離散性隨機變量的均值(教學(xué)設(shè)計)

1、231離散型隨機變量的均值寧波北侖明港高級中學(xué)柳勛一、教學(xué)內(nèi)容解析離散型隨機變量的均值是隨機變量及其分布第三節(jié)第一小節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課是第一課時.本節(jié)課主要的學(xué)習(xí)任務(wù)是從平均的角度引入離散型隨機變量均值的概念，引導(dǎo)學(xué)生通過實際問題建立取有限值的離散型隨機變量均值的概念，然后推導(dǎo)出離散型隨機變量均值的線性性質(zhì)EaXbaEXb以及離散型隨機變量服從兩點分布的期望EXP和服從二項分布期望EXnP取有限值的離散型隨機變量的均值是在學(xué)生學(xué)習(xí)完離散型隨機變量及其分布列的概念基礎(chǔ)上，進一步研究離散型隨機變量取值特征的一個方面.學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容既是隨機變量分布的內(nèi)容的深化，又是后續(xù)內(nèi)容離散型隨機變量方差的基礎(chǔ)，

2、所以學(xué)好本節(jié)課是進一步學(xué)習(xí)離散型隨機變量取值特征的其它方面的基礎(chǔ).離散型隨機變量的均值是刻畫離散型隨機變量取值的平均水平的一個數(shù)字特征，是從一個側(cè)面刻畫隨機變量取值的特點.在實際問題中，離散型隨機變量的均值具有廣泛的應(yīng)用性.因此我以為本節(jié)課的重點是：取有限值的離散型隨機變量均值的概念.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）對本節(jié)課的要求，并考慮到學(xué)生的實際和學(xué)習(xí)能力，特將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：1 .通過實際問題，使學(xué)生體會離散型隨機變量均值的概念，理解離散型隨機變量均值的線性性質(zhì)，會計算簡單的離散型隨機變量的均值，并能解決一些簡單的實際問題.2 .通過離散型隨機變量均值概念的探究

3、形成，經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)概念這一過程，使學(xué)生學(xué)會概括、抽象數(shù)學(xué)問題的方法，通過簡單的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.重點：離散性隨機變量的均值概念以及求法難點：對離散型隨機變量的均值的理解，并能解決簡單的實際問題。三、學(xué)生學(xué)情分析本節(jié)課之前，學(xué)生已有平均值、概率、離散型隨機變量及其分布列，二項分布及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，具備了學(xué)習(xí)本節(jié)知識的知識儲備.本節(jié)課是一節(jié)概念新授課，教材從學(xué)生熟悉的平均值出發(fā)，從身邊的實際問題中抽象出了取有限值的離散型隨機變量均值的概念，這需要一定的概括和抽象能力.鑒于學(xué)生的概括、抽象能力不是太強，因此學(xué)生對概念的形成和理解會有一定的困難.基于以上認識，我以為本節(jié)課的教學(xué)難點是：離

4、散型隨機變量均值概念的形成和理解。四、課堂策略分析：本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學(xué)課.在教學(xué)活動中，學(xué)生是一個積極的探索者，教師的作用是要創(chuàng)設(shè)一種學(xué)生能夠主動探究的情境，幫助學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)概念?；谶@種考慮，結(jié)合本節(jié)課知識的邏輯關(guān)系，我設(shè)計了以下的學(xué)習(xí)順序：溫故知新引入新課一一問題引導(dǎo)講授新課一一小試牛刀一一例題講解鞏固新知一一學(xué)以致用提升自我一一課堂小結(jié)，鞏固反思五、教學(xué)過程：(一)、溫故知新引入新課：1、分布列:設(shè)離散型隨機變量X可能取得值為X1,X2,，X3,，X取每一個值xi(i=1,2,)的概率為pXXip,則稱表XX1X2XipP1P2Pi為隨機變量出勺概率分布，簡稱出勺分布列

5、.2、離散型隨機變量的性質(zhì)：(1)p0,i1,2,3；(2)PiP2Pi1(二)、問題引導(dǎo)講授新課：教師：對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關(guān)事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學(xué)成績的方差。我們能否用一些量來刻畫隨機變量的這些數(shù)字特征？問題1:如果你期中考試各門成績?yōu)椋?0、81、79、69、85、91;那你的平均成績是多少？學(xué)生答：(90+81+79+69+85+91)+6=82.5教師：得數(shù)是各門學(xué)科的平均

6、數(shù)，也就是我們平常所說的算術(shù)平均數(shù)，若有n個數(shù)據(jù)求平均數(shù)，則有X二色xn；n問題2:你的期中數(shù)學(xué)考試成績?yōu)?0,平時表現(xiàn)成績?yōu)?0,學(xué)校規(guī)定：在你學(xué)分記錄表中，該學(xué)期的數(shù)學(xué)成績中考試成績占70%、平時成績占30%,你最終的數(shù)學(xué)成績?yōu)槎嗌?？學(xué)生答：80X70%+70X30%=77教師：77這個得數(shù)也是一種平均數(shù)，只是在計算平均數(shù)時，我們根據(jù)每個數(shù)據(jù)所占的比重不同在它的前面所乘的系數(shù)也不同，這樣得到的平均數(shù)我們叫做加權(quán)平均數(shù)。一般地，若有n個數(shù)據(jù)X1,x2,x求他們的加權(quán)平均數(shù)，則有：XaX1a2X2anXn,aa?an1教師：權(quán)：稱植，權(quán)衡輕重的數(shù)值；權(quán)數(shù)是起權(quán)衡輕重作用的數(shù)值;加權(quán)平均：計算若

7、干數(shù)量的平均數(shù)時，考慮到每個數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權(quán)數(shù)。練習(xí)：某商場要將單價分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？學(xué)生答：X18324236-23666問題3我們換個角度來看待這個問題，如果我們把混合糖果攪拌充分均勻，從中隨機選取一顆，記X為這顆糖果所屬種類的單價(元/kg),你能寫出X的分布列嗎?學(xué)生：也就是說這個糖果是18元/kg的概率為自，為24元/kg的概率為2,為6636元/kg的概率為-,那：設(shè)混合糖果中各糖果的單價為隨機變量X,那么X6的取值可能是：18、24、36;取到各個值的概率分

8、別為：§、2、1;相當(dāng)于666知道了該離散型隨機變量X的分布列:教師：在這里我們發(fā)現(xiàn)糖果3+24 X2+36 X1,在分布 666X182436P3626-6的合理價格合理價格二18 X列中也有所體現(xiàn)，其實就是18XP(X=18)+24xp(X=24)+36XP(X=36),可以說我們所得到的合理價格應(yīng)該就是X取值的一個加權(quán)平均數(shù)，也稱之為離散性隨機變量的均值。教師：如果你買了1kg這種混合糖果，你要付多少錢?學(xué)生：23元；教師：而你買的糖果的實際價值剛好是23元嗎?學(xué)生：不一定，看運氣;教師：買的糖果的實際價值其實相當(dāng)于做了一次抽樣問題4:如果你知道了一個離散型隨機變量的分布列:X

9、X1X2XnPp1p2pn該隨機變量的平均取值應(yīng)該怎樣計算？學(xué)生答：Xipi+X2P2+xnpn教師：我們稱上式計算所得的加權(quán)平均數(shù)叫做離散型隨機變量X的均值或者數(shù)學(xué)期望，簡稱期望，記為：EX=Xipi+X2p2+-+Xnpn它反映了X取值的平均水平。注意：該平均數(shù)與以往的平均數(shù)有哪里不同？它是加權(quán)平均。根據(jù)什么來確定權(quán)數(shù)？所取值的概率。思考:若YaXb（a、b是常數(shù)），X是隨機變量，則Y也是隨機變量，它們的分布列為XX1X2XnYaX1baX2baXnbPpip2pn于是EY（a、b）pi（ax?b）p?（axnb）pn由此，我們得到了期望的一個性質(zhì)：E（aXb）aEXb（三）、小試牛刀（基

10、礎(chǔ)訓(xùn)練）1、隨機變量X的分布列是X357P0.50.30.2(1)則E(X)=(2)若Y=2X+1,則E(Y)=2、隨機變量X的分布列是X46810Pa0.1b0.2E(X)=7,貝Ua=b=(四)、例題講解鞏固新知：例1籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,則他罰球1次的得分X的均值是多少？小結(jié)：兩點分布變式、籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,他連續(xù)罰球3次；(1)求他得到的分數(shù)X的分布列；(2)求X的期望。小結(jié)：二項分布基礎(chǔ)訓(xùn)練：一袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中有放回的取5

11、次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是(用數(shù)字作答)(五)、學(xué)以致用提升自我1 .一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且只有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選擇一個。求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望。2根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.為保護設(shè)備，有以下3種方案：方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元方案2：

12、建保護圍墻，建設(shè)費為2000元但圍墻只能防小洪水方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水試比較哪一種方案好解：用X1、X2和X3分別表示三種方案的損失采用第1種方案，無論有無洪水，都損失3800元，即X1=3800.采用第2種方案，遇到大洪水時，損失2000+60000=62000元；沒有大洪水時，損失2000元，即同樣，采用第3種方案，有于是，EXi=3800,EX2=62000XP(X2=62000)+200000XP(X2=2000)=62019X0.01+2019X(1-0.01)=2600,EX3=60000XP(X3=60000)+10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0)=

13、60000X0.01+10000X0.25=3100.采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2.值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使損失減到最小由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的(六)、課堂小結(jié)，鞏固反思：1、一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為XX1X2XnPP1P2Pn則均值（或數(shù)學(xué)期望）：EXXiPiX2P2XnPn，反映了隨機變量取值的平均水平；2、若YaXb,貝UEYaEXb3、若X服從兩點分布，則exP4、若X

14、:B（n,p）（二項分布），則EXnP六、課例的點評本節(jié)課教師能合理組織學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究，對學(xué)生的即時評價具有發(fā)展性和激勵性，做到重組教材，力求讓學(xué)生經(jīng)歷探究學(xué)習(xí)的全過程。主要的學(xué)習(xí)任務(wù)是從平均的角度引入離散型隨機變量均值的概念，引導(dǎo)學(xué)生通過實際問題建立取有限值的離散型隨機變量均值的概念，然后推導(dǎo)出離散型隨機變量均值的線性性質(zhì)EaXbaEXb以及離散型隨機變量服從兩點分布的期望EXP和服從二項分布期望EXnP。學(xué)生能夠自學(xué)的內(nèi)容，教師讓學(xué)生自學(xué);學(xué)生能夠自己表達的，教師鼓勵學(xué)生去表達；學(xué)生自己能做的，教師放手讓學(xué)生去做。本節(jié)課能夠有效地組織和引導(dǎo)學(xué)生開展以探究為特征的研究性學(xué)習(xí)，環(huán)環(huán)相扣，使接受與探究相輔相成，學(xué)生的學(xué)習(xí)境界更高，學(xué)習(xí)效果更好。離散型隨機變量均值的實例為學(xué)生的數(shù)學(xué)