因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問(wèn)題

1、第1頁(yè)共9頁(yè)1.5因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問(wèn)題例1 2012年上海市松江區(qū)中考模擬第24題已知直線 y= 3x 3 分別與 x 軸、y 軸交于點(diǎn) A, B,拋物線 y= ax2+ 2x + c 經(jīng)小過(guò)點(diǎn) A, B.(1) 求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)記該拋物線的對(duì)稱軸為直線.I，點(diǎn) B 關(guān)于直線 I 的對(duì)稱點(diǎn)為 C,若點(diǎn) D.在 y 軸的正半軸上，且四邊形 ABCD 為梯形.U 11求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；2將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為P,其對(duì)稱軸與直線 y = 3x3 交于點(diǎn) E,若tan DPE3，求四邊形 BDEP 的面積.7圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件

2、名“ 12 松江 24”，拖動(dòng)點(diǎn) P 向右運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，D、P 間的垂直距離等于 7保持不變，/ DPE 與/ PDH 保持相等.請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“ 12 松江 24”，拖動(dòng)點(diǎn) P 向右運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，D、P 間的垂直距離等于 7保持不變，/ DPE 與/ PDH 保持相等，tan DPE 0.43，四邊形 BDEP 的面積為 24.思路點(diǎn)撥1.這道題的最大障礙是畫(huà)圖，A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn)必須畫(huà)準(zhǔn)確，其實(shí)拋物線不必畫(huà)出，畫(huà)出對(duì)稱軸就可以了.2拋物線向右平移，不變的是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不變的是D、P 兩點(diǎn)間的垂直距離等于 7.3.已知/ DPE 的正切值中的 7 的幾何意義就是 D、P

3、兩點(diǎn)間的垂直距離等于 7,那么點(diǎn) P 向右平移到 直線 x= 3時(shí)，就停止平移.滿分解答(1) 直線 y= 3x 3 與 x 軸的交點(diǎn)為 A(1, 0)，與 y 軸的交點(diǎn)為 B(0, 3). 將 A(1, 0)、B(0, 3)分別代入 y= ax2+ 2x+ c,得a 2 c 0,解得aXc 3.c 3.所以拋物線的表達(dá)式為y= x2+ 2x 3.對(duì)稱軸為直線 x= 1，頂點(diǎn)為(一 1, 4).(2) 如圖 2,點(diǎn) B 關(guān)于直線 I 的對(duì)稱點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(一 2, 3). 因?yàn)?CD/AB，設(shè)直線 CD 的解析式為 y= 3x+ b,代入點(diǎn) C( 2, 3)，可得 b = 3.所以點(diǎn) D 的

4、坐標(biāo)為(0, 3).過(guò)點(diǎn) P 作 PH 丄 y 軸，垂足為 H,那么/ PDH =/ DPE .而 DH = 7,所以 PH = 3.因此點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(3, 6).由tanDPE 7，得tan PDHPH 3DH 7第2頁(yè)共9頁(yè)所以 S梯形BDEP1(BD EP) PH 24 .第3頁(yè)共9頁(yè)考點(diǎn)伸展第(2)用幾何法求點(diǎn) D 的坐標(biāo)更簡(jiǎn)便：因?yàn)?CD/AB，所以/ CDB =ZABO .因此BCOA 1.所以 BD = 3BC= 6, OD = 3.因此 D (0, 3). BD OB 3例2 2012年衢州市中考第24題如圖 1，把兩個(gè)全等的 Rt AOB 和 Rt COD 方別置于平面直

5、角坐標(biāo)系中， 使直角邊OB、OD 在 x 軸上.已知點(diǎn) A(1 , 2),過(guò) A、C 兩點(diǎn)的直線分別交 x 軸、y 軸于點(diǎn) E、F.拋物線y= ax2+ bx+ c 經(jīng)過(guò) O、A、C 三點(diǎn).(1) 求該拋物線的函數(shù)解析式；(2 )點(diǎn) P 為線段 OC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的平行線交拋物線于 點(diǎn) M，交 x 軸于點(diǎn) N，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn) P,使得四邊形 ABPM 為等腰梯 形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 若厶 AOB 沿 AC 方向平移(點(diǎn) A 始終在線段 AC 上，且不與點(diǎn) C 重合)， AOB 在平移的過(guò)程中 與厶 COD重疊部分的面積記為 S

6、.試探究 S 是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由.動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 12 衢州 24”，拖動(dòng)點(diǎn) P 在線段 OC 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，在 AB 的左側(cè)，存 在等腰梯形 ABPM .拖動(dòng)點(diǎn) A 在線段 AC 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， Rt AOB、Rt COD、Rt AUG、Rt OEK、Rt OFG和 Rt EHK 的兩條直角邊的比都為 1 : 2.請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“ 12 衢州 24”， 拖動(dòng)點(diǎn) P 在線段 OC 上運(yùn)動(dòng)， 可以體驗(yàn)到， 在 AB 的左側(cè)， 存 在 AM=BP .拖動(dòng)點(diǎn) A 在線段 AC 上運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn) S 最大值為 0.375 .思路

7、點(diǎn)撥1.如果四邊形 ABPM 是等腰梯形，那么 AB 為較長(zhǎng)的底邊，這個(gè)等腰梯形可以分割為一個(gè)矩形和兩個(gè) 全等的直角三角形，AB 邊分成的 3 小段，兩側(cè)的線段長(zhǎng)線段.2. AOB 與厶 COD 重疊部分的形狀是四邊形 EFGH，可以通過(guò)割補(bǔ)得到，即 OFG 減去 OEH .圖 2圖 3第4頁(yè)共9頁(yè)3.求 OEH 的面積時(shí)，如果構(gòu)造底邊 0H 上的高 EK，那么 Rt EHK 的直角邊的比為 1 :2.4.設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的水平距離為 m,那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m 表示.滿分解答(3)如圖 3, AOB 與厶 COD 重疊部分的形狀是四邊形 EFGH，作 EK 丄 OD 于 K. 設(shè)點(diǎn)

8、 A 移動(dòng)的水平距離為 m,那么 OG = 1 + m, GB= m.在 Rt OFG 中，F(xiàn)GOG21(1 m).所以SOFG;(1m)2.在 Rt AHG中,AG=2 m, 所以HG1AG(2 m)11m222所以O(shè)H OGHG(1 m)(1丄m)3 m.22在 Rt OEK 中，OK = 2 EK ;在 RtAEHK 中，EK = 2HK ;所以 OK = 4HK . 因此OK4OH4-m 2m.所以EKOK m.33 22所以1SOEHOH EK13 m32mm2224于是SSOFGSOEH力m)232m12m1 1 m -g(m344224228(1 )將 A(1,2)、0(0, 0

9、)、C(2,1)分別代入 y= ax2+ bx+ c,a得c4ab c 2,0,2b c1.過(guò)點(diǎn) P、M 分別作梯形=BP、因此 yA y M = yP yB.直線 OC 的解析式為y,2解方程2 (3x27x)，2 2 2(2)如圖2,c 0.所以y?x2 7x.2 2ABPM 的高 PP、MM 如果梯形設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x x)，2那么 M(x,X22 .ABPM 是等腰梯形，那么272x).AM第5頁(yè)共9頁(yè)因?yàn)?vmv1,所以當(dāng)m1時(shí), S 取得最大值，最大值為328考點(diǎn)伸展第(3)題也可以這樣來(lái)解：設(shè)點(diǎn)A 的橫坐標(biāo)為 a.由直線 AC: y = x + 3,可得 A (a, a +

10、3).由直線C：y1x，可得F(a,1a)2 2由直線 A： y= 2x 及 A (a, a+ 3)，可得直線 A : y= 2x 3a + 3,H(3a 30).2，由直線 OC 和直線 A 可求得交點(diǎn) E(2a 2, a 1).由 E、F、G、H 4 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得例4 2011年義烏市中考第24題已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) A (2, 0)、C(0, 12)兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線 x= 4,設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn) P,與 x 軸 的另一交點(diǎn)為點(diǎn) B.(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P 的坐標(biāo)；(2)如圖 1，在直線 y= 2x 上是否存在點(diǎn) D，使四邊形 OPBD 為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D 的坐標(biāo)；若

11、不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖 2，點(diǎn) M 是線段 OP 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(、P 兩點(diǎn)除外)，以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn) P 向點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) M 作直線 MN/X 軸， 交 PB 于點(diǎn) N.將厶 PMN 沿直線 MN 對(duì)折， 得到 P1MN.在動(dòng) 點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 設(shè) P1MN與梯形 OMNB 的重疊部分的面積為 S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，求 S 關(guān)于 t 的函 數(shù)關(guān)系式.動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 11 義烏 24”，拖動(dòng)點(diǎn) M 從 P 向 O 運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， M 在到達(dá) PO 的中點(diǎn) 前，重疊部分是三角形；經(jīng)過(guò)中點(diǎn)以后，重疊部分是梯形.思路點(diǎn)撥1.第(2)題可以根據(jù)對(duì)邊

12、相等列方程，也可以根據(jù)對(duì)角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行 四邊形的情況.第6頁(yè)共9頁(yè)2.第(3)題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個(gè)階段，臨界點(diǎn)是PO 的中點(diǎn).第7頁(yè)共9頁(yè)此時(shí)S3t2 3(2t 4)29t212t 12.444考點(diǎn)伸展第(2)題最好的解題策略就是拿起尺、規(guī)畫(huà)圖：方法一，按照對(duì)角線相等畫(huà)圓.以P 為圓心，OB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與直線 y= 2x 有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)是等腰梯形的頂點(diǎn)，一個(gè)是平行四邊形的頂點(diǎn).方法二，按照對(duì)邊相等畫(huà)圓.以B 為圓心，OP 長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與直線 y= 2x 有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)是等腰梯形的頂點(diǎn)，一個(gè)是平行四邊形的頂點(diǎn).滿分解答(1)設(shè)拋物線的解析式為2

13、4a k 0,y a(x 4) k,代入 A (2, 0)、C(o, 12)兩點(diǎn)，得解16a k 12.1,4.所以二次函數(shù)2 2y (x 4)4 x 8x 12，頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(4, 4).(2)由y x28x 12(x 2)(x6)，知點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(6, 0).假設(shè)在等腰梯形 OPBD，那么 由兩點(diǎn)間的距離公式，得(x如圖3,當(dāng) x= 2 時(shí)，四邊形DP = OB= 6.設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(為2x).4)2(2x 4)236解得x或 x= 2.ODPB 是平行四邊形.501 Pkc / ,V F10 xMX Hr3(3)設(shè)厶 PMN 與厶 POB 的高分別為 PH、PG .在 Rt

14、 PMH 中，PM . 2t，PH MH t.所以PG 2t 4. 在 Rt PNH 中，PH t，NH】PH t.所以MN3t.2 2 21如圖 4，當(dāng) 0vtw2 時(shí)，重疊部分的面積等于厶 PMN 的面積此時(shí)S- -t t-t2.2 242如圖 5,當(dāng) 2VtV4 時(shí)，重疊部分是梯形，面PDCSPMNPGPH2，所以SPDC22t 43以-tt 43(2t 4)2.24所以，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，5)時(shí)，四邊形 OPBD 為等腰梯形.第8頁(yè)共9頁(yè)例5 2010年杭州市中考第24題12如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線的解析式是 y = x21，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（-,0），平行四4

15、邊形 OABC 的頂點(diǎn) A，B 在拋物線上，AB 與 y 軸交于點(diǎn) M，已知點(diǎn) Q（x，y）在拋物線上，點(diǎn) P（t，0）在 x 軸 上.（1）寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；（2）當(dāng)四邊形 CMQP 是以 MQ , PC 為腰的梯形時(shí). 求 t 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式和自變量 x 的取值范圍;當(dāng)梯形 CMQP 的兩底的長(zhǎng)度之比為 1 : 2 時(shí)，求 t 的值.圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 10 杭州 24”，拖動(dòng)點(diǎn) Q 在拋物線上運(yùn)動(dòng)，從 t 隨 x 變化的圖象可以看到，t 是 x 的二次函數(shù)，拋物線的開(kāi)口向下.還可以感受到，PQ : CM = 1 : 2 只有一種情況，此時(shí) Q 在 y 軸上；C

16、M : PQ= 1 : 2 有兩種情況.思路點(diǎn)撥1.第（1）題求點(diǎn) M 的坐標(biāo)以后，Rt OCM 的兩條直角邊的比為 1 : 2,這是本題的基本背景圖.2.第（2）題中，不變的關(guān)系是由平行得到的等角的正切值相等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，列關(guān)于t 與 x 的比例式，從而得到 t 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系.3探求自變量 x 的取值范圍，要考慮梯形不存在的情況，排除平行四邊形的情況.4.梯形的兩底的長(zhǎng)度之比為 1 : 2,要分兩種情況討論. 把兩底的長(zhǎng)度比轉(zhuǎn)化為 QH 與 MO 的長(zhǎng)度比.滿分解答12（1）因?yàn)?AB= OC = 4, A、B 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，所以點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2 .將 x= 2 代入 y

17、 =一x 1，得 y4=2.所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（0, 2）.如圖2,過(guò)點(diǎn) Q 作 QHx 軸，設(shè)垂足為H,則12HQ = yx 1,HP = x-t4因?yàn)镃M/I PQ，所以/ QPH =/ MCO .因此tan/QPH = tan / MCO ，即HQOMHPOC12彳x 11(xt）.整理，得t丄x2x 2.422如圖 3,當(dāng) P 與 C 重合時(shí)，t4，解方程412x x 2，得x1.2如圖 4,當(dāng) Q 與 B 或 A 重合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，x= 2.丄.所以2第9頁(yè)共9頁(yè)考點(diǎn)伸展本題情境下，以 Q 為圓心、QM 為半徑的動(dòng)圓與 x 軸有怎樣的位置關(guān)系呢？2 2設(shè)點(diǎn) Q 的坐

18、標(biāo)為x,-x21，那么QM2x2丄x21- x2144412而點(diǎn) Q 到 x 軸的距離為x21.4因此圓 Q 的半徑 QM 等于圓心 Q 到 x 軸的距離，圓 Q 與 x 軸相切.因?yàn)?sin / QPH = sin/MCO ,所以HQPQOMCM，即PQ HQ CM OM.當(dāng)PQHQ1時(shí),HQ1 OM1.解方程1x211，得x0（如圖 5）.此時(shí)tCMOM224當(dāng)PQHQ2時(shí)，HQ2OM4. 解方程1-x214，得x23.CMOM4如圖 6,當(dāng)x23時(shí)，t8 2 3;如圖 6,當(dāng)1 x2、3時(shí),t8 2、3.2.因此自變量 x 的取值范圍是x 1.5，且 x2 的所有實(shí)數(shù).圖 2圖 3圖 4

19、第10頁(yè)共9頁(yè)例7 2009年廣州市中考第25題px q(p0)的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C (0, 1),5 ABC 的面積為 .4(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)過(guò) y 軸上的一點(diǎn) M (0, m)作 y 軸的垂線，若該垂線與 ABC 的外接圓有公共點(diǎn)，求 m 的取值 范圍；(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使以 A、B、C、D 為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在,動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 09廣州 25”， 可以看到, 接圓直徑，拖動(dòng)點(diǎn) M 在 y 軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，過(guò)在拋物線上有兩個(gè)符合條件的點(diǎn)D，使以 A、B、 ABC 是以 AB 為斜邊的

20、直角三角形， AB 是它的外 M的直線與圓相切或者相交時(shí)有公共點(diǎn).C、D 為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形.思路點(diǎn)撥1根據(jù) ABC 的面積和 AB 邊上的高確定 AB 的長(zhǎng)，這樣就可以把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)用一個(gè)字母表示.2 數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點(diǎn) A、B、C 的坐標(biāo)確定 OA、OB、OC 間的數(shù)量關(guān)系，得到 AOCCOB，從 而得到 ABC是以 AB 為斜邊的直角三角形， AB 是它的外接圓直徑，再根據(jù)對(duì)稱性寫出m 的取值范圍.3.根據(jù)直角梯形的定義，很容易確定符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)，但是求點(diǎn) D 的坐標(biāo)比較麻煩，根據(jù)等角的正切相等列方程相對(duì)簡(jiǎn)單一些.滿分解答55(1)因?yàn)?OC = 1 , ABC 的面積為5，所以 AB=-.425設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(a, 0),那么點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(a,0).2551設(shè)拋物線的解析式為y (x a)(x a ),代入點(diǎn) C