性質.【專題】16 :壓軸題.【分析】根據圓周角定理及已知對

9、各個結論進行分析，從而得到答案.【解答】解：延長交圓于點 W延長交圓于點E,延長交圓于點F,連接，,丄，/仁/ 2 （故正確），/ 2與/是對頂角，/ 仁/,T是直徑，二可得， 同理，點N是的中點，？ 2?（故正確），5/（故正確）故選B.【點評】本題利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性質，垂 徑定理求解.?與代數結合的綜合題【例3】（2016?中山市模擬）如圖，正方形內接于O Q點P在劣弧上，連接，交于點 Q.若，則一的值為（）A. 2島-1 B. 2聽 C 冋近 D. V3+2【考點】M7相交弦定理；：勾股定理.【專題】11 :計算題.【分析】設O 0的半徑為r，貝V,- m利用相交弦定

10、理，求 出m與r的關系，即用r表示出m即可表示出所求比值.【解答】解：如圖，設O 0的半徑為r,則，在OO中，根據相交弦定理，得？.2 2 即(r - m)() ?，所以 ”ID連接，由勾股定理，得2225所以,2 2匚)2二卉#JO箸獸*2故選D.【點評】本題考查了相交弦定理，即“圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”.熟記并靈活應用定理是解題的關鍵.?需要做輔助線的綜合題例 4】(2008秋?蘇州期末)如圖，O O過M點，O M交OO于A,延長O O的直徑交O M于C,若8, 1,則.【考點】M7相交弦定理；：勾股定理；M5圓周角定理.【分析】根據相交弦定理可證?

11、()(-)2- 2=8，又由直徑對 的圓周角是直角，用勾股定理即可求解 6.【解答】解：作過點 M B的直徑，交圓于點E、F, 則,由相交弦定理知，？（）（-）2-2=8,是圓0的直徑，:丄 90°由勾股定理得，222=64,二 6.【點評】本題利用了相交弦定理，直徑對的圓周角是直角，勾股 定理求解.r、割線定理n割線定理本題型圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積 :相等.【幾何吾言：1998?紹興）如圖，過點P作O O的兩條割線分別交O O于點A B和點C、D,已 域3線定理）則的長是（） 由上可知：2?A. 3 B. 7.5C. 5 D. 5.5【考

12、點】：切割線定理.【分析】由已知可得的長，再根據割線定理得 ？?即可求得的長.【解答】解：T 3, 2,-5,/ ?5二 7.5 ,故選B.【點評】主要是考查了割線定理的運用.【練習2】（2003?天津）如圖，中，/ 90°, 3, 4,以點C為圓心、為半徑的圓與、分別交于點D E.求、的長.c£【考點】：切割線定理；：勾股定理.【分析】中，由勾股定理可直接求得的長;延長交O C于點F,根據割線定理，得？，由此可求出的長，進而可求得的長.【解答】解：法1:在中，3, 4;根據勾股定理，得5.延長交O C于點F,則有:3 （O C的半徑）， -1, 7;由割線定理得，？，于是

13、于疋匸；所以-二；5法2:過C作丄，交于點M如圖所示,由垂徑定理可得 M為的中點，s丄?丄?,且 3, 4, 5,.二在中，根據勾股定理得：222,即卩92+ （牛）2解得：亠，【點評】此題主要考查學生對勾股定理及割線定理的理解及運用.?綜合題型例 6】（2015?武漢校級模擬）如圖，兩同心圓間的圓環(huán)的面積為16n,過小圓上任意一點P作大圓的弦，則？的值是（）A. 16 B. 16 n C. 4 D. 4n【考點】：切割線定理.【分析】過P點作大圓的直徑，如圖，設大圓半徑為 R,小圓半 徑為r，根據相交弦定理得到？（-）？（）2- r2,再利用nR2- nr2=16n 得到 R2- r2=16

14、,所以?16.【解答】解：過P點作大圓的直徑，如圖，設大圓半徑為 R小圓半徑為r,/ ?5二? (-) ?()=(R- r)()2 2-r ,兩同心圓間的圓環(huán)(即圖中陰影部分)的面積為16n,'nR -nr =16 n, R2- r2=16, ?16.故選A.B【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且 平分弦所對的兩條弧.也考查了相交弦定理.【思考】觀察講義課后練習最后一道題，是否有思路?三、切割線定理切割線定理【働7直定理2從圓?長清區(qū)二模割線女如圖一點到每條割線O圓的交線!兩條線段長切點,111吧等）的割線過點0與O O分別交于B、C,8,4, 幾何語言：:求是OQ

15、的半徑 ?（割線定理）由上可知：2?【考點】：切割線定理.【專題】11 :計算題.【分析】連接，設o 0的半徑為，由勾股定理，列式計算即可.【解答】解：連接，設OO的半徑為，（2分）則 r2+8= （4） 2,（ 4 分）解得6,二0 0的半徑為6.（2 分）【點評】本題考查的是切割線定理，勾股定理，是基礎知識要熟 練掌握.【練習3】(2013秋?東臺市期中)如圖，點 P是O O直徑的延長線上一點，切O O于點C,已知3, 2.則等于()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【考點】：切割線定理.【專題】11 :計算題.【分析】根據題意可得出 S,再由3, 2,則8，代入可求出.【解答】解：、

16、分別為O 0的切線和割線，二2?,2/ 3, 2,二 8,二?2X 8=16,二 4.故選C.【點評】本題考查了切割線定理，熟記切割線定理的公式2?.p四、切線長定理切割線定理(1) 圓的切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這梯8】圓的切線長315?秦皇島校級模擬)如圖，一圓內切四邊形，且(2) 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角.(3) 注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的 雪長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.C(D)(4)切線長定理包含著一些隱含

17、結論:A. 32 B. 34 C. 36 D. 38【考點】：切線長定理.【分析】根據切線長定理，可以證明圓外切四邊形的性質：圓外 切四邊形的兩組對邊和相等，從而可求得四邊形的周長.【解答】解：由題意可得圓外切四邊形的兩組對邊和相等，所以四邊形的周長=2X（ 7+10） =34.故選：B.【點評】此題主要考查了切線長定理， 熟悉圓外切四邊形的性質: 圓外切四邊形的兩組對邊和相等是解題關鍵.【練習4】（2015?岳池縣模擬）如圖，切O O于A, B兩點，切O O于點E交，于C, D,若O O的半徑為r，的周長為3r,連接，則一的值是（）DA.r- - B-C.【考點】：切線長定理；：切線的性質.

18、【分析】利用切線長定理得出，進而得出_,求出即可.【解答】解：，切O O于A, B兩點，切O O于點E交，于C,555二 23r,:,則二的值是：L丄.故選：D.【點評】此題主要考查了切線長定理，得出的長是解題關鍵.例9】（2014秋?夏津縣校級期末）如圖， P為O O外一點， 分別切O O于A, B,切OO于點E,分別交，于點C, D.若5, 則的周長和/分別為（）+P7, 90° +|D. 10, 90°C.10 , 90°【考點】：切線長定理.【分析】根據切線長定理，即可得到，,從而求得三角形的周長=2;連接、根據切線性質，/180°,再根據為切線

19、可知.【解答】解：、切O O于A B,切OO于E, 二 10, 二的周長2,即的周長=210,;如圖，連接、.由切線性質得，丄，丄，丄，5易證(),(),/ 180°/ P,丄/ P.故選：C.【點評】本題考查了切線的性質，運用切線的性質來進行計算或 論證，常通過作輔助線連接圓心和切點， 利用垂直構造直角三角 形解決有關問題，是基礎題型.五、圓冪定理請嘗試解出下列例題：例 10】（2005?廣州）如圖，在直徑為6的半圓上有兩動點M N,弦、相交于點P,則？?的值為.【考點】M7相交弦定理；：勾股定理；M5圓周角定理.【專題】16 :壓軸題；25 :動點型.【分析】連接、，根據圓周角定

20、理，由是直徑，可證/90。，由勾股定理知，222，由相交弦定理知，？，原式（）（）2?2?22+2?222+2?2+（）2222=36.【解答】解：連接、，T是直徑，/ 90°.222原式（）（）2222+2?222+2?2+ ()2222=36.【點評】本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四條定理統稱為圓冪定理。（部分參考書以前三條為圓冪定理）圓冪定理：過平面內任一點 P （P與圓心O不重合）做O O的（切）割線，交O 0與點A、B,則恒有PA PB0P2“ 0P2被稱為點P到OO的冪。）3:落實鞏固一一查漏補缺理念：找到自己本節(jié)課的薄弱環(huán)節(jié)4:總結理念：本結課復習

21、了什么？學到了什么?方法：學生口述+筆記記錄5:課后練習 一.選擇題（共5小題） 1.如圖所示，已知O O中，弦，相交于點 P, 6, 2, 4，貝V的長 是（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【分析】可運用相交弦定理求解，圓內的弦，相交于P,因此?, 代入已知數值計算即可.【解答】解：由相交弦定理得？，T6, 2, 4,?- 6X 2-4=3.故選D.【點評】本題主要考查的是相交弦定理“圓內兩弦相交于圓內一 點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”.2.0 O的兩條弦與相交于點 P, 3, 4, 2,貝卩（A. 12 B. 6 C. 8 D. 7【分析】根據相交弦定理進行計算.【

22、解答】解：由相交弦定理得：？，W 6, 2+6=8.故選 C.PC 2，【點評】本題主要是根據相交弦定理“圓內兩弦相交于圓內一點， 各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”進行計算.3. 如圖，0 O中，弦與直徑相交于點 P,且4, 6, 2，則O O的 半徑為（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【分析】根據相交弦定理得出xx,求出，求出即可.【解答】解：由相交弦定理得：XX, 4, 6, 2, 12+2=14,是O 0直徑，O 0半徑是7.故選c.【點評】本題考查了相交弦定理的應用，關鍵是能根據定理得出XX.4. 如圖，A是半徑為1的圓0外的一點，2,是O 0的切線，B是切點，弦/,連

23、接，則陰影部分的面積等于（）AB-丄 CD.【分析】連接，易證：是等邊三角形，且陰影部分的面積的面積，據此即可求解.【解答】解：連接，是圓的切線,在直角中，1, 2,:丄 30°,/ 60°,/,60°, 且 S陰影部分厶,二是等邊三角形，邊長是 1,二S陰影部分厶 x 1.:' : 【點評】本題主要考查了三角形面積的計算，以及切割線定理, 正確證明是等邊三角形是解題的關鍵.5. 如圖，分別是O O的切線，A, B分別為切點，點 E是O O 上一點，且/ 60°,則/ P為（ ）A. 120° B. 60°C. 30°

24、;D. 45【分析】連接，由圓周角定理知可知/ 2/ 120°,、分別切O O于點A B,利用切線的性質可知/ 90°,根據四邊形內角和 可求得/ 180°-/ 60°.【解答】解：連接，；V/ 2/ 120°,/ 90°,/ 180°-/ 60°.故選B.【點評】本題考查了切線的性質，切線長定理以及圓周角定理， 利用了四邊形的內角和為 360度求解.二.解答題（共3小題）6. 如圖，P為弦上一點，丄交O O于點C, 8,十丄，求的長.?【分析】延長交O O于D.由垂徑定理可知，由8,丄n，得到丄2,亍6.再根據相交弦定理得出？，代入數值計算即可求解.【解答】解：如圖，延長交O O于D.8,亍亠，、是O O的兩條相交弦，交點為 P, ?,二 2=2X 6, 2 :.【點評】本題考查了相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分 成的兩條線段長的積相等. 同時考查了垂徑定理，準確作出輔助 線是解題的關鍵.7. 如圖，分別與O O相切于E, F, G且/, 6, 8.求的長.12