(完整word版)異面直線所成的角求法-總結(jié)加分析,推薦文檔

1、異面直線所成的角一、平移法：常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)） ：補(bǔ)形平移法： “補(bǔ)形法 ”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用 “補(bǔ)形法 ”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空間四邊形ABCD 中，AD BC 2， E，F(xiàn) 分別為 AB 、CD 的中點(diǎn)， EF3 ，求 AD 、BC 所成角的大小解：設(shè) BD 的中點(diǎn) G，連接 FG， EG。在 EFG 中EF 3FGEG1 EGF120°AD 與 BC 成 60°的角。2正ABC 的邊長為 a，S 為ABC 所在平面外的一點(diǎn)， SA

2、 SB SC a，E，F(xiàn) 分別是 SC和 AB 的中點(diǎn)求異面直線 SA 和 EF 所成角答案： 45°3 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一點(diǎn)，如圖SA SB SC，且ASB BSC CSA，M 、N 分別是 AB 和 SC 的中點(diǎn)求異面直線 SM 與 BN 所成的角的余弦值2證明： 連結(jié) CM ，設(shè) Q 為 CM 的中點(diǎn)，連結(jié) QN 則 QNSMS QNB 是 SM 與 BN 所成的角或其補(bǔ)角N連結(jié) BQ，設(shè) SCa，在 BQN 中51SM214CBN 2a NQ 24 a BQ 4aBCOSQNB BN2NQ2BQ210MA2BNNQ54如圖，在直三棱柱ABC A 1B1C1

3、 中， BCA 90°， M 、N 分別是 A 1B1 和 A 1C1 的中點(diǎn)，若 BCCACC1，求 BM 與 AN 所成的角解：連接 MN ，作 NGBM 交 BC 于 G，連接 AG，易證 GNA 就是 BM 與 AN 所成的角設(shè)：BCCACC12，則 AGAN 5 ，GNBM6 ，cos GNA 65530 。265105如圖，在正方體 ABCDA1B1C1 D1 中， E、F 分別是 BB1、CD 的中點(diǎn)求 AE 與 D1 F 所成的角。D1C1證明：取 AB 中點(diǎn) G，連結(jié) A 1，F(xiàn)G，A1B1G因?yàn)?F 是 CD 的中點(diǎn)，所以 GF AD ，又 A 1D1AD，所以

4、1D1，EGF AF故四邊形 GFD1 1 是平行四邊形，1 1。DCAA GD F設(shè) A 1G與AE相交于H，則1是AE與1所成的角。ABA HAD F從而因?yàn)?E 是 BB 1 的中點(diǎn)，所以Rt1AGABE,1GAH,1°AGA A=A HA=90 ,即直線 AE 與 D1F 所成的角為直角。D6如圖 1 28 的正方體中， E 是 A D的中點(diǎn)ECAF(1)圖中哪些棱所在的直線與直線BA成異面直線 ?(2)求直線 BA和 CC所成的角的大小；(3)求直線 AE 和 CC所成的角的正切值；(4)求直線 AE 和 BA所成的角的余弦值解：(1)BDCAB(圖 128) A平面 BC

5、，又點(diǎn) B 和直線 CC都在平面 BC內(nèi)，且 BCC, 直線 BA與 CC是異面直線同理，正方體12 條棱中的 C D、DD、 DC、 AD 、B C所在的直線都和直線BA成異面直線(2) CC BB， BA和 BB所成的銳角就是 BA和 CC所成的角 ABB=45° BA和 CC所成的角是 45°(3) AABBCC，故 AE 和 AA所成的銳角 A AE是 AE 和 CC 所成的角在 RtAAE中， tanAAE A E 1 ，所以 AE 和 CC所成角的正切值是1AA22(4)取 B C的中點(diǎn) F，連 EF、 BF，則有 EFA B AB, ABFE 是平行四邊形，從

6、而BFAE, 即 BFAE 且 BF=AE. BF 與 BA所成的銳角 A BF就是 AE 和 BA所成的角設(shè)正方體各棱長為2，連 AF，利用勾股定理求出ABF的各邊長分別為FAB22 ，AFBF5 ，由余弦定理得：55cos A BF (2 2 )2( 5)2( 5)21022255AMB(圖 129)7. 長方體 ABCD A 1B1C1 D1 中，若 AB=BC=3 ，AA 1=4，求異面直線 B1D 與 BC1 所成角的大小。解法一： 如圖，過 B1 點(diǎn)作 B1E BC1 交 CB 的延長線于 E 點(diǎn)。則DB1或其補(bǔ)角就是異面直線DB1 與BC1 所成角，連結(jié)DE交AB于M，5，EDE

7、=2DM=3cos17 341arc cos 734 。DBE= DB E=170170解法二： 如圖，在平面 D1DBB1 中過B點(diǎn)作BEDB1 交1B1 的延長線于，則1就是異面直線 DB 1 與DEC BE1 所成的角，連結(jié)1，在1 1中，BCC EB C EC1 1°，15，cos 1BE=734， C1BE=arc cos 7 34 。B E=135C E=3C170170練習(xí)：8. 如圖， PA矩形 ABCD ，已知 PA=AB=8 ， BC=10，求 AD 與 PC 所成角的余切值為。9.在長方體 ABCD- A 1B1C1D1 中，若棱 B B 1=BC=1 ， AB

8、=3 ，求 D B 和 AC 所成角的余弦值.中位線平移法： 構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問題，解三角形求之。于 ，過點(diǎn)作1，則為所求的異面直線解法一：如圖連結(jié) B1 交BC10OEDBBOEDB1C0與 BC1 所成的角。連結(jié)，由已知有1，1，3 5，cosBOE= 734EBB D=34BC =5 BE=21707 34 BOE= arc cos解法二：如圖，連 DB、AC 交于 O 點(diǎn)，過 O 點(diǎn)作 OEDB1，過 E 點(diǎn)作 EFC1B，則 OEF或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過O 點(diǎn)作 OM DC，連結(jié) MF 、OF。則 OF=73 ，2co

9、s OEF=7 34 ，異面直線 B1D 與 BC1 所成的角為 arc cos 734 。170170解法三： 如圖，連結(jié) D1交DB1 于O，連結(jié)1A，則四邊形1D1 為平行四邊形。在平B1 交DABC或其補(bǔ)角就是異行四邊形 ABC 1 1 中過點(diǎn)O作EFBCAB、11于 、 ，則DOFDD CEF面直線 DB1與 BC1所成的角。在ADF中 DF=3 5 ，cos DOF= 734 ，21707 34 DOF= arc cos。課堂練習(xí)10. 在正四面體 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中點(diǎn)，求異面直線 AE 和 BD 所成角的余弦值。ADBEC補(bǔ)形平移法： 在已知圖形外補(bǔ)作一個相

10、同的幾何體，以例于找出平行線。解法一： 如圖，以四邊形ABCD 為上底補(bǔ)接一個高為4 的長方體 ABCD-A 2B2 C2D2，連結(jié)DB，則 DB DB， C BD或其補(bǔ)角就是異面直線 DB1與 BC所成的角，連 C D ，21212112則 C12 2 為Rt，cos12734，異面直線DB1與BC1 所成的角是D CCBD =170arc cos 734 。170課堂練習(xí)：11. 求異面直線 A 1C1 與 BD 1 所成的角的余弦值。在長方體 ABCD-A 1B1C1D1 的面 BC1 上補(bǔ)上一個同樣大小的長方體，將 A 1C1 平移到 BE，則 D1BE 或其補(bǔ)角就是異面直線 A1C1

11、 與 BD1所成的角，在BD1E 中，BD1=3，二、利用模型求異面直線所成的角模型 1 引理：已知平面 的一條斜線 a 與平面 所成的角為 1，平面 內(nèi)的一條直線 b 與斜線 a 所成的角為 ，與它的射影 a所成的角為 2。求證： cos= cos1·cos2。在平面 的斜線 a 上取一點(diǎn) P，過點(diǎn) P 分別作直線 c、b 的垂線 PO、PB，垂足為 O、 B 連接 OB，則 OBb.在直角 AOP 中， cos在直角 ABC 中， cos12AOP.aAPAB.A1cAO2O在直角 ABP 中， cosABB b.AP所以 cos1 cosAOABABcos2AOAPAP所以 c

12、os1 cos 2cos證明：設(shè) PA 是 的斜線， OA 是 PA 在 上的射影，OB/b，如圖所示。則 PAO=1， PAB=， OAB= 2，過點(diǎn) O 在平面 內(nèi)作 OBAB ，垂足為 B，連結(jié) PB。OAAB，cos2AB?？芍?PB AB 。所以 cos1， cos=PA=OAPA所以 cos= cos1· 2。cosAbPOB利用這個模型來求兩條異面直線a 和 b 所成的角，即引理中的角。需：過 a 的一個平面 ，以及該平面的一條斜線b 以及 b 在 內(nèi)的射影。12. 如圖， MA 平面 ABCD ，四邊形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a ，試求異面直線 MB 與

13、 AC 所成的角。M解：由圖可知，直線 MB 在平面 ABCD 內(nèi)的射影為 AB ，直線 MB 與平面 ABCD 所成的角為 45°，直線 AC 與直線 MB 的射影 AB 所成的角為 45°，所以直線 AC 與直 MB 所成的角為 ，滿足DC1ABcos =cos45 °· cos45，所°=以直線 AC 與 MB 所成的角為 60°。213. 已知三棱柱 ABCA1 B1C1 的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1 在底面 ABC 上的射影為 BC 的中點(diǎn)，則異面直線AB 與 CC1 所成的角的余弦值為（D ）C1（A ）3（ B）5734

14、（C）4(D)44A 11BCDAB解：設(shè) BC 的中點(diǎn)為 D，連結(jié)A1 D，AD ，易知A1 AB 即為異面直線 AB 與 CC1 所成的角 ,由三角余弦定理，易知 coscos A1 AD cosDABADAD3.故選 DA1 AAB414. 如圖，在立體圖形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一個直角梯形， BAD=90°， AD/BC ，AB=BC=a ， AD=2a，且 PA底面 ABCD ，PD 與底面成 30°角， AE PD 于 D。求異面直線AE 與 CD 所成的角的大小。P解：過 E 作 AD 的平行線 EF 交 AD 于 F，由 PA底面 ABCD

15、可知，E直線 AE 在平面 ABCD 內(nèi)的射影為 AF，直線 AE 與平面 ABCD 所成的角為 DAE ，其大小為 60°，D射影 AF 與直線 CD 所成的角為 CDA ，其大小為 45°，所以直線與直AF線所成的角 滿足 cos=cos60°· cos452°=，所以其大小為 arccos2 。 BC44模型 2定理：四面體 ADBCD 兩相對棱 AC 、BD 間的夾角為，則有證明：BD ? ACBD BD COS而BD BA ADBD?ACBAAD ?ACBA?ACAD?ACAB2AC2BC2AD2AC2CD 2AD 2BC2AB2CD

16、 2222所以有：15. 長方體 ABCD A 1B1C1D1 中， AB=AA 1=2cm， AD=1cm，求異面直線 A 1C1 與 BD 1 所成的角。解：連結(jié) BC1 、A 1B 在四面體為，易求得由定理得：所以二、向量法求異面直線所成的角16. 如圖，在正方體 ABCD-A 1B1C1D1 中，E、F 分別是相鄰兩側(cè)面 BCC1B1 及 CDD1C1 的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個點(diǎn)上。作法：連結(jié) B1E，取 B1E 中點(diǎn) G 及 A1B1 中點(diǎn) H，連結(jié) GH，有 GH/A 1E。過

17、F 作 CD 的平行線 RS，分別交 CC1、DD 1 于點(diǎn) R、S，連結(jié) SH，連結(jié) GS。由 B1H/C1D1/FS，B1H=FS，可得 B1F/SH。在 GHS 中，設(shè)正方體邊長為 a。6GH=a（作直線 GQ/BC 交 BB 1 于點(diǎn) Q，A 1D 1HB 1C1SQGFEARDBCP連 QH，可知 GQH 為直角三角形），HS= 6 a（連 A 1S，可知 HA 1S 為直角三角形）， GS=26 a（作直線 GP 交 BC 于點(diǎn) P，連24PD，可知四邊形 GPDS 為直角梯形）。 CosGHS= 1。6所以直線 A 1E 與直線 B1F 所成的角的余弦值為 1 。A 1D16解法

18、二：（向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個正方體，B1C1所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用EF點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個向量，從而可以用向量的方法來求出兩條直線間的夾角。AD以 B 為原點(diǎn)， BC 為 x 軸， BA 為 y 軸， BB1 為z軸，設(shè)BC長度為 。BC則點(diǎn) A 1 的坐標(biāo)為（ ， ， ），點(diǎn)2E 的坐標(biāo)為（ 1， 0， 1），022點(diǎn) B1 的坐標(biāo)為（ ，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ 2，1，1）；002所以向量 EA1 的坐標(biāo)為（ -1，2，1），向量 B1 F 的坐標(biāo)為（ 2， 1， -1），所以這兩個向量的夾角 滿足cos =EA1 B1F=(1)2211(1)1。=-

19、| EA1 | |B1F |( 1)2(2)2(1)2(2)2(1)2(1) 26所以直線 A 1E 與直線 B1F 所成的角的余弦值為1617. 已知空間四邊形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分別為 BC 和 AD 的中點(diǎn)，設(shè) AM 和 CN 所成的角為 ，求 cos的值。（平移法也可）A解：由已知得，空間向量 AB ， AC ， AD 不共面，且兩兩之間的夾角均為 60°。由向量的加法可以得到11NAM =（AB+AC），NC=AD+AC22D所以向量 AM 與向量NC 的夾角 （即角 或者 的補(bǔ)角）滿足 cos= AMNC，其中|AM | |

20、NC|·1（AB+AC）·（1）AM NC=2AD+AC2=1 （1AB ·AD + AB ·AC +（1AD ）·AC + AC ·AC ）222BMC= 1 a2 （ 1 + 11 +1）= 1 a2；2424221（11232；|AM |=2AB+AC ）· （AB+AC）=4（1+1+1）a =4a2211112322|NC | =（2AD + AC ）·（AD+AC ）= +12a =4a。所以 cos=| cos |=。24318. 已知空間四邊形ABCD 中，AB=CD=3 ，E、F 分別是 BC、A

21、DFD=1：2，EF= 7 ，求 AB 和 CD 所成的角的大小。解：取 AC 上點(diǎn) G，使 AG ：GC=1： 2。連結(jié) EG、 FG，可知 EG/AB ，F(xiàn)G/CD， 3EG=2AB， 3FG=CD。由向量的知識可知EF =EG +GF =2 BA+1CD ，33設(shè)向量 BA 和 CD 的夾角為 。則由|EF |2=（ 2 BA+1CD ）·（2BA+13CD ） =4+1+4cos=7，3331得 cos= ，所以 AB 和 CD 所成的角為 60°。2上的點(diǎn)，且 BE：EC=AF：AFGDBEC19. （思考題）如圖，已知平行六面體 ABCDA1B1C1D1 中，底

22、面 ABCD 是邊長為 a 的正方形，側(cè)棱 AA1 長為 b,且 AA1 與 AB、AD 的夾角都是 120°.求： (1)AC1 的長；(2)直線 BD1 與 AC 所成的角的余弦值 .技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用.解:(1)|AC1|2AC1AC1( AA1AC )( AA1AC )( AA1ABAD )( AA1ABAD )| AA1 |2| AB|2|AD|22 AA1 AB 2 AA1AD2 ABAD由已知得 :| AA1 |2b2 ,| AB |2|AD|2a2AA1 , ABAA1 , AD120 ,AB, AD90AA1ABb a cos1201

23、 ab, AA1ADb a cos1201 ab, AB AD 0,22| AC1 |22a2b22ab,|AC1 |2a 2b22ab.依題意得,|AC|2a, ACABAD(2)BD1ADBAAA1ADABACBD1 ( ABAD)( AA1ADAB )AB AAADAAAB ADAD 2AB 2AB ADab11|BD1 |2BD 1BD1( AA1ADAB)( AA1ADAB)| AA1 |2|AD|2|AB|22 AA1AD2 ABAD2 AA1AB 2a2b2| BD1 | 2a2b2cos BD1, ACBD1 AC|BD1|AC|BD1 與 AC 所成角的余弦值為b4a 2.2

24、b2b4a 22b 2判斷是非： (1)(3)(8)(10) 正確，其余錯；選擇： 1(C) ；2(D) ；3(D) ；4(D) 5(2) 相交， (5) 平行，其余異面；（ 6）：(D) ，取 AB 中點(diǎn) M ，CC1 中點(diǎn) N，連 B1E 和 B1F；（7）答案： (A) ，延長 B1A1 至 M，使 A1MA1D1，連 MA，取 AB中點(diǎn) N8(D) ；9(E) ；10(D) ；11(C) ；三4，取 AD 中點(diǎn) E，則 MEN 90°；3四7 ，取 AC 中點(diǎn) F，連 EF、BF，求得 BE 1AD ，BF 1AC32；5252五25 ，分別取 AC 、B1 1 的中點(diǎn)、 ，

25、則PMQN是矩形，設(shè)CC1MQ ，則MP1a；CP Qa25六1，取 AC 中點(diǎn) F，連 EF、BF，則 EF4，BEBF36異面直線所成的角- 作業(yè)班級：姓名：學(xué)號：一、判斷是非 (下列命題中，正確的打 “”，錯誤的打 “×”)(1)梯形的四個頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)；(2)對邊相等的四邊形是平行四邊形；(3)平行于同一直線的兩直線平行；(4)垂直于同一直線的兩直線平行；(5)兩條直線確定一個平面；(6)經(jīng)過三點(diǎn)可以確定一個平面；(7)無公共點(diǎn)的兩直線異面；(8)兩異面直線無公共點(diǎn)；(9)兩異面直線可以同時平行于一直線；(10)兩異面直線可以同時垂直于一直線；(11)不同在一個已知平面內(nèi)的

26、兩直線異面；(12)互相垂直的兩條直線必可確定一平面二、選擇題1. 沒有公共點(diǎn)的兩條直線的位置關(guān)系是 ( )(A) 平行(B) 異面(C)平行或異面(D) 不能確定2. 分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是 ( )(A) 異面(B) 平行(C)平行或異面(D) 平行或異面或相交3. 兩條異面直線指的是 ( )(A) 在空間不相交的兩條直線(B)某一平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線(C)分別位于兩個不同平面的兩條直線(D)不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4. a、b 是異面直線， b、 c 也是異面直線，那么 a、 c 的位置是 ( )(A) 異面(B) 異面或平行(C)異面或相交(D) 相交、平行或異面5. 說出正方體中各對線段的位置關(guān)系：(1) AB 和 CC1；(2)A1C 和 BD1；(4)A1C1 和 CB1； (5)A1B1 和 DC；(3)A1A 和 CB1；(6)BD 1 和 DC.6. 在棱長為 1 的正方體 ABCD A 1B1C1D1 中，M 和 N 分別為 A 1B1 和 BB1 的中點(diǎn)，那么直線AM 與 CN 所成角的余弦值是 ()( A)31032( B)(C)5(D)21057. 如圖， A 1B1C1 ABC 是直三棱柱 (三側(cè)面為矩形 )， BCA=90°，點(diǎn) D1、F1