202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十五章坐標(biāo)系與參數(shù)方程課件文

1、第十五章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考文數(shù)高考文數(shù) (課標(biāo)專用)考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程五年高考A A組組 統(tǒng)一命題統(tǒng)一命題課標(biāo)卷題組課標(biāo)卷題組1.(2019課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),點(diǎn)M(0,0)(00)在曲線C:=4sin 上,直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.(1)當(dāng)0=時(shí),求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí),求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.3解析解析本題主要考查了極坐標(biāo)的概念和求極坐標(biāo)方程的基本方法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法,主要體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)因?yàn)镸(0,0)在C上,

2、當(dāng)0=時(shí),0=4sin=2.由已知得|OP|=|OA|cos=2.設(shè)Q(,)為l上除P的任意一點(diǎn).在RtOPQ中,cos=|OP|=2.經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P在曲線cos=2上.所以,l的極坐標(biāo)方程為cos=2.(2)設(shè)P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因?yàn)镻在線段OM上,且APOM,故的取值范圍是.所以,P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為=4cos ,.333332,333,4 2 ,4 2 思路分析思路分析 (1)由極坐標(biāo)的定義,通過解直角三角形建立l上動(dòng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo),的等式求解;(2)在RtOAP中,解三角形求點(diǎn)P的軌跡方程,利用點(diǎn)P在線段OM上確定的取值范圍.易

3、錯(cuò)警示易錯(cuò)警示 忽視了點(diǎn)P在線段OM上的條件,沒有限制的取值范圍而導(dǎo)致錯(cuò)解.2.(2019課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程如圖,在極坐標(biāo)系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,),弧,所在圓的圓心分別是(1,0),(1,),曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧.(1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標(biāo)方程;(2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點(diǎn)P在M上,且|OP|=,求P的極坐標(biāo). 2,432,4ABBCCD1,2ABBCCD3解析解析本題考查極坐標(biāo)的概念,求極坐標(biāo)方程等知識(shí)點(diǎn),通過極坐標(biāo)的應(yīng)用考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,以求點(diǎn)的極坐標(biāo)為背景考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)由題

4、設(shè)可得,弧,所在圓的極坐標(biāo)方程分別為=2cos ,=2sin ,=-2cos .所以M1的極坐標(biāo)方程為=2cos ,M2的極坐標(biāo)方程為=2sin ,M3的極坐標(biāo)方程為=-2cos .(2)設(shè)P(,),由題設(shè)及(1)知若0,則2cos =,解得=;若,則2sin =,解得=或=;若,則-2cos =,解得=.綜上,P的極坐標(biāo)為或或或.ABBCCD04344344364343323343563,63,323,353,63.(2018課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐

5、標(biāo)方程為2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程.解析解析(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或

6、k=0.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=-時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=時(shí),l2與C2沒有公共點(diǎn).綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2.2|2|1kk 43432|2|1kk434343方法技巧方法技巧極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化技巧:(1)巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘或同時(shí)平方的技巧,將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有cos ,sin ,2的形式,然后利用公式代入化簡得到直角坐標(biāo)方程.(2)巧借兩角和、差公式轉(zhuǎn)化成sin()或cos()

7、的結(jié)構(gòu)形式,進(jìn)而利用互化公式得到直角坐標(biāo)方程.(3)將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為cos ,將y轉(zhuǎn)化為sin ,即可得到其極坐標(biāo)方程.4.(2017課標(biāo)全國,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.2,3解析解析(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(,)(0),M的極坐標(biāo)為(1,)(10).由題設(shè)知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程為

8、=4cos (0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面積S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.當(dāng)=-時(shí),S取得最大值2+.所以O(shè)AB面積的最大值為2+.4cos12sin33sin 232312335.(2017課標(biāo)全國,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:(cos

9、+sin )-=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.2,xtykt2,xmmyk 2解析解析(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2).設(shè)P(x,y),由題設(shè)得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2-sin2)=4(00).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=4cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.cos ,1

10、sinxatyat 解析解析(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.(2分)將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2sin +1-a2=0.(4分)(2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組(6分)若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分)由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上.所以a=1.(10分)222 sin10,4cos .a 易錯(cuò)警示易

11、錯(cuò)警示 對(duì)“互化”過程不熟悉,對(duì)參數(shù)和極坐標(biāo)的幾何意義理解不透徹是失分的主要原因.考點(diǎn)二參數(shù)方程考點(diǎn)二參數(shù)方程1.(2019課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為2cos +sin +11=0.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.2221,141txttyt3解析解析本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,通過整體運(yùn)算消參數(shù)和利用三角函數(shù)求最值,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化的思想方法,核心素養(yǎng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算

12、.(1)因?yàn)?11,且x2+=+=1,所以C的直角坐標(biāo)方程為x2+=1(x-1).l的直角坐標(biāo)方程為2x+y+11=0.(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(為參數(shù),-).C上的點(diǎn)到l的距離為=.當(dāng)=-時(shí),4cos+11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為.注:因?yàn)樵诮滩闹?參數(shù)方程與普通方程對(duì)應(yīng),極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng),所以本題中的“求C和l的直角坐標(biāo)方程”更改為“求C的普通方程和l的直角坐標(biāo)方程”更合適.2211tt22y22211tt2224(1)tt24y3cos ,2sinxy|2cos2 3sin11|74cos11372337思路分析思路分析 (1)觀察、分析參數(shù)方程的特

13、征,應(yīng)通過平方運(yùn)算消去參數(shù)t;直線l的極坐標(biāo)方程只需直接利用互化公式即可求解;(2)由點(diǎn)到直線的距離公式,利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.2.(2018課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.2cos ,4sinxy1cos ,2sinxtyt 解析解析(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為+=1.當(dāng)cos 0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為y=tan x+2-tan ,當(dāng)cos =0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為x=1.(2

14、)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi),所以有兩個(gè)解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直線l的斜率k=tan =-2.注:因?yàn)樵诮滩闹?參數(shù)方程與普通方程對(duì)應(yīng),極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng),所以本題中的“直角坐標(biāo)方程”更改為“普通方程”更合適.24x216y24(2cossin )1 3cos方法總結(jié)方法總結(jié)以角為參數(shù)的參數(shù)方程,一般利用三角函數(shù)的平方關(guān)系sin2+cos2=1化為普通方程;而弦的中點(diǎn)問題常用根與

15、系數(shù)的關(guān)系或“點(diǎn)差法”進(jìn)行整體運(yùn)算求解.3.(2018課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過點(diǎn)(0,-)且傾斜角為的直線l與O交于A,B兩點(diǎn).(1)求的取值范圍;(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.cos ,sinxy2解析解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系.(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.當(dāng)=時(shí),l與O交于兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),記tan =k,則l的方程為y=kx-.l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)1,解得k1,即或.綜上,的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,222221

16、k,4 2 3,243,44cos ,2sinxtyt 3,44t為參數(shù)則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsin +1=0.于是tA+tB=2sin ,tP=sin .又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是.2ABtt222cos ,2sin ,PPxtyt 2sin2 ,222cos222xy 3,44為參數(shù)思路分析思路分析(1)將O的參數(shù)方程化為普通方程分直線斜率存在與不存在兩種情況討論由點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于斜率的不等式得出斜率的取值范圍,進(jìn)而得到傾斜角的取值范圍(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立A、B、P坐標(biāo)的關(guān)系,即可求P的軌跡方程.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示容易忽略直線斜率不存在

17、的情形,求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.解后反思解后反思將參數(shù)方程化為普通方程的方法:(1)將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?常見的消參方法有:代入消參法、加減消參法、平方消參法等,對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程,常利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式消參.(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要注意兩種方程的等價(jià)性,不要增解.4.(2017課標(biāo)全國,22,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a.3cos ,sinxy4 ,

18、1xatyt 17解析解析(1)解法一:曲線C的普通方程為+y2=1.當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0.由解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),.解法二:設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)a=-1時(shí),直線l的參數(shù)方程為將代入得=1-sin ,29x22430,19xyxy3,0 xy21,2524.25xy 21 24,25 2514 ,1.xtyt 3cos ,sinxy14 ,1,xtyt 3cos14 即3cos +4sin =3,3+8sin cos =3,即2sin=0,由此可得sin=0或tan=,所以或故可得交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)或.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-

19、4=0,故C上的點(diǎn)(3cos ,sin )到l的距離為d=.當(dāng)a-4時(shí),d的最大值為,由題設(shè)得=,所以a=8;當(dāng)a-4時(shí),d的最大值為,212sin22224cos3sin222243cos1,sin07cos,2524sin,25 21 24,25 25|3cos4sin4|17a917a917a17117a 由題設(shè)得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.117a 175.(2015課標(biāo),23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t0),其中0.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=2sin ,C3:=2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(

20、2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.cos ,sinxtyt3解析解析(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.3222220,2 30,xyyxyx0,0 xy3,23.2xy3 3,22(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為=(R,0),其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ,),B的極坐標(biāo)為(2cos ,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4.當(dāng)=時(shí),|AB|取得最大值,最大值為4.33sin356思路分析思路分析 (1)將曲線C2與C3的極坐標(biāo)方

21、程兩邊同乘,即可化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立即可求出交點(diǎn)的坐標(biāo);(2)將C1的參數(shù)方程化為普通方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,從而得出|AB|的表達(dá)式,然后求其最值即可.B B組組 自主命題自主命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程1.(2015廣東,14,5分)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C1的極坐標(biāo)方程為(cos +sin )=-2,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 .2,2 2xtyt 答案答案(2,-4)解析解析曲線C1:cos +sin =-2的直角坐標(biāo)

22、方程為x+y=-2,曲線C2:的普通方程為y2=8x,由解得則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,-4).2,2 2xtyt 22,8xyyx 2,4,xy 評(píng)析評(píng)析本題考查直線的極坐標(biāo)方程向直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,及拋物線的參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化,考查基本運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化能力,屬中檔難度題.2.(2019江蘇,21B,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A,B,直線l的方程為sin=3.(1)求A,B兩點(diǎn)間的距離;(2)求點(diǎn)B到直線l的距離.3,42,24解析解析本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)極點(diǎn)為O.在OAB中,A,B,由余弦定理,得AB=

23、.(2)因?yàn)橹本€l的方程為sin=3,則直線l過點(diǎn),傾斜角為.又B,所以點(diǎn)B到直線l的距離為(3-)sin=2.3,42,2223( 2)2 32cos24 543 2,2342,2223423.(2018江蘇,21C,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為sin=2,曲線C的方程為=4cos ,求直線l被曲線C截得的弦長.6解析解析本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為=4cos ,所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓,因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為sin=2,所以直線l過點(diǎn)(4,0),傾斜角為,設(shè)A(4,0),則A為直線

24、l與圓C的一個(gè)交點(diǎn).設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B,則OAB=.666連接OB,因?yàn)镺A為直徑,所以O(shè)BA=,所以AB=4cos=2.因此,直線l被曲線C截得的弦長為2.2633一題多解一題多解把直線和曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程得到l:x-y-4=0,C:x2+y2-4x=0,則C:(x-2)2+y2=4,半徑R=2,圓心C(2,0)到l的距離d=1,因此,直線l被曲線C截得的弦長為2=2.32222Rd3考點(diǎn)二參數(shù)方程考點(diǎn)二參數(shù)方程(2016江蘇,21C,10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的

25、長.11,232xtyt cos ,2sinxy解析解析由題意知橢圓C的普通方程為x2+=1.將直線l的參數(shù)方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.24y11,232xtyt 24y2112t2324t167167評(píng)析評(píng)析本小題主要考查直線和橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化以及直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.C C組組 教師專用題組教師專用題組考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程1.(2015湖南,12,5分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為=2s

26、in ,則曲線C的直角坐標(biāo)方程為 .答案答案 x2+y2-2y=0解析解析由=2sin ,得2=2sin ,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0.2.(2015課標(biāo),23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為=(R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求C2MN的面積.4解析解析(1)因?yàn)閤=cos ,y=sin ,所以C1的極坐標(biāo)方程為cos =-2,C2的極坐標(biāo)方程為2-2cos -4sin +4=0.(5分)(2)將=代

27、入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=.故1-2=,即|MN|=.由于C2的半徑為1,所以C2MN的面積為.(10分)422222123.(2013課標(biāo),23,10分)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,02).45cos ,55sinxtyt解析解析(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.將代入x2+y2-8x-10y+16=0得

28、2-8cos -10sin +16=0.所以C1的極坐標(biāo)方程為2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0.由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,.45cos ,55sinxtytcos ,sinxy2222810160,20,xyxyxyy1,1xy0,2.xy2,42,2思路分析思路分析 (1)利用sin2t+cos2t=1即可得到圓C1的普通方程;再利用互化公式得到C1的極坐標(biāo)方程;(2)先求出C2的直角坐標(biāo)方程,再將兩圓方程聯(lián)立求出其交點(diǎn)坐標(biāo),最后利用互化公式求出交點(diǎn)的極坐標(biāo).4.(2011課標(biāo),23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1

29、的參數(shù)方程為(為參數(shù)),M是C1上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)滿足=2,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程;(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線=與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|.2cos ,22sinxyOPOM3解析解析(1)設(shè)P(x,y),則由條件知M.由于M點(diǎn)在C1上,所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為=4sin ,曲線C2的極坐標(biāo)方程為=8sin .射線=與C1的交點(diǎn)A的極徑為1=4sin,射線=與C2的交點(diǎn)B的極徑為2=8sin.所以|AB|=|2-1|=2.,2 2x y2cos ,222sin .2xy

30、4cos ,44sin .xy4cos ,44sinxy33333評(píng)析評(píng)析本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程及極徑的幾何意義,屬中等難度題.考點(diǎn)二參數(shù)方程考點(diǎn)二參數(shù)方程1.(2016課標(biāo)全國,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=,求l的斜率.cos ,sinxtyt10解析解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圓C的極坐標(biāo)方程為2+12cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方

31、程為=(R).設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為1,2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得2+12cos +11=0.(6分)于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =.所以l的斜率為或-.(10分)21212()4 2144cos44 1038153153153方法總結(jié)方法總結(jié) 利用整體運(yùn)算的技巧可以大大提高解題效率.思路分析思路分析 (1)利用互化公式求出C的極坐標(biāo)方程;(2)先把直線的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程,代入圓的極坐標(biāo)方程,建立關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式即可解決問題.2.(2016課標(biāo)全國,23,10

32、分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin=2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).3cos ,sinxy42解析解析(1)C1的普通方程為+y2=1.C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.(5分)(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos ,sin ).因?yàn)镃2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,d()=.(8分)當(dāng)且僅當(dāng)=2k+(kZ)時(shí),d()取得最小值,最小值為,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.

33、(10分)23x3|3cossin4|22 sin23623 1,2 2解析解析(1)C1的普通方程為+y2=1.C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.(5分)(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos ,sin ).因?yàn)镃2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,d()=.(8分)當(dāng)且僅當(dāng)=2k+(kZ)時(shí),d()取得最小值,最小值為,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.(10分)23x3|3cossin4|22 sin23623 1,2 2思路分析思路分析 求圓上一動(dòng)點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的最小值時(shí),利用圓的參數(shù)方程化為三角函數(shù)的最值問題,能極大提高解題效率.3.(2015陜西,23,10

34、分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,C的極坐標(biāo)方程為=2sin .(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程;(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí),求P的直角坐標(biāo).13,232xtyt3解析解析(1)由=2sin ,得2=2sin ,從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)設(shè)P,又C(0,),則|PC|=,故當(dāng)t=0時(shí),|PC|取得最小值,此時(shí),P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0).3333133,22tt322133322tt212t 4.(2014課標(biāo),23,10分)已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)).(1)寫出曲

35、線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.24x29y2,22xtyt解析解析(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ,3sin )到l的距離d=|4cos +3sin -6|,則|PA|=|5sin(+)-6|,其中為銳角,且tan =.當(dāng)sin(+)=-1時(shí),|PA|取得最大值,最大值為.當(dāng)sin(+)=1時(shí),|PA|取得最小值,最小值為.2cos ,3sinxy55sin30d2 554322 552 555.(2014課標(biāo),23,10分)

36、在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,.(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).0,23解析解析(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0t).(2)設(shè)D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐標(biāo)為,即.1cos ,sinxtyt 331cos,sin3333,226

37、.(2013課標(biāo),23,10分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=與t=2(02),M為PQ的中點(diǎn).(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).2cos ,2sinxtyt解析解析(1)依題意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù),02).(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=(02).當(dāng)=時(shí),d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).coscos2 ,sinsin2xy22xy22cos思路分析思路分析 (1)根據(jù)題意寫出

38、P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo),從而得出M的軌跡的參數(shù)方程;(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式得到M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離,再驗(yàn)證當(dāng)=時(shí),d=0,即可得M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).7.(2012課標(biāo)全國,23,10分)已知曲線C1的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是=2.正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上,且A,B,C,D依逆時(shí)針次序排列,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為.(1)求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐標(biāo);(2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn),求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.2cos ,3sinxy2,3解析解析(1)由已知可得A,B

39、2cos+,2sin+ ,C2cos+,2sin+ ,D2cos+,2sin+ ,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)設(shè)P(2cos ,3sin ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,則S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2.因?yàn)?sin21,所以S的取值范圍是32,52.2cos,2sin333232333323323333評(píng)析評(píng)析本題考查了曲線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程.考查了函數(shù)的思想方法.正確“互化”是解題的關(guān)鍵.難點(diǎn)是建立函數(shù)S=f().考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程考點(diǎn)一極坐標(biāo)方程三年模擬A A組組 20172019 20172019

40、年高考模擬年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2018河南安陽二模,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x+y=5,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為=4sin .(1)求直線l的極坐標(biāo)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)射線OP:=與圓C的交點(diǎn)為O,A,與直線l的交點(diǎn)為B,求線段AB的長.336解析解析(1)因?yàn)閤=cos ,y=sin ,直線l:x+y=5,所以直線l的極坐標(biāo)方程為cos +sin =5,(2分)化簡得2sin=5.(3分)由=4sin ,得2=4sin ,所以x2+y2=4y,即x2+y2-4y=0,故圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2

41、-4y=0.(5分)(2)由題意得A=4sin=2,(7分)B=5,(9分)所以|AB|=|A-B|=3.(10分)33336365 32sin662.(2019湖北黃岡模擬二,22)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,曲線C1的極坐標(biāo)方程為=4cos ,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù),02,|PQ|的最小值即為圓心(-2,1)到直線3x-4y-10=0的距離減去圓的半徑,(8分)|PQ|的最小值為4-2=2.(10分)22cos ,12sinxy 22| 2 34 1 10|3( 4) 205思路分析思路分析 (1)由消去能求出曲線C的普通方程,由直

42、線的極坐標(biāo)方程能求出直線l的直角坐標(biāo)方程.(2)曲線C是圓心為(-2,1),半徑為2的圓,l:3x-4y-10=0,圓心到直線l的距離為4,判斷出直線與圓相離,所以|PQ|的最小值即為圓心(-2,1)到直線3x-4y-10=0的距離減去圓的半徑,由此求出結(jié)果.22cos ,12sinxy 2.(2018廣東肇慶二模,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是+=4cos +4sin .(1)當(dāng)=時(shí),直接寫出C1的普通方程和極坐標(biāo)方程,直接寫出C2的直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)P,且曲線C1和C2交于A,

43、B兩點(diǎn),求|PA|PB|的值.cos ,1sinxtyt 721,2解析解析(1)曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0),消去參數(shù)t,得C1的普通方程為xsin -ycos +cos =0.(1分)=,C1的普通方程為x=0,(2分)曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos =0.(3分)曲線C2的極坐標(biāo)方程是+=4cos +4sin ,即2+7=4cos +4sin ,C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+7=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2=1.(5分)(2)將(t為參數(shù))代入(x-2)2+(y-2)2=1中,化簡得t2-2(sin +2cos )t+4=0,(7分)設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2

44、,則t1t2=4,(8分)|PA|PB|=|t1t2|=4.(10分)cos ,1sinxtyt 27cos ,1sinxtyt 技巧點(diǎn)撥技巧點(diǎn)撥 對(duì)于距離的乘積問題,注意運(yùn)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系解決.3.(2018廣東茂名二模,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為=,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),00),直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)A的極坐標(biāo);(2)若=3,求實(shí)數(shù)m的值.1,2xtyt PNPM解析解析(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=mx(m0),直線l的普通方程

45、為y=x-1,直線l與y軸交于A(0,-1),A的極坐標(biāo)為.(5分)(2)直線l的參數(shù)方程可化為(t為參數(shù)),代入拋物線的方程得t2-(4+m)t+8+2m=0,設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=4+m,t1t2=8+2m,=3,t1=3t2,m=或m=-4(舍),m的值為.(10分)31,221,2222xtyt 2222PNPM22244 22 ,382 ,tmtm4343B B組組 2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組(時(shí)間:50分鐘分值:80分)解答題(共80分)1.(2018河南洛陽二模,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),

46、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為sin =4,曲線C2的極坐標(biāo)方程為2-2cos -4sin +1=0,曲線C3的極坐標(biāo)方程為=(R).(1)求C1與C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若C2與C1交于P點(diǎn),C2與C3交于A,B兩點(diǎn),求PAB的面積.4解析解析(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為sin =4,曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y=4,(2分)曲線C2的極坐標(biāo)方程為2-2cos -4sin +1=0,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-4y+1=0,(3分)即(x-1)2+(y-2)2=4.(4分)(2)曲線C3的極坐標(biāo)方程為=(R),曲線C3的直角坐標(biāo)方程為y=x,(5分)

47、聯(lián)立C1與C2的方程得得x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4),(6分)點(diǎn)P到C3的距離d=.(7分)設(shè)A(1,1),B(2,2).4224,(1)(2)4,yxy|14|23 22將=代入C2,得2-3+1=0,(8分)則1+2=3,12=1,(9分)|AB|=|1-2|=,SPAB=|AB|d=.(10分)42221212()4 141212143 223 72思路分析思路分析 第(2)問由曲線C3的極坐標(biāo)方程求出曲線C3的直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立C1與C2的方程得x2-2x+1=0,解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4),從而求得點(diǎn)P到C3的距離d=.設(shè)A(1,1),B(2,2).

48、將=代入C2,得2-3+1=0,求出|AB|,由此能求出PAB的面積.3 22422.(2018湖南岳陽二模,22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是=2cos ,若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,且取相同的單位長度建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程;(2)設(shè)點(diǎn)P(m,0),若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且|PA|PB|=1,求非負(fù)實(shí)數(shù)m的值.3,212xtmyt解析解析(1)由x=cos ,y=sin ,x2+y2=2,曲線C的極坐標(biāo)方程是=2cos ,即2=2cos ,(2分)得x2+y2=2x,即曲線C的直角坐標(biāo)方

49、程為(x-1)2+y2=1,(3分)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),可得其普通方程為x-y-m=0.(5分)(2)將(t為參數(shù))代入圓(x-1)2+y2=1,可得t2+(m-1)t+m2-2m=0,(*)(6分)由=3(m-1)2-4(m2-2m)0,可得-1m3,(7分)由m為非負(fù)數(shù),可得0m3.設(shè)t1,t2是方程(*)的兩根,則t1t2=m2-2m,(8分)由|PA|PB|=1,可得|m2-2m|=1,3,212xtmyt33,212xtmyt3解得m=1或1,(9分)因?yàn)?m3,所以m=1或1+.(10分)223.(2019河南六市第二次聯(lián)考,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C的方程為y2=4x.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=4,求l的傾斜角.2cos ,sinxtyt6解析解析(1)把代入y2=4x,得sin2-4cos =0.(4分)(2