202X屆高考數(shù)學一輪復習第十五章坐標系與參數(shù)方程課件文

1、第十五章 坐標系與參數(shù)方程高考文數(shù)高考文數(shù) (課標專用)考點一極坐標方程考點一極坐標方程五年高考A A組組 統(tǒng)一命題統(tǒng)一命題課標卷題組課標卷題組1.(2019課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中,O為極點,點M(0,0)(00)在曲線C:=4sin 上,直線l過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.(1)當0=時,求0及l(fā)的極坐標方程;(2)當M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程.3解析解析本題主要考查了極坐標的概念和求極坐標方程的基本方法,考查了數(shù)學運算能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法,主要體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).(1)因為M(0,0)在C上,

2、當0=時,0=4sin=2.由已知得|OP|=|OA|cos=2.設(shè)Q(,)為l上除P的任意一點.在RtOPQ中,cos=|OP|=2.經(jīng)檢驗,點P在曲線cos=2上.所以,l的極坐標方程為cos=2.(2)設(shè)P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因為P在線段OM上,且APOM,故的取值范圍是.所以,P點軌跡的極坐標方程為=4cos ,.333332,333,4 2 ,4 2 思路分析思路分析 (1)由極坐標的定義,通過解直角三角形建立l上動點橫縱坐標,的等式求解;(2)在RtOAP中,解三角形求點P的軌跡方程,利用點P在線段OM上確定的取值范圍.易

3、錯警示易錯警示 忽視了點P在線段OM上的條件,沒有限制的取值范圍而導致錯解.2.(2019課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程如圖,在極坐標系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,),弧,所在圓的圓心分別是(1,0),(1,),曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧.(1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標方程;(2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點P在M上,且|OP|=,求P的極坐標. 2,432,4ABBCCD1,2ABBCCD3解析解析本題考查極坐標的概念,求極坐標方程等知識點,通過極坐標的應用考查學生的運算求解能力,以求點的極坐標為背景考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).(1)由題

4、設(shè)可得,弧,所在圓的極坐標方程分別為=2cos ,=2sin ,=-2cos .所以M1的極坐標方程為=2cos ,M2的極坐標方程為=2sin ,M3的極坐標方程為=-2cos .(2)設(shè)P(,),由題設(shè)及(1)知若0,則2cos =,解得=;若,則2sin =,解得=或=;若,則-2cos =,解得=.綜上,P的極坐標為或或或.ABBCCD04344344364343323343563,63,323,353,63.(2018課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐

5、標方程為2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐標方程;(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.解析解析(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或

6、k=0.經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=.經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=時,l2與C2沒有公共點.綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2.2|2|1kk 43432|2|1kk434343方法技巧方法技巧極坐標方程與直角坐標方程的互化技巧:(1)巧用極坐標方程兩邊同乘或同時平方的技巧,將極坐標方程構(gòu)造成含有cos ,sin ,2的形式,然后利用公式代入化簡得到直角坐標方程.(2)巧借兩角和、差公式轉(zhuǎn)化成sin()或cos()

7、的結(jié)構(gòu)形式,進而利用互化公式得到直角坐標方程.(3)將直角坐標方程中的x轉(zhuǎn)化為cos ,將y轉(zhuǎn)化為sin ,即可得到其極坐標方程.4.(2017課標全國,22,10分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;(2)設(shè)點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.2,3解析解析(1)設(shè)P的極坐標為(,)(0),M的極坐標為(1,)(10).由題設(shè)知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程為

8、=4cos (0).因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點B的極坐標為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面積S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.當=-時,S取得最大值2+.所以O(shè)AB面積的最大值為2+.4cos12sin33sin 232312335.(2017課標全國,22,10分)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)l3:(cos

9、+sin )-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.2,xtykt2,xmmyk 2解析解析(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2).設(shè)P(x,y),由題設(shè)得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標方程為2(cos2-sin2)=4(00).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=4cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;(2)直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.cos ,1

10、sinxatyat 解析解析(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.(2分)將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為2-2sin +1-a2=0.(4分)(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組(6分)若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分)由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上.所以a=1.(10分)222 sin10,4cos .a 易錯警示易

11、錯警示 對“互化”過程不熟悉,對參數(shù)和極坐標的幾何意義理解不透徹是失分的主要原因.考點二參數(shù)方程考點二參數(shù)方程1.(2019課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2cos +sin +11=0.(1)求C和l的直角坐標方程;(2)求C上的點到l距離的最小值.2221,141txttyt3解析解析本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化,通過整體運算消參數(shù)和利用三角函數(shù)求最值,考查了數(shù)學運算能力和轉(zhuǎn)化的思想方法,核心素養(yǎng)體現(xiàn)了數(shù)學運算

12、.(1)因為-11,且x2+=+=1,所以C的直角坐標方程為x2+=1(x-1).l的直角坐標方程為2x+y+11=0.(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(為參數(shù),-).C上的點到l的距離為=.當=-時,4cos+11取得最小值7,故C上的點到l距離的最小值為.注:因為在教材中,參數(shù)方程與普通方程對應,極坐標方程與直角坐標方程對應,所以本題中的“求C和l的直角坐標方程”更改為“求C的普通方程和l的直角坐標方程”更合適.2211tt22y22211tt2224(1)tt24y3cos ,2sinxy|2cos2 3sin11|74cos11372337思路分析思路分析 (1)觀察、分析參數(shù)方程的特

13、征,應通過平方運算消去參數(shù)t;直線l的極坐標方程只需直接利用互化公式即可求解;(2)由點到直線的距離公式,利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.2.(2018課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.2cos ,4sinxy1cos ,2sinxtyt 解析解析(1)曲線C的直角坐標方程為+=1.當cos 0時,l的直角坐標方程為y=tan x+2-tan ,當cos =0時,l的直角坐標方程為x=1.(2

14、)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以有兩個解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直線l的斜率k=tan =-2.注:因為在教材中,參數(shù)方程與普通方程對應,極坐標方程與直角坐標方程對應,所以本題中的“直角坐標方程”更改為“普通方程”更合適.24x216y24(2cossin )1 3cos方法總結(jié)方法總結(jié)以角為參數(shù)的參數(shù)方程,一般利用三角函數(shù)的平方關(guān)系sin2+cos2=1化為普通方程;而弦的中點問題常用根與

15、系數(shù)的關(guān)系或“點差法”進行整體運算求解.3.(2018課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中,O的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為的直線l與O交于A,B兩點.(1)求的取值范圍;(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.cos ,sinxy2解析解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系.(1)O的直角坐標方程為x2+y2=1.當=時,l與O交于兩點.當時,記tan =k,則l的方程為y=kx-.l與O交于兩點當且僅當1,解得k1,即或.綜上,的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A,B,P對應的參數(shù)分別為tA,tB,tP,222221

16、k,4 2 3,243,44cos ,2sinxtyt 3,44t為參數(shù)則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsin +1=0.于是tA+tB=2sin ,tP=sin .又點P的坐標(x,y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是.2ABtt222cos ,2sin ,PPxtyt 2sin2 ,222cos222xy 3,44為參數(shù)思路分析思路分析(1)將O的參數(shù)方程化為普通方程分直線斜率存在與不存在兩種情況討論由點到直線的距離公式得到關(guān)于斜率的不等式得出斜率的取值范圍,進而得到傾斜角的取值范圍(2)利用中點坐標公式建立A、B、P坐標的關(guān)系,即可求P的軌跡方程.易錯警示易錯警示容易忽略直線斜率不存在

17、的情形,求傾斜角時要注意斜率是否存在.解后反思解后反思將參數(shù)方程化為普通方程的方法:(1)將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征選取適當?shù)南麉⒎椒?常見的消參方法有:代入消參法、加減消參法、平方消參法等,對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程,常利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式消參.(2)將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意兩種方程的等價性,不要增解.4.(2017課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;(2)若C上的點到l距離的最大值為,求a.3cos ,sinxy4 ,

18、1xatyt 17解析解析(1)解法一:曲線C的普通方程為+y2=1.當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.由解得或從而C與l的交點坐標為(3,0),.解法二:設(shè)交點坐標為(x,y),當a=-1時,直線l的參數(shù)方程為將代入得=1-sin ,29x22430,19xyxy3,0 xy21,2524.25xy 21 24,25 2514 ,1.xtyt 3cos ,sinxy14 ,1,xtyt 3cos14 即3cos +4sin =3,3+8sin cos =3,即2sin=0,由此可得sin=0或tan=,所以或故可得交點坐標為(3,0)或.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-

19、4=0,故C上的點(3cos ,sin )到l的距離為d=.當a-4時,d的最大值為,由題設(shè)得=,所以a=8;當a-4時,d的最大值為,212sin22224cos3sin222243cos1,sin07cos,2524sin,25 21 24,25 25|3cos4sin4|17a917a917a17117a 由題設(shè)得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.117a 175.(2015課標,23,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t0),其中0.在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=2sin ,C3:=2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標;(

20、2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.cos ,sinxtyt3解析解析(1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-2x=0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.3222220,2 30,xyyxyx0,0 xy3,23.2xy3 3,22(2)曲線C1的極坐標方程為=(R,0),其中0.因此A的極坐標為(2sin ,),B的極坐標為(2cos ,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4.當=時,|AB|取得最大值,最大值為4.33sin356思路分析思路分析 (1)將曲線C2與C3的極坐標方

21、程兩邊同乘,即可化為直角坐標方程,聯(lián)立即可求出交點的坐標;(2)將C1的參數(shù)方程化為普通方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標方程,從而得出|AB|的表達式,然后求其最值即可.B B組組 自主命題自主命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點一極坐標方程考點一極坐標方程1.(2015廣東,14,5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C1的極坐標方程為(cos +sin )=-2,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則C1與C2交點的直角坐標為 .2,2 2xtyt 答案答案(2,-4)解析解析曲線C1:cos +sin =-2的直角坐標

22、方程為x+y=-2,曲線C2:的普通方程為y2=8x,由解得則C1與C2交點的直角坐標為(2,-4).2,2 2xtyt 22,8xyyx 2,4,xy 評析評析本題考查直線的極坐標方程向直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,及拋物線的參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化,考查基本運算能力、轉(zhuǎn)化能力,屬中檔難度題.2.(2019江蘇,21B,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中,已知兩點A,B,直線l的方程為sin=3.(1)求A,B兩點間的距離;(2)求點B到直線l的距離.3,42,24解析解析本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.(1)設(shè)極點為O.在OAB中,A,B,由余弦定理,得AB=

23、.(2)因為直線l的方程為sin=3,則直線l過點,傾斜角為.又B,所以點B到直線l的距離為(3-)sin=2.3,42,2223( 2)2 32cos24 543 2,2342,2223423.(2018江蘇,21C,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中,直線l的方程為sin=2,曲線C的方程為=4cos ,求直線l被曲線C截得的弦長.6解析解析本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.因為曲線C的極坐標方程為=4cos ,所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓,因為直線l的極坐標方程為sin=2,所以直線l過點(4,0),傾斜角為,設(shè)A(4,0),則A為直線

24、l與圓C的一個交點.設(shè)另一個交點為B,則OAB=.666連接OB,因為OA為直徑,所以O(shè)BA=,所以AB=4cos=2.因此,直線l被曲線C截得的弦長為2.2633一題多解一題多解把直線和曲線的極坐標方程化成直角坐標方程得到l:x-y-4=0,C:x2+y2-4x=0,則C:(x-2)2+y2=4,半徑R=2,圓心C(2,0)到l的距離d=1,因此,直線l被曲線C截得的弦長為2=2.32222Rd3考點二參數(shù)方程考點二參數(shù)方程(2016江蘇,21C,10分)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的

25、長.11,232xtyt cos ,2sinxy解析解析由題意知橢圓C的普通方程為x2+=1.將直線l的參數(shù)方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.24y11,232xtyt 24y2112t2324t167167評析評析本小題主要考查直線和橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化以及直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.C C組組 教師專用題組教師專用題組考點一極坐標方程考點一極坐標方程1.(2015湖南,12,5分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為=2s

26、in ,則曲線C的直角坐標方程為 .答案答案 x2+y2-2y=0解析解析由=2sin ,得2=2sin ,所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2-2y=0.2.(2015課標,23,10分)在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1,C2的極坐標方程;(2)若直線C3的極坐標方程為=(R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積.4解析解析(1)因為x=cos ,y=sin ,所以C1的極坐標方程為cos =-2,C2的極坐標方程為2-2cos -4sin +4=0.(5分)(2)將=代

27、入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=.故1-2=,即|MN|=.由于C2的半徑為1,所以C2MN的面積為.(10分)422222123.(2013課標,23,10分)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為=2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;(2)求C1與C2交點的極坐標(0,02).45cos ,55sinxtyt解析解析(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.將代入x2+y2-8x-10y+16=0得

28、2-8cos -10sin +16=0.所以C1的極坐標方程為2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0.由解得或所以C1與C2交點的極坐標分別為,.45cos ,55sinxtytcos ,sinxy2222810160,20,xyxyxyy1,1xy0,2.xy2,42,2思路分析思路分析 (1)利用sin2t+cos2t=1即可得到圓C1的普通方程;再利用互化公式得到C1的極坐標方程;(2)先求出C2的直角坐標方程,再將兩圓方程聯(lián)立求出其交點坐標,最后利用互化公式求出交點的極坐標.4.(2011課標,23,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C1

29、的參數(shù)方程為(為參數(shù)),M是C1上的動點,P點滿足=2,P點的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程;(2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線=與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|.2cos ,22sinxyOPOM3解析解析(1)設(shè)P(x,y),則由條件知M.由于M點在C1上,所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)曲線C1的極坐標方程為=4sin ,曲線C2的極坐標方程為=8sin .射線=與C1的交點A的極徑為1=4sin,射線=與C2的交點B的極徑為2=8sin.所以|AB|=|2-1|=2.,2 2x y2cos ,222sin .2xy

30、4cos ,44sin .xy4cos ,44sinxy33333評析評析本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標方程及極徑的幾何意義,屬中等難度題.考點二參數(shù)方程考點二參數(shù)方程1.(2016課標全國,23,10分)在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率.cos ,sinxtyt10解析解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圓C的極坐標方程為2+12cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方

31、程為=(R).設(shè)A,B所對應的極徑分別為1,2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得2+12cos +11=0.(6分)于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =.所以l的斜率為或-.(10分)21212()4 2144cos44 1038153153153方法總結(jié)方法總結(jié) 利用整體運算的技巧可以大大提高解題效率.思路分析思路分析 (1)利用互化公式求出C的極坐標方程;(2)先把直線的參數(shù)方程化為極坐標方程,代入圓的極坐標方程,建立關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式即可解決問題.2.(2016課標全國,23,10

32、分)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為sin=2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.3cos ,sinxy42解析解析(1)C1的普通方程為+y2=1.C2的直角坐標方程為x+y-4=0.(5分)(2)由題意,可設(shè)點P的直角坐標為(cos ,sin ).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,d()=.(8分)當且僅當=2k+(kZ)時,d()取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為.

33、(10分)23x3|3cossin4|22 sin23623 1,2 2解析解析(1)C1的普通方程為+y2=1.C2的直角坐標方程為x+y-4=0.(5分)(2)由題意,可設(shè)點P的直角坐標為(cos ,sin ).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,d()=.(8分)當且僅當=2k+(kZ)時,d()取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為.(10分)23x3|3cossin4|22 sin23623 1,2 2思路分析思路分析 求圓上一動點到直線上點的距離的最小值時,利用圓的參數(shù)方程化為三角函數(shù)的最值問題,能極大提高解題效率.3.(2015陜西,23,10

34、分)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,C的極坐標方程為=2sin .(1)寫出C的直角坐標方程;(2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.13,232xtyt3解析解析(1)由=2sin ,得2=2sin ,從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)設(shè)P,又C(0,),則|PC|=,故當t=0時,|PC|取得最小值,此時,P點的直角坐標為(3,0).3333133,22tt322133322tt212t 4.(2014課標,23,10分)已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)).(1)寫出曲

35、線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.24x29y2,22xtyt解析解析(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點P(2cos ,3sin )到l的距離d=|4cos +3sin -6|,則|PA|=|5sin(+)-6|,其中為銳角,且tan =.當sin(+)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為.當sin(+)=1時,|PA|取得最小值,最小值為.2cos ,3sinxy55sin30d2 554322 552 555.(2014課標,23,10分)

36、在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為=2cos ,.(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標.0,23解析解析(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0t).(2)設(shè)D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐標為,即.1cos ,sinxtyt 331cos,sin3333,226

37、.(2013課標,23,10分)已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對應參數(shù)分別為t=與t=2(02),M為PQ的中點.(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點.2cos ,2sinxtyt解析解析(1)依題意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù),02).(2)M點到坐標原點的距離d=(02).當=時,d=0,故M的軌跡過坐標原點.coscos2 ,sinsin2xy22xy22cos思路分析思路分析 (1)根據(jù)題意寫出

38、P,Q兩點的坐標,再利用中點坐標公式得PQ中點M的坐標,從而得出M的軌跡的參數(shù)方程;(2)利用兩點間的距離公式得到M到坐標原點的距離,再驗證當=時,d=0,即可得M的軌跡過坐標原點.7.(2012課標全國,23,10分)已知曲線C1的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是=2.正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標為.(1)求點A,B,C,D的直角坐標;(2)設(shè)P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.2cos ,3sinxy2,3解析解析(1)由已知可得A,B

39、2cos+,2sin+ ,C2cos+,2sin+ ,D2cos+,2sin+ ,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)設(shè)P(2cos ,3sin ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,則S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2.因為0sin21,所以S的取值范圍是32,52.2cos,2sin333232333323323333評析評析本題考查了曲線的參數(shù)方程和極坐標方程.考查了函數(shù)的思想方法.正確“互化”是解題的關(guān)鍵.難點是建立函數(shù)S=f().考點一極坐標方程考點一極坐標方程三年模擬A A組組 20172019 20172019

40、年高考模擬年高考模擬考點基礎(chǔ)題組考點基礎(chǔ)題組1.(2018河南安陽二模,22)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x+y=5,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=4sin .(1)求直線l的極坐標方程和圓C的直角坐標方程;(2)射線OP:=與圓C的交點為O,A,與直線l的交點為B,求線段AB的長.336解析解析(1)因為x=cos ,y=sin ,直線l:x+y=5,所以直線l的極坐標方程為cos +sin =5,(2分)化簡得2sin=5.(3分)由=4sin ,得2=4sin ,所以x2+y2=4y,即x2+y2-4y=0,故圓C的直角坐標方程為x2+y2

41、-4y=0.(5分)(2)由題意得A=4sin=2,(7分)B=5,(9分)所以|AB|=|A-B|=3.(10分)33336365 32sin662.(2019湖北黃岡模擬二,22)極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位,以原點為極點,以x軸正半軸為極軸,曲線C1的極坐標方程為=4cos ,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù),02,|PQ|的最小值即為圓心(-2,1)到直線3x-4y-10=0的距離減去圓的半徑,(8分)|PQ|的最小值為4-2=2.(10分)22cos ,12sinxy 22| 2 34 1 10|3( 4) 205思路分析思路分析 (1)由消去能求出曲線C的普通方程,由直

42、線的極坐標方程能求出直線l的直角坐標方程.(2)曲線C是圓心為(-2,1),半徑為2的圓,l:3x-4y-10=0,圓心到直線l的距離為4,判斷出直線與圓相離,所以|PQ|的最小值即為圓心(-2,1)到直線3x-4y-10=0的距離減去圓的半徑,由此求出結(jié)果.22cos ,12sinxy 2.(2018廣東肇慶二模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是+=4cos +4sin .(1)當=時,直接寫出C1的普通方程和極坐標方程,直接寫出C2的直角坐標方程;(2)已知點P,且曲線C1和C2交于A,

43、B兩點,求|PA|PB|的值.cos ,1sinxtyt 721,2解析解析(1)曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0),消去參數(shù)t,得C1的普通方程為xsin -ycos +cos =0.(1分)=,C1的普通方程為x=0,(2分)曲線C1的極坐標方程為cos =0.(3分)曲線C2的極坐標方程是+=4cos +4sin ,即2+7=4cos +4sin ,C2的直角坐標方程為x2+y2+7=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2=1.(5分)(2)將(t為參數(shù))代入(x-2)2+(y-2)2=1中,化簡得t2-2(sin +2cos )t+4=0,(7分)設(shè)A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2

44、,則t1t2=4,(8分)|PA|PB|=|t1t2|=4.(10分)cos ,1sinxtyt 27cos ,1sinxtyt 技巧點撥技巧點撥 對于距離的乘積問題,注意運用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系解決.3.(2018廣東茂名二模,22)在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為=,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),00),直線l與曲線C交于M、N兩點.(1)求曲線C的直角坐標方程和點A的極坐標;(2)若=3,求實數(shù)m的值.1,2xtyt PNPM解析解析(1)曲線C的直角坐標方程為y2=mx(m0),直線l的普通方程

45、為y=x-1,直線l與y軸交于A(0,-1),A的極坐標為.(5分)(2)直線l的參數(shù)方程可化為(t為參數(shù)),代入拋物線的方程得t2-(4+m)t+8+2m=0,設(shè)M,N對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=4+m,t1t2=8+2m,=3,t1=3t2,m=或m=-4(舍),m的值為.(10分)31,221,2222xtyt 2222PNPM22244 22 ,382 ,tmtm4343B B組組 2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組(時間:50分鐘分值:80分)解答題(共80分)1.(2018河南洛陽二模,22)在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,

46、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C1的極坐標方程為sin =4,曲線C2的極坐標方程為2-2cos -4sin +1=0,曲線C3的極坐標方程為=(R).(1)求C1與C2的直角坐標方程;(2)若C2與C1交于P點,C2與C3交于A,B兩點,求PAB的面積.4解析解析(1)曲線C1的極坐標方程為sin =4,曲線C1的直角坐標方程為y=4,(2分)曲線C2的極坐標方程為2-2cos -4sin +1=0,曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2x-4y+1=0,(3分)即(x-1)2+(y-2)2=4.(4分)(2)曲線C3的極坐標方程為=(R),曲線C3的直角坐標方程為y=x,(5分)

47、聯(lián)立C1與C2的方程得得x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,點P的坐標為(1,4),(6分)點P到C3的距離d=.(7分)設(shè)A(1,1),B(2,2).4224,(1)(2)4,yxy|14|23 22將=代入C2,得2-3+1=0,(8分)則1+2=3,12=1,(9分)|AB|=|1-2|=,SPAB=|AB|d=.(10分)42221212()4 141212143 223 72思路分析思路分析 第(2)問由曲線C3的極坐標方程求出曲線C3的直角坐標方程,聯(lián)立C1與C2的方程得x2-2x+1=0,解得點P的坐標為(1,4),從而求得點P到C3的距離d=.設(shè)A(1,1),B(2,2).

48、將=代入C2,得2-3+1=0,求出|AB|,由此能求出PAB的面積.3 22422.(2018湖南岳陽二模,22)已知曲線C的極坐標方程是=2cos ,若以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,且取相同的單位長度建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).(1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的普通方程;(2)設(shè)點P(m,0),若直線l與曲線C交于A,B兩點,且|PA|PB|=1,求非負實數(shù)m的值.3,212xtmyt解析解析(1)由x=cos ,y=sin ,x2+y2=2,曲線C的極坐標方程是=2cos ,即2=2cos ,(2分)得x2+y2=2x,即曲線C的直角坐標方

49、程為(x-1)2+y2=1,(3分)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),可得其普通方程為x-y-m=0.(5分)(2)將(t為參數(shù))代入圓(x-1)2+y2=1,可得t2+(m-1)t+m2-2m=0,(*)(6分)由=3(m-1)2-4(m2-2m)0,可得-1m3,(7分)由m為非負數(shù),可得0m3.設(shè)t1,t2是方程(*)的兩根,則t1t2=m2-2m,(8分)由|PA|PB|=1,可得|m2-2m|=1,3,212xtmyt33,212xtmyt3解得m=1或1,(9分)因為0m3,所以m=1或1+.(10分)223.(2019河南六市第二次聯(lián)考,22)在直角坐標系xOy中,拋物線C的方程為y2=4x.(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A、B兩點,且|AB|=4,求l的傾斜角.2cos ,sinxtyt6解析解析(1)把代入y2=4x,得sin2-4cos =0.(4分)(2