獎學金評定方案-數(shù)學建模競賽論文

1、摘要本文根據(jù)學生本年度各門課程成績的具體情況,綜合考慮各門課程的不同性質對最終結果的影響程度,利用隸屬函數(shù)、加權平均值、熵權法的有關知識,確定了三種獎學金的評定模型。首先利用模糊數(shù)學的方法,對考查課的等級進行百分制的轉化。設四個等級(A ,B ,C ,D 的隸屬度依次對應為4,3,2,1。采用偏大型柯西分布和對數(shù)函數(shù)構造了一個隸屬函數(shù):+-+=-43,ln 31,(1(12x b x a x x x f 從而簡化模型的建立,制定綜合評定的統(tǒng)一標準。模型一通過比較不同課程的學分和性質差異,進行加權平均綜合評定;模型公式: (j 1n 1*nijj i jj AB X B= (符號說明見【四、變量

2、說明】,下同 學分成績在學生總體中的百分等級分布位臵;模型公式: (1n 1*1050nijj j i jj MB X B=+ 模型公式: (1521j 116i 151*jj ij ijjj jjjj CA AB X YC =+ 數(shù)據(jù)三比較客觀、全面,綜合考慮了成績的具體情況和課程性質,但數(shù)據(jù)處理相對復雜。關鍵字: 隸屬函數(shù) 標準分數(shù) 熵權法 加權平均目錄一、問題重述 (3二、問題分析 (3三、模型假設 (3四、變量說明 (3五、模型建立 (4(模型一:平均學分績模型 (5(模型二:標準分數(shù)平均學分評定模型 (5(模型三:加入課程難易程度系數(shù)的學分權重評定法 (6六、模型求解 (8(一(模型

3、一 (8(二(模型二 (9(三(模型三 (9七、模型評價與推廣 (9八、參考文獻 (10九、附錄 (10一、問題重述獎學金評定問題幾乎學校的每個院系每年都會評定學生獎學金。設立獎學金的目的是鼓勵學生學習期間德智體全面發(fā)展。其中,年度的學習成績是獎學金評定的主要依據(jù)之一,因此,如何根據(jù)學生本年度的各門課成績來合理衡量學生很有必要。附件1是該學院某年級105名學生全年的學習情況。請根據(jù)附件信息,綜合考慮各門課程,至少用3到4種方法將成績最優(yōu)秀的10%的同學評選出來,作為進一步獎學金評定的候選人,并比較這些方法的優(yōu)劣。二、問題分析考慮到要減小將等級轉化為百分制分數(shù)取值的隨意性,故采用偏大型柯西分布和

4、對數(shù)函數(shù)構造一個隸屬函數(shù),將考查課的等級轉化為百分制分數(shù)與考試課的成績統(tǒng)一起來,避免由主觀因素引起的誤差。然后根據(jù)Excel附件中的相關數(shù)據(jù),選擇幾種合理的方法,計算出學生的綜合成績(包括考試課和考查課兩部分,并給出具體排名。然后對比幾種模型的優(yōu)劣,找到一種科學合理的評定方法。三、模型假設獎學金的評定只考慮成績方面的因素;考試課成績每科均以百分制計算,考查課等級轉化成百分制計算;每個影響獎學金評定因素的數(shù)據(jù)處理都是相互獨立的;有不及格科目的學生仍然有資格參加獎學金的評選;四、變量說明 五、模型建立前提模型使用隸屬函數(shù)1對考試成績等級進行百分制轉換:如果我們將考查課中的不同等級分別對應到某一個自

5、己規(guī)定的分數(shù),那么這樣得到的結果隨意性很大,完全受我們主觀因素的影響,也沒有依據(jù),不具科學性。隸屬函數(shù)是對模糊概念的定量描述,它的確定過程本質上說應該是客觀的。所以在我們將考查課的等級制轉化為百分制的過程中運用隸屬函數(shù)具有一定科學性。利用模糊數(shù)學的方法,設四個等級(A ,B ,C ,D 依次對應為4,3,2,1。采用偏大型柯西分布和對數(shù)函數(shù)構造了一個隸屬函數(shù)+-+=-43,ln 31,(1(12x b x a x x x f 其中b a 、為待定參數(shù)。當?shù)燃墳椤癆-優(yōu)秀”時,則隸屬度為1,即14(=f ; 當?shù)燃墳椤癇 -良好”時,則隸屬度為0.8,即8.03(=f ; 當?shù)燃墳椤癉-不及格”

6、時,則隸屬度為0.01,即01.01(=f 。 用MATLAB 編程解得: (程序見附錄 +-+=-43,0362.0ln 9652.031,8942.0(1086.11(12x x x x x f用MATLAB 繪出的f(x圖像如圖所示:1數(shù)學建模高校獎學金評定論文.doc (模型一:平均學分績模型計算平均學分績方法2在大多數(shù)學校被采用,用它來計算學生的智育得分,考察學生的全年的學習情況,并進一步得到學生的全年綜合測評得分。當總分相同時,學分少的課程分數(shù)高,而學分高的課程分數(shù)低的學生,綜合得分就沒有學分少的課程分數(shù)低,學分高的課程分數(shù)高的學生高。這種方法能夠充分體現(xiàn)學分高的課程的重要性。模型

7、公式:*=課程原始成績課程學分綜合成績課程學分(j 1n 1*nijj i jj AB X B=此處i X 即為求得的綜合成績。(模型二:標準分數(shù)平均學分評定模型標準分數(shù)平均學分3就是指所有的課程標準分數(shù)乘以相應課程學分后求和所得的總分數(shù),再除以所有課程的總學分所得的分數(shù),是學生的學分成績百分等級分數(shù)平均數(shù),能準確反映學生平均學分成績在學生總體中的百分等級分布位臵。由于計算出標準分數(shù)存在多位小數(shù)和負值的缺陷,不符合人們表示成績分數(shù)的習慣,為避免此缺陷,故將標準分數(shù)轉換到一個新的量質上來表示分數(shù),轉換公式4為: 10*Z +50i X = 其中Z 為求得的標準分數(shù)平均學分:2高校綜合獎學金評定的

8、優(yōu)化模型_周鋒J3大學生學習成績排序的統(tǒng)計方法評析_劉宗泉J 4大學生學習成績排序的統(tǒng)計方法評析_劉宗泉J(n1n 1*Z=ijj j jj MB B=所以最終的模型公式: (1n 1*1050ni jjj i jj MBX B=+ 在這里,要求標準分數(shù)平均學分,我們需先求得課程標準分數(shù),即課程的原始百分制分數(shù)得分,與該門課程總體原始百分制分數(shù)得分的平均數(shù)之差,再除以標準差所得的分數(shù)。它是學生某課程的原始得分在學生總體中的百分等級分數(shù)。 ij j ij jA Y M S -=其中,j S =此處:i X 即為求得的綜合評定標準分數(shù)平均學分。(模型三:加入課程難易程度系數(shù)的學分權重評定法:(1課

9、程難度系數(shù)向量及難度系數(shù)因子的確定5:有的課程由于難度系數(shù)較大,因此課程的整體分數(shù)普遍偏低。為了刻畫課程的不同難易程度,提高課程分數(shù)之間的可比性,引入課程難度系數(shù)。假設n 門課程的考試平均分分別為1Y ,2Y ,n Y ,令Y =1Y +2Y +n Y 。根據(jù)一般常識,考試的平均成績越低,說明該課程的難度越高,由此設臵課程難度系數(shù)向量為: 12,n Y Y Y C Y Y Y =, 其中,課程難度系數(shù)因子j j Y C Y =。(2利用熵權法6根據(jù)學生考試成績的不同情況確定不同學分的課程在評價模型中的權重:熵權法是一種客觀賦權方法,根據(jù)各指標的變異程度,利用信息熵計算出各學分的熵權,再通過熵權

10、對各課程的權重進行修正,從而得出較為客觀的課程權重。設有m 個待評方案,n 項評價指標,形成原始指標數(shù)據(jù)矩陣(i j m n X x =,對于某項指標j x ,指標值ij X 的距離越大,則該指標在綜合評價中所起的作用。在信息論中信息熵1ln mi ij ij j e k P p =-表示系統(tǒng)的有序程度,一個系統(tǒng)的有序程度越高,則信息熵越大,反之,一個系統(tǒng)的無序程度越高,則信息熵約需奧。所以,可以根據(jù)各項指標的指標值的差異程度,利用信息熵的這個工具計算出各指標的權重。 1. 數(shù)據(jù)處理5高校獎學金評定的數(shù)學建模方法.pdf6熵值法和層次分析法在權重確定中的應用對該矩陣進行歸一化處理:X ij =

11、(X ij -minX ij /(X ij -minX ij 得到一個新的矩陣。2.計算第i 個因素下第j 個評價值的比重ij Pn1ijij ijj x P x=3. 計算第j 項的熵值j enj 1j ln ,1,01ln nij ij j e k P p e =-若取k=則4.計算第j 項的差異系數(shù)j g對于給定的j e 越大,因素評價值的差異性越小,則因素在綜合評價中所起的作用越小。定義差異系數(shù)j 1j g e =-,則當因素j g 越大時,因素越重要。 5.定義權數(shù)jn1j jj g w g=,則j w 就是熵權法確確定的權重。因此,m 個待評學生的課程成績,所有課程的課程學分,構成

12、原始數(shù)據(jù)矩陣,按照上 合成績計算模型:jj ij*A *ijjjC X C =由上表可知:最后六門任選課和人文課的比重遠大于前面基礎課、專業(yè)課和必選課的比重,這是不符合獎學金評定原則的。對于課程性質來說,基礎課、專業(yè)課和必選課的比重應該大于任選課和人文課的比重。出現(xiàn)這種情況的主要原因是有的學生沒有學習任選課和人文課,在這種模型中,沒有學習的課仍然占有權重,但是考試成績是按照零分計算的,導致學習了任選課和人文課的學生在評定過程中具有更大的優(yōu)勢,這不符合獎學金評定的一般規(guī)律和評定的公平的原則,因此我們對第三種模型進行了改進。優(yōu)化過程:對前15門必選課仍然采用加入課程難度因子和課程學分權重因子的加權

13、模型,然后按 這個結果更合理地根據(jù)學生成績的具體情況確定了前15門不同學分的課程在評定過程中的比重。對于后面的六門非必選課程,采用平均學分成績的評定模型進行評定:不同課程的學分是“原則上按一個學期(以16 周計內(nèi)每周上課幾學時即記幾學分”進行計算的,所以學分的多少,反映了學生在不同課程上的學習數(shù)量(我們視一個學分所代表的學習數(shù)量是等同的。平均學分成績就是指學生在一定時間內(nèi)所修課程學分總數(shù)中,每個學分的百分制分數(shù)平均成績。根據(jù)隸屬函數(shù)把等級進行百分制轉化的結果,給出下列計算平均學分評估成績的方法:*=考試分數(shù)學分平均學分評估成績考試科目數(shù)然后把后6門課程的平均學分成績以附加值的形式加在前15門課

14、程的評定結果后,得到模型三的綜合評定標準:(1521j 116i 151*jj ij ijjj jjjj CA AB X YC =+ ( 其中,是六門任選課中每位學生實際學習的課程數(shù)目。六、模型求解(一(模型一:運用MATLAB 軟件進行編程計算出獲獎名單及其綜合成績,如下 (二(模型二:運用MATLAB軟件進行編程計算出獲獎名單及其綜合成績,如下 (三(模型三:運用MATLAB軟件進行編程計算出獲獎名單及其綜合評定分數(shù), 七、模型評價與推廣在將考查課的等級轉化為百分制和將獲獎情況的等級轉化為百分制的過程中,我們使用了隸屬函數(shù)。隸屬函數(shù)在一定程度上減小了主觀因素的影響,更具科學性。(模型一:通

15、過計算平均學分績的方法來評定獎學金,計算方法雖然比較簡單,相較于算術平均分數(shù)方法而言,平均學分績的方法考慮了不同課程學分不同的因素,因而更加能提現(xiàn)學校和學院的培養(yǎng)方向,有利于選出適應該培養(yǎng)理念的學生,因此該模型更加適用于大學中獎學金的評定問題。(模型二:求標準分數(shù)平均學分是統(tǒng)計大學生學習成績的科學方法之一。首先,學生成績是呈正態(tài)分布的,而正態(tài)分布曲線概率統(tǒng)計是基于標準分數(shù)測定而來,所以大學生學習成績的標準分數(shù),就是其成績在總體成績中概率分布的線性變換形式。對于學習數(shù)量相當(或周學時一樣的不同課程標準分數(shù)的單位是等價的,課程標準分數(shù)是課程總體中的百分等級分數(shù),若課程學習數(shù)量相當,則其標準分數(shù)的單

16、位是等價的,可以直接進行加減乘除運算,這就很好地體現(xiàn)并解決了在學習數(shù)量相當?shù)那闆r下,不同課程學習質量不同的問題,但它不能反映和解決不同課程學習數(shù)量有差異的問題,所以,求課程標準分數(shù)只是統(tǒng)計學習數(shù)量相當?shù)牟煌n程成績的科學方法。但接下來求標準分數(shù)平均學分的方法就很好地解決了這個問題。因此,這是一種很科學合理的獎學金評定方法。(模型三:評價方案綜合考慮了考試課程的難易程度和考試成績的總體情況確定的不同課程的權重。對于難度系數(shù)較大的課程,課程的整體分數(shù)普遍偏低。為了刻畫課程的不同難易程度,提高課程分數(shù)之間的可比性,引入課程難度系數(shù)。根據(jù)一般常識,考試的平均成績越低,說明該課程的難度越高,從而確定了課

17、程難度系數(shù)因子對評定結果的影響。其次,模型三中使用了熵權法。熵權法是一種客觀賦權方法,根據(jù)各門課程考試成績的具體情況,計算出各不同學分課程的熵權,再通過熵權對各課程的權重進行修正,確定了利用熵權法根據(jù)學生考試成績的不同情況確定不同學分的課程在評價模型中的權重,從而得出較為客觀的課程權重。本文通過對高等學校綜合獎學金評定方法的探索,在對各指標權重確定的過程中,得到了較為科學的方法,適用于很多其它行業(yè)的借鑒。如圖書館服務質量的評比在對各指標的權重的考慮時、房屋安全系數(shù)中對各指標權重系數(shù)的確立等。八、參考文獻【1】黃敏兒,朱成,李晨光.高校獎學金評定的數(shù)學建模方法D.蘇北數(shù)模聯(lián)賽.2011 【2】周

18、鋒,劉自山,劉知發(fā). 高校綜合獎學金評定的優(yōu)化模型J.四川理工學院學報.2011,24(6【3】陸添超,康凱.熵值法和層次分析法在權重確定中的應用. J電腦編程技巧與維護.2009,22【4】數(shù)學建模高校獎學金評定論文.doc【5】大學生學習成績排序的統(tǒng)計方法評析_劉宗泉J.教育與職業(yè).2011,26. 九、附錄部分MATLAB模型求解代碼:(一隸屬函數(shù)求解代碼syms a b; a, b = solve('a*log(4+b=1', 'a*log(3+b=0.8', 'a', 'b' a = double(a b = doubl

19、e(b x = 3:0.01:4; y = a * log(x + b; plot(x, y; hold on; syms a b; a, b = solve('(1+a*(3-b(-2(-1=0.8', '(1+a*(1-b(-2(-1=0.01', 'a', 'b' a = double(a b = double(b x = 1:0.01:3; y = (ones(size(x + a(1 .* (x - b(1 .* ones(size(x . (-2 . (-1; (ones(size(x + a(1 .* (2 - b(

20、1 .* ones(size(x . (-2 . (-1 plot(x, y; hold on; xlabel('x' ylabel('Points' （二）模型一求解代碼 isWeight = 1; score = 1 52.45 80 100; if exist('C1', 'var' | isempty(C1 C1 = xlsread('校賽A素材.xls', 'B2:P106' end if exist('C2', 'var' | isempty(C2 C2

21、= xlsread('校賽A素材.xls ', 'Q2:V106' for i = 1 : size(C2, 1 for j = 1 : size(C2, 2 if C2(i, j = 0 C2(i, j = score(C2(i, j; end end end C = C1 C2; error = ; for i = 1 : size(C, 1 for j = 1 : size(C, 2 if C(i, j = 0 && C(i, j < 60 error = error i; break; 11 end end end end if i

22、sWeight = 1 SumScore = zeros(size(C2, 1, 1; temp = sum(C(:, 1:21 .* repmat(P(1, 1:21, size(C, 1, 1, 2; for i = 1 : size(C, 1 for j = 1 : size(C(1:21, 2 SumScore(i = SumScore(i + P(j * Step(C(i, j; end SumScore(i = temp(i / SumScore(i; end temp = sortrows(1:1:105' SumScore, -2; disp('學分加權成績排名

23、' disp(temp(1:10, :; end （三）模型二求解代碼 clc; A=xlsread('校賽A素材1.xls','C2:W106' X=zeros(1,105; B=xlsread('校賽A素材1.xls ',2,'B4:V4' Y=xlsread('校賽A素材1.xls','C107:W107' S=zeros(1,21; m=105; n=21; p=58; M=zeros(m,n; for j=1:1:n sum1=0; q1=0; for i=1:1:m if( A(

24、i-1*n+j=0 sum1=sum1+0; q1=q1+1; else sum1=sum1+(A(i-1*n+j-Y(j2; end end S(j=sqrt(sum1/(m-q1; end for j=1:1:n 12 for i=1:1:m if(A(i-1*n+j=0 M(i-1*n+j=0; else M(i-1*n+j=(A(i-1*n+j-Y(j/S(j; end end end for i=1:1:m sum2=0; for j=1:1:n sum2=sum2+M(i-1*n+j*B(j; end X(i=(sum2/p*10+50; end temp=sortrows(1:1

25、05' X',-2; disp('標準分數(shù)學分排名' disp(temp(1:10,:; （四）模型三求解代碼 if exist('C1', 'var' | isempty(C1 C1 = xlsread('校賽A素材.xls', 'B2:P106' end if exist('C2', 'var' | isempty(C2 C2 = xlsread('校賽A素材.xls', 'Q2:V106' for i = 1 : size(C2,

26、 1 for j = 1 : size(C2, 2 if C2(i, j = 0 C2(i, j = score(C2(i, j; end end end C = C1 C2; No = 1:105; end if exist('P', 'var' | isempty(P P = xlsread('校賽A素材.xls', 2, 'B4:V4' end Y = zeros(size(C, 2, 1; temp = zeros(size(C, 2, 1; for i = 1 : size(C, 2 n = 0; for j = 1 : size(C, 1