202X屆高考數(shù)學一輪復習第七章數(shù)列7.3基本不等式及不等式的應用課件理

1、7.3 基本不等式及不等式的應用高考理數(shù)高考理數(shù) (課標專用)自主命題自主命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點一基本不等式考點一基本不等式1.(2019天津,13,5分)設x0,y0,x+2y=5,則的最小值為.(1)(21)xyxy五年高考答案答案43解析解析本題主要考查利用基本不等式求最值;通過不等式的應用考查學生推理論證能力及運算求解能力;體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).x+2y=5,x0,y0,=2+2=4,當且僅當即或時,原式取得最小值4.(1)(21)xyxy221xyxyxy26xyxyxy6xy62 xyxy325,62,xyxyxy3,1xy2,32xy32.

2、(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,則2a+的最小值為.18b答案答案14解析解析本題主要考查運用基本不等式求最值.由已知,得2a+=2a+2-3b2=2=2=,當且僅當2a=2-3b時等號成立,由a=-3b,a-3b+6=0,得a=-3,b=1,故當a=-3,b=1時,2a+取得最小值.易錯警示易錯警示利用基本不等式求最值應注意的問題(1)使用基本不等式求最值,易失誤的原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值,這三個條件缺一不可.(2)在運用基本不等式時,要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧,使?jié)M足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.1

3、8b322ab32ab621418b143.(2017江蘇,10,5分)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是.答案答案30解析解析本題考查基本不等式及其應用.設總費用為y萬元,則y=6+4x=4240.當且僅當x=,即x=30時,等號成立.易錯警示易錯警示1.a+b2(a0,b0)中“=”成立的條件是a=b.600 x900 xx900 xab2.本題是求取最值時變量x的值,不要混同于求最值.4.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0,則的最小值為.4441abab答案答案4解析解析

4、本題考查基本不等式的應用.a4+4b42a22b2=4a2b2(當且僅當a2=2b2時“=”成立),=4ab+,由于ab0,4ab+2=4當且僅當4ab=時“=”成立,故當且僅當時,的最小值為4.規(guī)律方法規(guī)律方法利用基本不等式求最值,若需多次應用基本不等式,則要注意等號成立的條件必須一致.4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab考點二不等式的綜合應用考點二不等式的綜合應用1.(2017天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=設aR,若關于x的不等式f(x)在R上恒成立,則a的取值范圍是()A.B.C.-2,2D.23,1,2,1.xxx

5、xxx2xa47,21647 39,16 163392 3,16答案答案A本題考查分段函數(shù)的應用及不等式恒成立問題.當x1時,關于x的不等式f(x)在R上恒成立等價于-x2+x-3+ax2-x+3在R上恒成立,即有-x2+x-3ax2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3圖象的對稱軸為x=,可得在x=處取得最大值-;由y=x2-x+3圖象的對稱軸為x=,可得在x=處取得最小值,則-a.當x1時,關于x的不等式f(x)在R上恒成立等價于-+ax+在R上恒成立,即有-a+在R上恒成立,由于x1,所以-2=-2,當且僅當x=時取得最大值-2;因為x1,所以x+2=2,當且僅當x=2時取得最小值2

6、,則-2a2.由可得-a2,故選A.思路分析思路分析討論當x1時,運用絕對值不等式的解法和分離參數(shù),可得-x2+x-3ax2-x+3,2xa2x123212141141447163234314343916471639162xa2xx2x2x322xx2x2x322xx322xx3233122x122xx347161232再由二次函數(shù)的最值求法,得a的取值范圍;討論當x1時,同樣可得-a+,再利用基本不等式可得最值,從而得a的取值范圍,求交集即可得到所求范圍.322xx2x2x2.(2019北京,14,5分)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60

7、元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付元;在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為.答案答案13015解析解析本題通過生活中常見的網(wǎng)絡購物,考查函數(shù)的實際應用,利用促銷返利考查學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.讓學生通過分析,把實際問題模型化,構建不等式,體現(xiàn)了社會生活與學習的密切聯(lián)系.x=10時,一次購買草莓和西瓜各1盒,共140元,由題可知顧客需支付1

8、40-10=130元.設每筆訂單金額為m元,則只需考慮m120時的情況.根據(jù)題意得(m-x)80%m70%,所以x,而m120,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x,而=15,x15.所以x的最大值為15.解題關鍵解題關鍵正確理解“每筆訂單得到的金額”與“促銷前總價的七折”是解題關鍵.8mmin8mmin8m教師專用題組教師專用題組考點一基本不等式考點一基本不等式(2016江蘇,14,5分)在銳角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是.答案答案8解析解析sinA=2sinBsinC,sin(B+C)=2sinBsinC,即si

9、nBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,tanA=tan-(B+C)=-tan(B+C)=-=,又ABC為銳角三角形,tanA=0,tanB+tanC0,tanBtanC1,tanAtanBtanC=tanBtanC=,令tanBtanC-1=t,則t0,tanAtanBtanC=22(2+2)=8,當且僅當t=,即tanBtanC=2時,取“=”.tanAtanBtanC的最小值為8.tantan1tantanBCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBC22(tantan

10、)tantan1BCBC 22(1)tt12tt1t考點二不等式的綜合應用考點二不等式的綜合應用(2013課標,11,5分)已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|ax,則a的取值范圍是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,022 ,0,ln(1),0.xx xxx答案答案D由題意作出y=|f(x)|的圖象:由圖象易知,當a0時,y=ax與y=ln(x+1)的圖象在x0時必有交點,所以a0.當x0時,|f(x)|ax顯然成立;當x0時,要使|f(x)|=x2-2xax恒成立,則ax-2恒成立,又x-2-2,a-2.綜上,-2a0,故選D.思路分析思路分析根據(jù)解析式作出y=|f(x)|的圖象

11、,由圖象得出a0,此時分析出當x0時,|f(x)|ax恒成立,當x0,a恒成立,則a的取值范圍是()A.aB.aC.a0,a恒成立,所以對x(0,+),a,而對x(0,+),=,當且僅當x=時等號成立,a.231xxx2max31xxx231xxx113xx1123xx151x152.(2019福建廈門3月聯(lián)考,9)對任意m,nR+,都有m2-amn+2n20,則實數(shù)a的最大值為()A.B.2C.4D.2292答案答案B對任意m,nR+,都有m2-amn+2n20,m2+2n2amn,即a=+恒成立,+2=2,當且僅當=時取等號,a2,故a的最大值為2,故選B.222mnmnmn2nmmn2n

12、m2mnnm2mn2nm223.(2019廣東江門一模,9)實數(shù)x、y滿足|x+y|+|x-y|=2,若z=4ax+by(a0,b0)的最大值為1,則+有()A.最大值9B.最大值18C.最小值9D.最小值181a1b答案答案C根據(jù)|x+y|+|x-y|=2,可得點(x,y)滿足的圖形是以A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-1)、D(1,-1)為頂點的正方形,可知x=1,y=1時,z=4ax+by取得最大值,故4a+b=1,所以+=(4a+b)=5+9,當且僅當=,即a=,b=時取“=”.故+有最小值9.故選C.1a1b11ab4abba4abba16131a1b4.(2019河南信陽一

13、模,8)已知正項等比數(shù)列an滿足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在兩項am,an,使得=32,則+的最小值為()A.B.C.D.mna a1m4n349103295答案答案A由等比數(shù)列的性質得=a2a8=16a5.因為a50,所以a5=16,又因為a3+a5=20,所以a3=4,所以a1=1,公比q=2,因為=32,所以=32=25,所以m+n=12,則+=(m+n)=當且僅當=,即m=4時,取等號,則+的最小值為,故選A.25amna a2m nq 1m4n11214mn11245mnnm344mnnm1m4n34考點二不等式的綜合應用考點二不等式的綜合應用1.(2018湖北孝感

14、模擬,12)設f(x)滿足f(-x)=-f(x),且在-1,1上是增函數(shù),且f(-1)=-1,若函數(shù)f(x)t2-2at+1對所有的x-1,1,當a-1,1時都成立,則t的取值范圍是()A.-tB.t2或t=0或t-2C.t2或t-或t=0D.-2t2121212答案答案B由已知易得f(x)在-1,1上的最大值是1,故由題意可知t2-2at+11對a-1,1恒成立,即2at-t20對a-1,1恒成立.設g(a)=2at-t2(-1a1),欲滿足題意,則t2或t=0或t-2.( 1)0,(1)0gg2.(2019廣東惠州三調,10)在ABC中,點D是AC上一點,且=4,P為BD上一點,向量=+(

15、0,0),則+的最小值為()A.16B.8C.4D.2ACADAPABAC41答案答案A由題意可知,=+4,又B,P,D共線,由三點共線的充分必要條件可得+4=1,又因為0,0,所以+=(+4)=8+8+2=16,當且僅當=,=時等號成立,故+的最小值為16.故選A.APABAD414116161218413.(2019河南安陽模擬,12)已知,若滿足不等式sin3-cos3ln,則的取值范圍是()A.B.C.D.0,2cossin,4 2 0,4,4 3 ,4 2 答案答案Asin3-cos3ln,sin3-cos3ln=lncos-lnsin,即sin3+lnsincos3+lncos,則

16、sin0且cos0,0且,.設f(x)=x3+lnx,x0,則不等式sin3+lnsincos3+lncos等價于f(sin)f(cos)恒成立.f(x)=3x2+,則當x0時,f(x)0恒成立,故f(x)在定義域上為增函數(shù),則f(sin)f(cos)等價于sincos恒成立.,1,即tan1,0,y0,且+=,則x+y的最小值為()A.3B.5C.7D.911x 1y12答案答案Cx0,y0,且+=,x+1+y=2(x+1+y)=22=8,當且僅當=,即x=3,y=4時取等號,x+y7,故x+y的最小值為7,故選C.11x 1y12111xy11 11yxxy 1221yxxy1yx 1xy

17、2.(2019河南信陽模擬,9)已知角,的頂點都為坐標原點,始邊都與x軸的非負半軸重合,且都為第一象限的角,的終邊上分別有點A(1,a),B(2,b),且=2,則+b的最小值為()A.1B.C.D.21a23答案答案C由已知可得tan=a,tan=,=2,tan=tan2,a=,即a=,由a0,b0得0,則0b0,b0求取等號的條件.2b22212bb244bb244bb1a244bb1b34b1 34bb31b34b2 33244bb1a1b34b1a3.(2019廣東汕尾3月聯(lián)考,6)若直線ax-by+2=0(a0,b0)經過圓x2+y2+2x-4y+1=0的圓心,則+的最小值為()A.4

18、B.C.D.61a2b9252答案答案B圓的一般方程化成標準方程得(x+1)2+(y-2)2=4,依據(jù)圓心(-1,2)在直線ax-by+2=0上,得a+2b=2(a0,b0),+=(a+2b)=(5+2)=當且僅當a=b=時取等號.故選B.方法總結方法總結1.常數(shù)代換法求解最值的基本步驟:根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù));把確定的定值(常數(shù))變形為1;把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除,進而構造和或積為定值的形式;利用基本不等式求解最值.1a2b1212ab122214baab12492232.當式子中含有兩個變量,且條件和所求的式子分別為整式和分式時,常構造出(ax+by)(a

19、,b,m,n為正常數(shù),x0,y0)的形式,利用(ax+by)=am+bn+am+bn+2得到結果.mnxymnxybmyxanxyabmnbmyanxxy當且僅當時等號成立二、填空題二、填空題(每題每題5分分,共共5分分)4.(2019湖南長沙模擬,15)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.設M是底面ABC內一點,定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積.若f(M)=,且+8恒成立,則正實數(shù)a的最小值為.1, ,2x y1xay解析解析PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,VP-ABC=321=1=+x+y.x+y=,則2x+2y=1.a0,+=(2x+2y)=2+2a+2+2a+48,解得a1,正實數(shù)a的最小值為1.131212121xay1axy2yx2axya22,yaxyaxxy當且僅當即時 取等號答案答案1C C組組 2017201920172019年高考模擬年高考模擬應用創(chuàng)新題組應用創(chuàng)新題組1.(2019湖南郴州二模,11)已知A=(x,y)|x-2|+|y-2|2,0 x2(x,y)|(x-2)2