帶電粒子在交變電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1、解決帶電粒子在交變電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路多維探究（一）交變磁場(chǎng)典例1（2014 山東高考）如圖8-3-7甲所示，間距為d、垂直于紙面的兩平行板P、Q間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)。取垂直于紙面向里為磁場(chǎng)的正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示。t = 0時(shí)刻，一質(zhì)量為 m帶電量為+ q的粒子（不計(jì)重力），以初速度 v由Q板左端 靠近板面的位置，沿垂直于磁場(chǎng)且平行于板面的方向射入磁場(chǎng)區(qū)。當(dāng)Bo和Tb取某些特定值時(shí)，可使t =0時(shí)刻入射的粒子經(jīng) t時(shí)間恰能垂直打在 P板上（不考慮粒子反彈）。上述m q、d、vo為已知量。圖 8-3-7(1) 若 t = 2tb,求 B ；3 若 t = 2b,求粒子

2、在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度的大小; 若B0 = -qd，為使粒子仍能垂直打在 P板上，求Tb。思路點(diǎn)撥1 若 t = 2b時(shí)，試畫出粒子在 pc板間運(yùn)動(dòng)的軌跡，并確定半徑。 提示：如圖甲，半徑 R= d3 若 t = 2b時(shí)，試畫出粒子在 pc板間運(yùn)動(dòng)的軌跡，并確定半徑。d提示：如圖乙，半徑 R= 3乙4mvo（3）若B0 =孑，則半徑為多大試畫出粒子在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并q丙說(shuō)明在哪些位置可能擊中B板。丄口一 上F十 ,mv+1提示：如圖丙，由R= qB0得 R= 1d在A B兩點(diǎn)可能擊中B板2解析 設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,由牛頓第二定律得 qv0B0 =R據(jù)題意由幾何關(guān)系得R1= d 聯(lián)

3、立式得mB0=qd加速度大小為 a,由圓周運(yùn)動(dòng)公式得(2) 設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為2Vo a=豆據(jù)題意由幾何關(guān)系得3R= d 聯(lián)立式得3vo2a=p2 n R(3) 設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,周期為T,由圓周運(yùn)動(dòng)公式得 T=亠Vo2由牛頓第二定律得qvoB0=4mv由題意知Bo= qd，代入式得d= 4R粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O、Q為圓心，OQ連線與水平方向的夾角為e ,在每個(gè)Tb內(nèi),n只有A、B兩個(gè)位置粒子才有可能垂直擊中P板，且均要求ov evy，由題意可知Tb2n T= T設(shè)經(jīng)歷完整Tb的個(gè)數(shù)為n(n= o,1,2,3)若在 A點(diǎn)擊中P板，據(jù)題意由幾何關(guān)系得珀 2(Rsin e )

4、n= d?當(dāng)n = 0時(shí)，無(wú)解？當(dāng)n = 1時(shí)，聯(lián)立？式得e =n（或 sin61聯(lián)立？式得n當(dāng)n2時(shí)，不滿足0v e v 的要求？若在B點(diǎn)擊中P板，據(jù)題意由幾何關(guān)系得R+ 2FSin0 + 2(R+ Rsin0 ) n= d?當(dāng)n = 0時(shí)，無(wú)解？當(dāng)n = 1時(shí)，聯(lián)立？式得1亠10= arcsin (或 sin 0 =-) ?44聯(lián)立？式得nTB= + arcsin1 d?4 2v0，n當(dāng)n2時(shí)，不滿足0v 0 v 的要求？答案見解析方法規(guī)律分析周期性變化磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，重點(diǎn)是明確在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，化變?yōu)楹闶撬季S根本，其技巧是畫出軌跡示意圖，結(jié)合帶電粒子在電磁場(chǎng)和重力場(chǎng)組合與疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

5、知識(shí)列方程解答。(二) 交變電場(chǎng)+恒定磁場(chǎng)典例2 (2015 合肥模擬)如圖8-3-8甲所示，帶正電粒子以水平速度 vo從平行金屬 板MN間中線00連續(xù)射入電場(chǎng)中。 MN板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間 t變化的電壓LMn兩 板間電場(chǎng)可看作是均勻的， 且兩板外無(wú)電場(chǎng)。緊鄰金屬板右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B,分界線為CD EF為屏幕。金屬板間距為d,長(zhǎng)度為I，磁場(chǎng)的寬度為d。已知：B= 5X 10 -3 T,、5q 8I = d = m,每個(gè)帶正電粒子的速度V0= 10 m/s，比荷為m= 10 C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視作是恒定不變的。試求：圖 8-3-8

6、(1) 帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑；(2) 帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度；(3) 帶電粒子打在屏幕上的范圍。審題指導(dǎo)第一步：抓關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)獲取信息電場(chǎng)可視作是恒定不變的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，帶電粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)最小半徑當(dāng)加速電壓為零時(shí)， 帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率最小，半徑最小最大速度由動(dòng)能定理可知，當(dāng)加速電壓最大時(shí)，粒子的速度最大，但應(yīng)注意粒子能否從極板中飛出第二步：找突破口(1) 要求圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑，由帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式可 知，應(yīng)先求最小速度，后列方程求解。(2) 要求粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度，應(yīng)先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出帶電粒子能從極板間 飛出所應(yīng)加的板間電壓

7、的范圍，后結(jié)合動(dòng)能定理列方程求解。(3) 要求粒子打在屏幕上的范圍，應(yīng)先綜合分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡， 后結(jié)合幾何知識(shí)列方程求解。解析(1) t = 0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最 小。粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)2mvqvoB=r min則帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑5r min =mv 10qB= 108x 5X 10 一設(shè)兩板間電壓為 U，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)，則有；=；at2=； 匚牛一)2222 dm vo代入數(shù)據(jù)，解得U= 100 V在電壓低于100 V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出電場(chǎng)，電壓高于100 V時(shí)，帶電粒子打在極板上，不能

8、從兩板間射出。帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，速度最大，設(shè)最大1212U速度為 Vmax 則有 2mmax= mv + q -解得 Vmax= 2X 105 m/s =x 105 m/s 由第(1)問(wèn)計(jì)算可知，t = 0時(shí)刻射入電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r min = d = m 徑跡恰與屏幕相切，設(shè)切點(diǎn)為E, E為帶電粒子打在屏幕上的最高點(diǎn)， m= m其運(yùn)動(dòng)的徑跡如圖中曲線I所示。2mVnaxqVmaxB=r max則帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑mViax-J2x 105、/2rmax= qB = 10, 5X 103 m= T m由數(shù)學(xué)知識(shí)可得運(yùn)動(dòng)徑跡的圓心必落在屏幕上,

9、如圖中Q點(diǎn)所示，并且Q點(diǎn)必與Ml板在同一水平線上。則OTQ = ¥=錯(cuò)誤! m= m帶電粒子打在屏幕上的最低點(diǎn)為F,則2O F = r max O Q = (m= m' 5即帶電粒子打在屏幕上O上方m到O'下方m的范圍內(nèi)。5答案 m (2) x 10 m/s(3) O'上方m到O'下方m的范圍內(nèi)(三) 交變磁場(chǎng)+恒定電場(chǎng)典例3電視機(jī)顯像管中需要用變化的磁場(chǎng)來(lái)控制電子束的偏轉(zhuǎn)。圖8-3-9(a)為顯像管工作原理示意圖，陰極K發(fā)射的電子束(初速不計(jì))經(jīng)電壓為U的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入一圓形 勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)方向垂直于圓面 (以垂直圓面向里為正方向)，磁場(chǎng)區(qū)的中心

10、為 Q半徑為 r，熒光屏MN到磁場(chǎng)區(qū)中心 O的距離為L(zhǎng)。當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束將通過(guò)O點(diǎn)垂直打到屏幕的中心P點(diǎn)。當(dāng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間按圖(b)所示的規(guī)律變化時(shí)，在熒光屏上得到一條長(zhǎng)為2 3L的亮線。由于電子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的時(shí)間很短，可以認(rèn)為在每個(gè)電子通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中磁感應(yīng)強(qiáng)度不變。已知電子的電荷量為e,質(zhì)量為m不計(jì)電子之間的相互作用及所受的重力。求：圖 8-3-9(1) 電子打到熒光屏上時(shí)速度的大??；(2) 磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B)。設(shè)為v,解析(1)電子打到熒光屏上時(shí)速度的大小等于它飛出加速電場(chǎng)時(shí)的速度大小,由動(dòng)能定理eU=知；解得v =(2)當(dāng)交變磁場(chǎng)為峰值 B0時(shí)，電子束有最大偏轉(zhuǎn)，在熒光

11、屏上打在Q點(diǎn)，PQ= 3Lo電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)此時(shí)的偏轉(zhuǎn)角度為9 ,由幾何關(guān)系可知，tan 9 =亠廠,9 = 60°。根據(jù)幾何關(guān)系，電子束在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角0，而 tana r2 = R。由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得evB0=-R;解得B0= 3er。答案（i）v= ； 2m B03eru（四）交變電、磁場(chǎng)典例4 某空間存在著一個(gè)變化的電場(chǎng)和一個(gè)變化的磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向向右（如圖8-3-10甲中由B到C的方向），電場(chǎng)變化如圖乙中 E-t圖像，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化如圖丙中 B-t 圖像。在A點(diǎn)，從t = 1 s（即1 s末）開始，每隔2 s，有一個(gè)相同的帶電粒子（重力不計(jì)）

12、沿AB方向（垂直于BC以速度v射出，恰能擊中 C點(diǎn)，若AC = 2BC且粒子在AB間運(yùn)動(dòng)的 時(shí)間小于1 s，求：（1）圖線上Eo和B）的比值，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向；（2）若第1個(gè)粒子擊中C點(diǎn)的時(shí)刻已知為（1 + t） s，那么第2個(gè)粒子擊中C點(diǎn)的時(shí)刻 是多少圖 8-3-10解析設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R在第2秒內(nèi)只有磁場(chǎng)。軌道如圖所示。(1)因?yàn)?A C = 2B C = 2d 所以 R= 2d。第2秒內(nèi)，僅有磁場(chǎng):2 2v v qvB0 = mR= n。T 12 n m nt=6=6 x -qB=E第3秒內(nèi)，僅有電場(chǎng):E 4所以B=4v。粒子帶正電，故磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。2d,A

13、t '=t。故第2個(gè)粒子擊中Cvv 2 n點(diǎn)的時(shí)刻為2+ 3 "a t s 。2 n呂 4_ 一答案（1）= v，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外Bb 3第2個(gè)粒子擊中C點(diǎn)的時(shí)刻為2+攀A t2 n3. 圖3（a）所示的xOy平面處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與xOy平面（紙面）垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的周期為T,變化規(guī)律如圖(b)所示。當(dāng)B為+ Bo時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向2n指向紙外。在坐標(biāo)原點(diǎn) O處有一帶正電的粒子 P,其電荷量與質(zhì)量之比恰好等于 TB。不計(jì) 重力。設(shè)P在某時(shí)刻to以某一初速度沿y軸正方向自O(shè)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，將它經(jīng)過(guò)時(shí)間 T到達(dá) 的點(diǎn)記為A(1) 若to = 0,則直線0A與

14、x軸的夾角是多少(2) 若to = T/4，則直線0A與 x軸的夾角是多少圖3解析：(1)設(shè)粒子P的質(zhì)量為m電荷量為q,速度為v,粒子P在洛倫磁力作用下，在2 n 2 xOy平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示圓周的半徑， T表示運(yùn)動(dòng)周期，則有：qvB= mR廠,2n Rv=。由上式及已知條件得：T'= To粒子P在t = 0到t = £時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá) x軸上B點(diǎn)，此時(shí)磁 場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t = T到 t = T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周， 到達(dá)x軸上A點(diǎn), 如圖(a)所示。0A與 x軸夾角0 = 0oTT T1(2)粒子p在to= 4時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，在

15、t =-到t =時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng) -個(gè)圓周， 到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)； 繼而，在t = T到 t = T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，5T1到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向再次反轉(zhuǎn)；在 t = T到t= 時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)個(gè)圓周，44n到達(dá)A點(diǎn)，如圖(b)所示。由幾何關(guān)系可知，A點(diǎn)在y軸上，即OA與 x軸夾角0 =三。n答案： OA與 x軸夾角0 = 0 (2) OA與 x軸夾角0 =4. (2011 江蘇高考)某種加速器的理想模型如圖4甲所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔 a、b,兩極板間電壓 uab的變化圖像如圖乙所示，電壓的最大值為 U0、周期為To,在兩極板外有

16、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若將一質(zhì)量為 m、電荷量為q的帶正電的粒子從板內(nèi) a孔處?kù)o止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間To后恰能1再次從a孔進(jìn)入電場(chǎng)加速?，F(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了云m。(粒子在兩極板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不圖4(1) 若在t = 0時(shí)將該粒子從板內(nèi)a孔處?kù)o止釋放，求其第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能；(2) 現(xiàn)要利用一根長(zhǎng)為 L的磁屏蔽管(磁屏蔽管置于磁場(chǎng)中時(shí)管內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)，忽略其對(duì)管 外磁場(chǎng)的影響)，使圖甲中實(shí)線軌跡(圓心為O)上運(yùn)動(dòng)的粒子從 a孔正下方相距 L處的c 孔水平射出，請(qǐng)?jiān)趫D甲中的相應(yīng)位置處畫出磁屏蔽管；(3) 若將電壓uab的頻率提高為原來(lái)的 2倍，該粒子應(yīng)何時(shí)由板內(nèi)a孔

17、處?kù)o止開始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動(dòng)能最大動(dòng)能是多少解析：(1)質(zhì)量為mo的粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)2v 2 n r qvB= mo , To=- r，v則To=2 n moqB當(dāng)粒子的質(zhì)量增加i0omo時(shí)，其周期增加 T= 1O0T0則根據(jù)題圖乙可知，粒子第一次的加速電壓ui = U0粒子第二次的加速電壓24匕=25U0射出時(shí)的動(dòng)能49氐=qui + qu2解得 氐= qU0。25(2)磁屏蔽管的位置如圖所示。 在Uab>0時(shí)，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)N= 罟 =25 最大。分析可得，當(dāng)粒子在連續(xù)被加速的次數(shù)最多，且u= U0時(shí)也被加速時(shí)，最終獲得的動(dòng)能粒子由靜止開始

18、加速的時(shí)刻119t =(尹+ 50)To (n= 0,1,2，)1323最大動(dòng)能 Ekm= 2x(25+ 25+ 25)qu+ qU313解得Ekm=血qU0。答案：(1) 2|qU0 (2)見解析25 t =(1n+ 5|) To (n= 0,1,2，)31325qU05. (2012 山東高考)如圖5甲所示，相隔一定距離的豎直邊界兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，在邊界上固定兩長(zhǎng)為L(zhǎng)的平行金屬極板 MN和PQ兩極板中心各有一小孔S、圧，兩極板間電壓的變化規(guī)律如圖乙所示，正反向電壓的大小均為U0,周期為To。在t = 0時(shí)刻將一個(gè)質(zhì)量為 m電量為一q(q>0)的粒子由S靜止釋放，粒子在電場(chǎng)力 的作用下向右運(yùn)動(dòng)，在t =舟時(shí)刻通過(guò) S垂直于邊界進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)。(不計(jì)粒子重力，不考慮極板外的電場(chǎng))(1) 求粒子到達(dá)Sa時(shí)的速度大小 v和極板間距do(2