原子物理學(xué)楊福家1-6章課后習(xí)題答案

1、原子物理學(xué)課后前六章答案（第四版）楊福家著(高等教育出版社)第一章：原子的位形：盧瑟福模型第二章：原子的量子態(tài)：波爾模型第三章：量子力學(xué)導(dǎo)論第四章：原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)：電子的自旋第五章：多電子原子：泡利原理第六章：X射線第一章 習(xí)題1、2解1.1 速度為v的非相對論的粒子與一靜止的自由電子相碰撞，試證明：粒子的最大偏離角約為10-4rad.要點(diǎn)分析: 碰撞應(yīng)考慮入射粒子和電子方向改變.并不是像教材中的入射粒子與靶核的碰撞(靶核不動).注意這里電子要動.證明：設(shè)粒子的質(zhì)量為M，碰撞前速度為V，沿X方向入射；碰撞后，速度為V'，沿方向散射。電子質(zhì)量用me表示，碰撞前靜止在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，碰撞后以

2、速度v沿方向反沖。粒子-電子系統(tǒng)在此過程中能量與動量均應(yīng)守恒，有： （1） （2） （3） 作運(yùn)算：（2）×sin±(3)×cos,得 （4） （5）再將（4）、（5）二式與（1）式聯(lián)立，消去與v，化簡上式，得 （）若記，可將（）式改寫為（）視為的函數(shù)（），對（7）式求的極值，有令 ，則 sin2(+)-sin2=0 即 2cos(+2)sin=0若 sin=0, 則 =0（極小） （8）（2）若cos(+2)=0 ,則 =90º-2 （9）將（9）式代入（7）式，有由此可得 10-4弧度（極大）此題得證。1.2（1）動能為5.00MeV的粒子被金核以9

3、0°散射時，它的瞄準(zhǔn)距離（碰撞參數(shù)）為多大？ （2）如果金箔厚1.0 m，則入射粒子束以大于90°散射（稱為背散射）的粒子數(shù)是全部入射粒子的百分之幾？ 要點(diǎn)分析:第二問是90°180°范圍的積分.關(guān)鍵要知道n, 注意推導(dǎo)出n值. ,其他值從書中參考列表中找.解：（1）依 和 金的原子序數(shù)Z2=79 答：散射角為90º所對所對應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離為22.8fm.(2)解: 第二問解的要點(diǎn)是注意將大于90°的散射全部積分出來. (問題不知道nA,但可從密度與原子量關(guān)系找出)從書后物質(zhì)密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197, Au=1.

4、888×104kg/m3依: 注意到： 即單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為密度除以摩爾質(zhì)量數(shù)乘以阿伏加德羅常數(shù)。 是常數(shù)其值為 最后結(jié)果為：dN/N=9.6×10-5，說明大角度散射幾率十分小。1-31-4 練習(xí)參考答案（后面為褚圣麟1-31-4作業(yè)）1-3 試問4.5MeV的粒子與金核對心碰撞時的最小距離是多少?若把金核改為7Li核,則結(jié)果如何?要點(diǎn)分析: 計算簡單，重點(diǎn)考慮結(jié)果給我們什么啟示，影響靶核大小估計的因素。解: 對心碰撞時 ，時 ，離金核最小距離 離7Li核最小距離 結(jié)果說明: 靶原子序數(shù)越小，入射粒子能量越大，越容易估算準(zhǔn)核的半徑. 反之易反。1-4 假定金核半徑為7.

5、0 fm,試問入射質(zhì)子需要多少能量才能在對頭碰撞時剛好到達(dá)金核的表面？若金核改為鋁時質(zhì)子在對頭碰撞時剛好到達(dá)鋁核的表面，那么入射質(zhì)子的能量應(yīng)為多少？設(shè)鋁核的半徑為4.0 fm。要點(diǎn)分析:注意對頭碰撞時,應(yīng)考慮靶核質(zhì)量大小,靶核很重時, m << M可直接用公式計算;靶核較輕時, m << M不滿足,應(yīng)考慮靶核的反沖,用相對運(yùn)動的質(zhì)心系來解.79AAu=196 13AAl=27 解：若入射粒子的質(zhì)量與原子核的質(zhì)量滿足m << M，則入射粒子與原子核之間能達(dá)到的最近距離為，時 ， 即 即： 若金核改為鋁核，m << M則不能滿足，必須考慮靶核的反沖在

6、散射因子中，應(yīng)把E理解為質(zhì)心系能EC 說明靶核越輕、Z越小，入射粒子達(dá)到靶核表面需要能量越小.核半徑估計值越準(zhǔn)確.褚圣麟教材作業(yè)題解1.3若盧瑟福散射用的粒子是放射性物質(zhì)鐳C放射的,其動能為7.68×106電子伏特。散射物質(zhì)是原子序數(shù)Z=79的金箔,試問散射角=150°所對應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離b多大? 解： 依 和 答：散射角為150º所對所對應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離為3.9664×10-15m1.4釙放射的一種粒子的速度為1.597×107米/秒,正面垂直入射厚度為10-7米,密度為1.932×104公斤/米3的金箔,試求所有散射在90°的粒

7、子占全部入射粒子的百分比,已知金的原子量為179。解: 此題解的要點(diǎn)是注意將大于90°的散射全部積分出來. 設(shè)散射入大于90°角的粒子數(shù)為dn,入射的總粒子數(shù)為n,金箔的單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為N。依: 注意到： 最后結(jié)果為：dn/n=3.89×10-7問答:如果知道散射的總粒子數(shù)，如何計算散射入某一角度內(nèi)粒子的數(shù)量？如何求出其散射截面？如何算出散射幾率？散射入某一角內(nèi)的粒子數(shù) 散射幾率(微分散射截面) 習(xí)題1-5、1-6解補(bǔ)：求積分式的積分結(jié)果解：積分式的積分結(jié)果 =結(jié)果： 1-5 動能為1.0MeV的窄質(zhì)子束垂直地射在質(zhì)量厚度為1.5mg/cm2的金箔上，記數(shù)器的

8、記錄以60°角散射的質(zhì)子。計數(shù)器圓形輸入孔的面積為1.5cm2，離金箔散射區(qū)的距離為10cm，輸入孔對著且垂直于射到它上面的質(zhì)子，試問：散射到計數(shù)器輸入孔的質(zhì)子數(shù)與入射到金箔的質(zhì)子數(shù)之比為多少？（質(zhì)量厚度m定義為單位面積的質(zhì)量m=t，則=m/ t其中為質(zhì)量密度，t 為靶厚）。要點(diǎn)分析：沒給直接給nt。設(shè)置的難點(diǎn)是給出了質(zhì)量厚度，計算時需把它轉(zhuǎn)換成原子體密度n和厚度t。需推導(dǎo)其關(guān)系。解：輸入圓孔相對于金箔的立體角為 AAu=197=60º （注意密度為單位體積的質(zhì)量,單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為） 依公式 1-6 一束粒子垂直射至一重金屬箔上，試求粒子被金屬箔散射后，散射角大于60&

9、#176;的粒子與散射角大于90°的粒子數(shù)之比。 要點(diǎn)分析：此題無難點(diǎn)，只是簡單積分運(yùn)算。解：依據(jù)散射公式 因為 同理算出 可知 習(xí)題1-7、8解補(bǔ)：求積分式的積分結(jié)果解： 積分式的積分結(jié)果=結(jié)果： 1-7 單能的窄粒子束垂直地射到質(zhì)量厚度為2.0mg/cm2的鉭箔上，這時以散射角0>20散射的相對粒子數(shù)（散射粒子數(shù)與入射數(shù)之比）為4.0×10-3.試計算：散射角=60°角相對應(yīng)的微分散射截面。 要點(diǎn)分析：重點(diǎn)考慮質(zhì)量厚度與nt關(guān)系。解： m= 2.0mg/cm2 ATa=181 ZTa=73 =60º 依微分截面公式 知該題重點(diǎn)要求出a2/16由

10、公式 所以 1-8 (1)質(zhì)量為m1的入射粒子被質(zhì)量為m2（m2<< m1）的靜止靶核彈性散射,試證明:入射粒子在實驗室坐標(biāo)系中的最大可能偏轉(zhuǎn)角由下式?jīng)Q定. （2）假如粒子在原來靜止的氫核上散射，試問：它在實驗室坐標(biāo)系中最大的散射角為多大？要點(diǎn)分析：同第一題結(jié)果類似。證明： （1） （2） （3） 作運(yùn)算：（2）×sin±(3)×cos,得 （4） （5）再將（4）、（5）二式與（1）式聯(lián)立，消去與v，得化簡上式，得 （）若記，可將（）式改寫為（）視為的函數(shù)()，對(7)式求的極值，有令 ，則 sin2(+)-sin2=0 2cos(+2)sin=0若

11、 sin=0,則 =0（極?。?（8）(2) 若cos(+2)=0，則 =90º-2 （9）將(9)式代入(7)式，有由此可得若m2=m1 則有 此題得證。 第一章 習(xí)題1-9、10題解1-9 動能為1.0 Mev的窄質(zhì)子束垂直地射到質(zhì)量厚度（t）為1.5mg/cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的銀，試求散射角大于30°的相對質(zhì)子數(shù)為多少？要點(diǎn)分析：此題靶為一個復(fù)合材料靶,關(guān)鍵找出靶的厚度t .然后計算出金原子數(shù)和銀原子數(shù),即可積分計算，從書后表可知：ZAu=79,AAu=197, Au=1.888×104kg/m3; ZAg=47,AAg=108, Ag=1

12、.05×104kg/m3.解： 先求金箔的厚度t t=(0.7Au+0.3Ag) t = 1.5mg/cm2 這種金箔中所含金原子數(shù)與銀原子數(shù)分別為 和 再計算質(zhì)子被金原子與銀原子散射到>30°范圍內(nèi)的相對數(shù)目。被金原子散射的相對數(shù)目為：式中，N為入射質(zhì)子總數(shù)，dNAu為被金原子散射到>30°范圍內(nèi)的質(zhì)子數(shù)。同理可得質(zhì)子被銀原子散射的相對數(shù)目為：被散射的相對質(zhì)子總數(shù)為將已知數(shù)據(jù)代入： NA=6.02×1023,E=1.0MeV,t=0.916m,ZAu=79,AAu=197,Au=18.88×103kg/m3,ZAg=47,AAg=

13、108,Ag=10.5×103kg/m3 1.028×10-5 結(jié)果討論: 此題是一個公式活用問題.只要稍作變換,很容易解決.我們需要這樣靈活運(yùn)用能力.1-10 由加速器產(chǎn)生的能量為1.2MeV、束流為5.0 nA的質(zhì)子束，垂直地射到厚為1.5m的金箔上，試求5 min內(nèi)被金箔散射到下列角間隔內(nèi)的質(zhì)子數(shù)。金的密度（=1.888×104 kg/m3）1 59°61° 2 >0=60° 3 <0=10°要點(diǎn)分析:解決粒子流強(qiáng)度和入射粒子數(shù)的關(guān)系.注意:第三問,因盧瑟福公式不適用于小角(如0º)散射，故可先計

14、算質(zhì)子被散射到大角度范圍內(nèi)的粒子數(shù)，再用總?cè)肷淞Ｗ訑?shù)去減，即為所得。解：設(shè)j 為單位時間內(nèi)入射的粒子數(shù)，I為粒子流強(qiáng)度，因I= je, j=I/e,時間T=5min內(nèi)單位面積上入射的質(zhì)子的總數(shù)為N個： 再由盧瑟福公式，單位時間內(nèi)，被一個靶原子沿方向，射到d立體角內(nèi)的質(zhì)子數(shù)為：單位時間內(nèi)，被所有靶原子沿方向，射到d立體角內(nèi)的質(zhì)子數(shù)為式中，n為單位體積的粒子數(shù)，它與密度的關(guān)系為： 所以，上式可寫為解：1解：2 仍然像上式一樣積分，積分區(qū)間為60°-180°，然后用總數(shù)減去所積值。即>0=60°的值。解：3 由于0°的值為無窮大,無法計算,所以將作以變換

15、.仍然像上式一樣積分，積分區(qū)間為10°-180°，然后用總數(shù)減去所積值，即<0=10°的值?？倲?shù)為9.36×1012-7.56×1011=8.6×1012 (個第二章習(xí)題解答2.1 銫的逸出功為1.9eV，試求： （1）銫的光電效應(yīng)閾頻率及閾值波長； （2）如果要得到能量為1.5eV的光電子，必須使用多少波長的光照射？解：光電效應(yīng)方程 （1）由題意知 即 （2） 2.2 對于氫原子、一次電離的氫離子He和兩次電離的鋰離子Li，分別計算它們的：（1）第一、第二玻爾軌道半徑及電子在這些軌道上的速度；（2）電子在基態(tài)的結(jié)合能；（3）由

16、基態(tài)帶第一激發(fā)態(tài)所需的激發(fā)能量及由第一激發(fā)態(tài)退激到基態(tài)所放光子的波長。解：（1）由波爾理論及電子的軌道半徑公式 ， r1為氫原子第一波爾半徑氫原子第二波爾半徑可知： He+ (Z=2) Li+ + (Z=3)電子在波爾軌道上的速率為 于是有 H : He+ : Li+ + : (2) 電子在基態(tài)的結(jié)合能Ek在數(shù)值上等于原子的基態(tài)能量。由波爾理論的能量公式 可得 故有 H : He+ : Li+ : （3）以電壓加速電子，使之于原子碰撞，把原子從基態(tài)激發(fā)到較高能態(tài)，用來加速電子的電勢差稱為激發(fā)電勢，從基態(tài)激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)得相應(yīng)的電勢差稱為第一激發(fā)電勢。對 H : He+ : Li+ : 共振線（

17、即賴曼系第一條）的波長： H : He+ : Li+ : 2.3 欲使電子與處于基態(tài)的鋰離子Li發(fā)生非彈性散射，試問電子至少具有多大的動能？解：Li+ +基態(tài)能量為 ，從基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)所需能量為故電子必須具有91.8ev的動能.2.4 運(yùn)動質(zhì)子與一個處于靜止的基態(tài)氫原子作完全非彈性的對心碰撞，欲使鋰原子發(fā)射出光子，質(zhì)子至少應(yīng)多大的速度運(yùn)動？解：欲使基態(tài)氫原子發(fā)射光子，至少應(yīng)使氫原子從基態(tài)激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)，因此有： （質(zhì)子靜止能量 ）2.5 （1）原子在熱平衡條件下處于不同能量狀態(tài)的數(shù)目是按波爾茲曼分布的，即處于能量為En的激發(fā)態(tài)的原子數(shù)為：式中N1是能量為E1狀態(tài)的原子數(shù)，k為玻爾茲曼常量，

18、gn和g1為相應(yīng)能量狀態(tài)的統(tǒng)計權(quán)重。試問：原子態(tài)的氫在一個大氣壓、20溫度的條件下，容器必須多大才能有一個原子處在第一激發(fā)態(tài)？已知?dú)湓犹幱诨鶓B(tài)和第一激發(fā)態(tài)的統(tǒng)計權(quán)重分別為g1=2和g2=8。（2）電子與室溫下的氫原子氣體相碰撞，要觀察到H線，試問電子的最小動能為多大？略。2.6 在波長從95nm到125nm的光帶范圍內(nèi)，氫原子的吸收光譜中包含哪些譜線？解：對于，有故的波長的光子不足以將氫原子激發(fā)到n=5的激發(fā)態(tài)，但可以將氫原子激發(fā)到n=4的激發(fā)態(tài) n1=4同理有： 對應(yīng)于n=1的輻射光子的波長應(yīng)比125nm更長，在波段以外 n2=2又 氫原子的吸收譜對應(yīng)于賴曼系， 在（95125nm）波段內(nèi)

19、只能觀察到3條即2.7 試問哪種類氫離子的巴耳末系和賴曼系主線的波長差等于133.7nm？解：賴曼系主線：巴耳末主線：二主線波長差：2.8 一次電離的氫原子He+從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時所輻射的光子，能量處于基態(tài)的氫原子電離，從而放出電子，試求該電子的速度。解：He+從E2E1躍遷輻射的光子的能量為氫原子的電離能為 電離的電子的能量為 該電子的速度為 2.9 電子偶素是由一個正電子和一個電子所組成的一種束縛系統(tǒng)，試求出：（1）基態(tài)時兩電子之間的距離；（2）基態(tài)電子的電離能和由基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)的激發(fā)能；（3）由第一激發(fā)態(tài)退激到基態(tài)所放光子的波長。解：電子偶素可看作類氫體系，波爾理論同樣適用，但有

20、關(guān)公式中的電子質(zhì)量必須采用體系的折合質(zhì)量代替，對電子偶素，其折合質(zhì)量為：（1） （2）電離能為 式中 于是 則電離電勢為 第一激發(fā)電勢為 （3）共振線波長為2.10 子是一種基本粒子，除靜止質(zhì)量為電子質(zhì)量為電子質(zhì)量的207倍外，其余性質(zhì)與電子都一樣。當(dāng)它運(yùn)動速度較慢時，被質(zhì)子俘獲形成子原子，試計算：（1）子原子的第一波爾軌道半徑；（2）子原子的最低能量；（3）子原子賴曼線系中的最短波長。解：（1）子原子可看作類氫體系，應(yīng)用波爾理論，其軌道半徑為 式中 其第一波爾半徑為（2）子原子的能量公式為最低能量 （3）由波長公式 2.11 已知?dú)浜椭貧涞睦锏虏Ａ恐葹?.999728，而它們的核質(zhì)量之比

21、為mH/mD=0.500 20，試計算質(zhì)子質(zhì)量與電子質(zhì)量之比。解：由 可知 又 則 2.12 當(dāng)靜止的氫原子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷放出一個光子時，（1）試求這個氫原子所獲得的反沖速率為多大？（2）試估計氫原子的反沖能量與所發(fā)光子的能量之比。解：（1）所發(fā)光子的能量光子的動量 氫原子的反沖動量等于光子動量的大小，即（2） 氫原子的反沖能量為2.13 鈉原子的基態(tài)為3s，試問鈉原子從4P激發(fā)態(tài)向低能級躍遷時，可產(chǎn)生幾條譜線（不考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)）？解：不考慮能級的精細(xì)結(jié)構(gòu)，鈉原子的能級圖如下： S P D F 4F 4D 5S 4P 3D 4S 3P 3S根據(jù)輻射的選擇定則可知，當(dāng)鈉原子從4P態(tài)向低能級

22、躍遷時可產(chǎn)生6條光譜。2.14 鈉原子光譜的共振線（主線系第一條）的波長等于=589.3nm，輔線系線限的波長等于=408.6nm，試求（1）3S、3P對應(yīng)的光譜項和能量；（2）鈉原子基態(tài)電子的電離能和由基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)的激發(fā)能。解：（1） 由Na的能級圖可知，3P能級的光譜項和能級分別為：3S能級的光譜項和能級可通過下式求出：（2）Na原子的電離能為故電離電勢為 第一激發(fā)電勢為 第三章題解3-1 電子的能量分別為10eV，100 eV，1000 eV時，試計算相應(yīng)的德布羅意波長。解：依計算電子能量和電子波長對應(yīng)的公式電子的能量: 由德布羅意波長公式: 3-2 設(shè)光子和電子的波長均為0.4nm

23、，試問：（1）光子的動量與電子的動量之比是多少？ （2）光子的動能與電子的動能之比是多少？解：（1）由可知光子的動量等于電子的動量，即p光子:p電子=1:1（2）由 光子動能與波長的對應(yīng)的關(guān)系 電子動能與波長的關(guān)系 則知 3-3 若一個電子的動能等于它的靜止能量，試求：(1)該電子的速度為多大?(2)其相應(yīng)的德布羅意波長是多少?解： （1）依題意，相對論給出的運(yùn)動物體的動能表達(dá)式是： 所以 （2） 根據(jù)電子波長的計算公式： 3-4 把熱中子窄束射到晶體上，由布喇格衍射圖樣可以求得熱中子的能量若晶體的兩相鄰布喇格面間距為0.18nm，一級布喇格掠射角(入射束與布喇格面之間的夾角)為30°

24、;,試求這些熱中子的能量解：根據(jù)布喇格衍射公式 n=dsin =dsin=0.18×sin30°nm=0.09 nm 3-5 電子顯微鏡中所用加速電壓一般都很高，電子被加速后的速度很大，因而必須考慮相對論修正試證明：電子的德布羅意波長與加速電壓的關(guān)系應(yīng)為： 式中Vr=V(1+0.978×10-6V)，稱為相對論修正電壓，其中電子加速電壓V的單位是伏特分析:考慮德布羅意波長,考慮相對論情況質(zhì)量能量修正,聯(lián)系德布羅意關(guān)系式和相對論能量關(guān)系式,求出相對論下P即可解.證明：根據(jù)相對論質(zhì)量公式 將其平方整理乘c2,得其能量動量關(guān)系式 題意得證.3-6 (1)試證明：一個粒子

25、的康普頓波長與其德布羅意波長之比等于 式中Eo和E分別是粒子的靜止能量和運(yùn)動粒子的總能量(康普頓波長c=h/m0c,m0為粒子靜止質(zhì)量，其意義在第六章中討論)(2)當(dāng)電子的動能為何值時，它的德布羅意波長等于它的康普頓波長?證明：根據(jù)相對論能量公式 將其平方整理乘c2 （1）相對論下粒子的德布羅意波長為： 粒子的康普頓波長為 （2）若粒子的德布羅意波長等于它的康頓波長 則電子的動能為211.55KeV.則電子的動能為211.55KeV注意變換：1. P轉(zhuǎn)化為表示; 2. E轉(zhuǎn)化為表示;3-7 一原子的激發(fā)態(tài)發(fā)射波長為600nm的光譜線，測得波長的精度為，試問該原子態(tài)的壽命為多長?解： 依 求t

26、3-8 一個電子被禁閉在線度為10fm的區(qū)域中，這正是原子核線度的數(shù)量級，試計算它的最小動能解： 粒子被束縛在線度為r的范圍內(nèi)，即x = r那么粒子的動量必定有一個不確定度，它至少為： 電子的最小平均動能為 3-9 已知粒子波函數(shù)，試求：(1)歸一化常數(shù)N；(2)粒子的x坐標(biāo)在0到a之間的幾率；(3)粒子的y坐標(biāo)和z坐標(biāo)分別在-b+b和-c+c.之間的幾率解: (1)因粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率必定是一,所以歸一化條件是: dv = 1即: 所以 N (2) 粒子的x坐標(biāo)在區(qū)域內(nèi)幾率為: (3) 粒子的區(qū)域內(nèi)的幾率為: 3-10 若一個體系由一個質(zhì)子和一個電子組成，設(shè)它的歸一化空間波函數(shù)為(x1

27、，y1，z1；x2，y2，z2)，其中足標(biāo)1，2分別代表質(zhì)子和電子，試寫出： (1)在同一時刻發(fā)現(xiàn)質(zhì)子處于(1，0，0)處，電子處于(0，1，1)處的幾率密度； (2)發(fā)現(xiàn)電子處于(0，0，0)，而不管質(zhì)子在何處的幾率密度；(3)發(fā)現(xiàn)兩粒子都處于半徑為1、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的球內(nèi)的幾率大小 3-11 對于在阱寬為a的一維無限深阱中運(yùn)動的粒子，計算在任意本征態(tài)n中的平均值及，并證明：當(dāng)n時，上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果相一致 3-12 求氫原子1s態(tài)和2P態(tài)徑向電荷密度的最大位置第三章習(xí)題13,143-13 設(shè)氫原子處在波函數(shù)為的基態(tài)，a1為第一玻爾半徑，試求勢能的平均值3-14 證明下列對易關(guān)系：

28、第三章習(xí)題15解3-15 設(shè)質(zhì)量為m的粒子在半壁無限高的一維方阱中運(yùn)動,此方阱的表達(dá)式為:(x)=試求: (1)粒子能級表達(dá)式; (2)證明在此阱內(nèi)至少存在一個束縛態(tài)的條件是,阱深和阱寬a之間滿足關(guān)系式: 解: (1) 在x<0時,由薛定諤方程可得: 因為 所以 (1), V(x)=0,體系滿足的薛定諤方程為: (2)整理后得:令 則: 因為所以波函數(shù)的正弦函數(shù): (3)x>a , 薛定諤方程為: (4)整理后得: 令 則: 方程的解為: (5)式中A,B 為待定系數(shù),根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化條件的連續(xù)性,有將(3),(5)式代人得: (6)(2):證明: 令 則(6)式可改為: (7) 同時,

29、 u和v 還必須滿足下列關(guān)系式: (8)聯(lián)立(7) (8)可得粒子的能級的值.用圖解法求解:在以v為縱軸u為橫軸的直角坐標(biāo)系中(7) (8) 兩式分別表示超越曲線和圓,其交點(diǎn)即為解.因k k 都不是負(fù)數(shù),故u和v 不能取負(fù)值,因此只能取第一象限.由圖可知(7) (8)兩式至少有一解得條件為: 即  4-l 一束電子進(jìn)入1.2T的均勻磁場時，試問電子自旋平行于和反平行于磁場的電子的能量差為多大?分析要點(diǎn): ms=1/2,gs=2; 解：已知：電子自旋磁矩在磁場方向的投影 依磁矩與磁場的作用能量 自旋與磁場平行時 自旋與磁場反平行時 則 4-2 試計算原子處于狀態(tài)的磁矩及投影z的可能值

30、解：已知：j=3/2, 2s+1=2 s=1/2, l =2 則 依據(jù)磁矩計算公式 依據(jù)磁矩投影公式 4-3 試證實：原子在6G32狀態(tài)的磁矩等于零，并根據(jù)原子矢量模型對這一事實作出解釋解: 因為 2S+1=6 S=5/2 J = 3/2 l = 4 mj=3/2,1/2,-1/2,-3/2gJmJ=0 這是一個多電子耦合系統(tǒng),相互作用產(chǎn)生的總效果為零.說明多電子作用有互相抵消的情況.4-4 在史特恩-蓋拉赫實驗中，處于基態(tài)的窄的銀原子束通過極不均勻的橫向磁場，并射到屏上，磁極的縱向范圍d=10cm，磁極中心到屏的距離D=25 cm如果銀原子的速率為400ms，線束在屏上的分裂間距為2.0mm

31、，試問磁場強(qiáng)度的梯度值應(yīng)為多大?銀原子的基態(tài)為2S12，質(zhì)量為107.87u解：原子束在屏上偏離中心的距離可用下式表示: 對原子態(tài) 2S1/2 L=0 S=1/2 J=1/2故 M=朗德g因子為:g=2對于上屏邊緣的線束取M=-J, 對于下屏邊緣的線束取M=J 所以.(1) g=2 D 代入上式得: 4-5在史特恩-蓋拉赫實驗中(圖19.1)，不均勻橫向磁場梯度為，磁極的縱向范圍d=10cm，磁極中心到屏的距離D=30cm，使用的原子束是處于基態(tài)4F3/2的釩原子，原子的動能Ek=50MeV試求屏上線束邊緣成分之間的距離解： 對于多個電子 2S+1=4 S=3/2 L=3， J=3/2 則 依

32、公式 又 3kT=mV2=0.1eV =和 = 即: Z±3/2=2Z2(±3/2)= 2×0.52092=1.42cm Z±1/2=2Z2(±1/2)= 2×0.1736=0.347cm 4-6. 在史特恩-蓋拉赫實驗中，原子態(tài)的氫從溫度為400 K的爐中射出，在屏上接受到兩條氫束線，間距為0.60cm若把氫原子換成氯原子(基態(tài)為2P32)，其它實驗條件不變，那么，在屏上可以接受到幾條氯束線?其相鄰兩束的間距為多少?解： 已知 Z2=0.30cm T=400K 3kT=3×8.617×10-5×400e

33、V=0.103eVJ=1/2 gj=2 mjgj=±1由 當(dāng)換為氯原子時，因其基態(tài)為2P32 ，j=3/2, l=1 s =1/2 共有2j+1=4條，相鄰兩條間距為|Z''-Z'|=0.4cm。4-7 試問波數(shù)差為29.6cm-1的賴曼系主線雙重線，屬于何種類氫離子?解： 以為是賴曼系主線 n=2 L=1 代入上式 得，z=3 所以是Li原子 又因為其為類氫離子 所以為4-8 試估計作用在氫原子2P態(tài)電子上的磁場強(qiáng)度解: 又由(21-13)式,=4.53×10-5eV 4-9 試用經(jīng)典物理方法導(dǎo)出正常塞曼效應(yīng)4-10 Z=30鋅原子光譜中的一條譜線

34、(3S13p0)在B為100T的磁場中發(fā)生塞曼分裂，試問：從垂直于磁場方向觀察，原譜線分裂為幾條?相鄰兩譜線的波數(shù)差等于多少?是否屬于正常塞曼效應(yīng)?并請畫出相應(yīng)的能級躍遷圖解： 已知：對于激發(fā)態(tài) L=0，J=1, S=1. m1=0,±1,在外磁場作用下，可以分裂為三條。 對于基態(tài) L=1，J=0, S=1 m2=0,在外磁場作用下，并不分裂。= =(0.934,0,-0.934)cm-1所以原譜線在外加磁場中分裂為三條，垂直磁場可以看到三條譜線。m=0,+1,-1,分別對應(yīng)于，+，-三條譜線。雖然譜線一分為三，但彼此間間隔值為2BB，并不是BB，并非激發(fā)態(tài)和基態(tài)的S=0，因S0所以

35、它不是正常的塞曼效應(yīng)。對應(yīng)的能級躍遷圖4-11 試計算在B為2.5T的磁場中，鈉原子的D雙線所引起的塞曼分裂 解：A對于2S1/2態(tài)，用，將s=1/2, l=0;j=1/2代入，即可算出gj=2；由于j=1/2,因而mj=，于是mjgj=±1。B.對于P態(tài)，相應(yīng)的l=1，因而j=l±s, s=1/2,j=1/2，3/2，有兩個原子態(tài)2P1/2，2P3/2。分別對應(yīng)于g1/2=2/3, m1g1=±1/3g3/2=4/3, m2g2=±2/3 , ±6/3 依 分裂為四條線。 分裂為六條線。4-12 注:此題(2)有兩種理解(不同習(xí)題集不同做法,

36、建議用第二種方法).鉀原子的價電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時，產(chǎn)生兩條精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線，其波長分別為766.4nm和769.9nm，現(xiàn)將該原子置于磁場B中(設(shè)為弱場)，使與此兩精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線有關(guān)的能級進(jìn)一步分裂(1)試計算能級分裂大小，并繪出分裂后的能級圖(2)如欲使分裂后的最高能級與最低能級間的差距E2等于原能級差E1的1.5倍，所加磁場B應(yīng)為多大?要點(diǎn)分析:鉀原子的價電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)的躍遷類似于鈉的精細(xì)結(jié)構(gòu)。其能級圖同上題。解：(1) 先計算朗德因子和mjgjA.對于2S1/2態(tài)，用,將s=1/2, l=0;j=1/2代入，即可算出gj=2；由于j=1/2,因而mj=，于是mjgj=

37、7;1。B.對于P態(tài)，相應(yīng)的l=1，因而j=l±s, s=1/2,j=1/2，3/2，有兩個原子態(tài)2P1/2，2P3/2。分別對應(yīng)于 2P1/2對應(yīng)有m1=±1/2, g1/2=2/3, m1g1=±1/32P3/2對應(yīng)有m2=±1/2，g3/2=4/3, m2g2=±2/3 , ±6/3能級分裂大小: P3/2能級分裂大小: m2g2從+6/3+2/3為4/3BB P1/2能級分裂大小: m2g2從+1/3-1/3為2/3BB S1/2能級分裂大小: m1g1從+1-1為2BB(2) 解: 有兩種認(rèn)為: (2) 第一種認(rèn)為:E =(

38、E2-E1) 與教材計算結(jié)果一致.分裂后的最高能級2P3/2, mJ=3/2與最低能級差2P1/2,mJ =-1/2 若使E2=1.5E1=1.5(E2- E1) 即E1+7/3BB=1.5E1即 7/3BB=0.5E1=0.5(E2-E1)=0.5(E2-E0)-(E1-E0)=0.5 即 B=27.17 T(3) 第二種認(rèn)為:E =(E2-E0)與教材結(jié)果相差甚遠(yuǎn)分裂后的最高能級2P3/2, mJ =3/2與最低能級差2s1/2,mJ=-1/2若使E2=1.5E1 即E1+3BB=1.5E1即 3BB=0.5E1=0.5(E2-E0)=0.5 B=4648.3 T4-13 假如原子所處的外

39、磁場B大于該原子的內(nèi)磁場，那么，原子的L·S耦合將解脫，總軌道角動量L和總自旋角動量S將分別獨(dú)立地繞B旋進(jìn) (1)寫出此時原子總磁矩的表示式； (2)寫出原子在此磁場B中的取向能E的表示式； (3)如置于B磁場中的原子是鈉，試計算其第一激發(fā)態(tài)和基態(tài)的能級分裂，繪出分裂后的能級圖，并標(biāo)出選擇定則(ms=0，m=0，±1)所允許的躍遷4-14 4-14         在居B=4T的外磁場中，忽略自旋軌道相互作用，試求氫原子的2P-1S躍遷 (=121 nm)所產(chǎn)生的譜線的波長.解： 忽略自旋與軌道

40、相互作用,即引起帕邢-巴克效應(yīng)。此時， 或者  (1)選擇規(guī)則變?yōu)?ms=0，m=0，±1 對應(yīng)于1S態(tài)，ms=±1/2, ml=0. 因此類比 (1)式給出雙分裂. 對應(yīng)于1P態(tài)，ms=±1/2, ml=0，±1. 因此給出六分裂.依據(jù)躍遷定則可能的躍遷如圖.產(chǎn)生六種躍遷，三種波長。由（1）式看來，三種波長必然差 =121nm 第四章 原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)：電子的自旋4-1)解：V4-2） 4-3) 解：6G3/2 態(tài)：該原子態(tài)的Lande g 因子：原子處于該態(tài)時的磁矩： (J/T)利用矢量模型對這一事實進(jìn)行解釋：各類角動量和磁矩的矢量圖如上。其

41、中PS = S(S+1)1/2 = (35/4)1/2 PL = L(L+1)1/2 = (20)1/2 PJ = J(J+1)1/2 = (15/4)1/2 mS = gS´S(S+1)1/2´mB = (35)1/2 mB mL = gl´L(L+1)1/2´mB 利用PS、PL、PJ之間三角形關(guān)系可求出 a = 30° cosb = 由已知的cosb 、mS 、mL 可求出 m = 以及 q = 120°所以 q a = 90°。即 矢量 m 與 PJ 垂直、m 在 PJ 方向的投影為0?；颍焊鶕?jù)原子矢量模型：總磁矩分量相加，即：可以證明： 4-4)解：，將所有數(shù)據(jù)代入解得：T/m4-5)解：（束）對于邊緣兩束，4-6)解： 即：屏上可以接收到4束氯線對于H原子：對于氯原子： 對于，代入得：<注：T400K,表明：大部分H原子處于基態(tài)，當(dāng)T=105K時，才有一定量得原子處于激發(fā)態(tài)>4-7)解：賴曼系，產(chǎn)生于：，對應(yīng)S能級，對應(yīng)S、P能級，所以賴曼系產(chǎn)生于：雙線來源于：由2112知：將代入即：所得的類H離子系：Li+4-8)解：2P電子雙層的能量差為：兩一方面： 4-10