三角函數(shù)與三角代換

1、三角函數(shù)與三角代換【真題體驗(yàn)】1.2019·江蘇改編cos3π=31，那么sin-xπ=_.解析sin-xπ=cos3π=31.2.2019·江蘇設(shè)α為銳角，假設(shè)cos6π=54，那么sin12π的值為_.解析由條件可得cos3π=2ccs26π-1=257，sin3π=2524，所以sin12π=sin4π=22257=502.3.2019·江蘇函數(shù)fx=

2、Asinωx+φ，A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0的部分圖象如下圖，那么f0=_.解析因?yàn)橛蓤D象可知振幅A=，4T=127π-3π=4π，所以周期T=π=ω2π，解得ω=2，將27π代入，解得一個(gè)符合的φ=3π，從而y=sin3π，∴f0=26.4.2019·南通、泰

3、州、揚(yáng)州調(diào)研角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P1，-2，函數(shù)fx=sinωx+φω>0圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的間隔 等于3π，那么f12π=_.解析由圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的間隔 等于3π，得T=32π=ω2π⇒ω=3，又角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P1，-2，所以sin φ=5-2，cos φ=51，所以fx=sin3x+φf12&p

4、i;=sin+φπ=2252=-1010.5.2019·江蘇定義在區(qū)間2π上的函數(shù)y=6cos x的圖象與y=5tan x的圖象的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sin x的圖象交于點(diǎn)P2，那么線段P1P2的長(zhǎng)為_.解析線段P1P2的長(zhǎng)即為sin x的值，且其中的x滿足6cos x=5tan x，整理得6sin2x+5sin x-6=0，解得sin x=32.線段P1P2的長(zhǎng)為32.【應(yīng)對(duì)策略】三角函數(shù)既是重要知識(shí)，又是重要工具，作為知識(shí)，它與函數(shù)、平面向量有著密不可分的聯(lián)絡(luò)，三角函數(shù)的

5、概念、根本性質(zhì)及圖象都是從函數(shù)的角度出發(fā)的重要根底知識(shí)，三角恒等變換是三角函數(shù)作為工具的重要表達(dá)，在歷年的高考試題中占有重要地位，尤其是三角函數(shù)與向量的綜合更是考察重點(diǎn)，題型可能是填空題，也可能是解答題.需要純熟掌握三角函數(shù)內(nèi)部知識(shí)的綜合及三角函數(shù)與向量的綜合.必備知識(shí)1.三角函數(shù)的概念，如象限角、軸線角、終邊一樣的角、三角函數(shù)的定義、定義域、符號(hào)法那么、弧度制等;2.同一個(gè)角的正弦、余弦、正切函數(shù)之間有平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1，商數(shù)關(guān)系：tan α=cos αsin &al

6、pha;.根據(jù)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，假如角α的某一個(gè)三角函數(shù)值，就可以求出其它兩個(gè)三角函數(shù)值，不過解的個(gè)數(shù)要根據(jù)角α所在的象限或范圍確定.3.誘導(dǎo)公式提醒的是k·2π±αk∈Z與α的三角函數(shù)值之間的等量關(guān)系式，記憶口訣是“奇變偶不變，符號(hào)看象限.4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等三角函數(shù)性質(zhì)，要純熟掌握;5.熟記兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式，掌握公式的常見變形，如輔助角公式asin &am

7、p;alpha;+bcos α=sinα+φ，降冪公式cos2α=21+cos 2α，sin2α=21-cos 2α等.必備方法1.解決三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟是：1認(rèn)真審題，找出自變量，分析出三角函數(shù)與自變量之間的函數(shù)關(guān)系，寫出解析式，并且根據(jù)題意和實(shí)際意義確定函數(shù)定義域，簡(jiǎn)單地說，就是建立數(shù)學(xué)模型;2利用所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)解決這一數(shù)學(xué)模型.2.三角函數(shù)在代數(shù)中的應(yīng)用，一般是用換元法將三角函數(shù)看做一個(gè)整體變量，利用其值域等性質(zhì)限制函數(shù)定義域，再利用函數(shù)等

8、代數(shù)知識(shí)求解.3.三角恒等變形的根本思路1“化異為同，“切化弦，“1的代換是三角恒等變換的常用技巧.“化異為同是指“化異名為同名，“化異次為同次，“化異角為同角.2角的變換是三角變換的核心，如β=α+β-α，2α=α+β+α-β等.命題角度一三角變換與求值命題要點(diǎn) 給角求值;給值求值;給值求角.【例1】? 2019·江蘇tan4π=2，那么tan 2xtan x的值為_.審題視點(diǎn) 由條件先

9、確定tan x的值，再化簡(jiǎn)待求式，然后代入求得.解析由tan4π=2，得1-tan xtan x+1=2，解得tan x=31，所以tan 2xtan x=1-tan2x2tan x=21-tan2x=9=94.給角求值問題，一般方法是利用三角公式將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角;給值求值問題，要觀察與所求的關(guān)系，注意從角、三角函數(shù)名稱等幾個(gè)方面觀察，應(yīng)用角的變換、名稱變換等尋找關(guān)系;給值求角一般要有求兩個(gè)方面，一是所求角的范圍，二是所求角的某個(gè)三角函數(shù)值，很多時(shí)候還需要縮小角的范圍，使得所求三角函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào).【打破訓(xùn)練1】 2019·江西改編假設(shè)tan &am

10、p;theta;+tan θ1=4，那么sin 2θ=_.解析某個(gè)角的正切值，求關(guān)于正弦、余弦的齊次分式時(shí)，常將正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切，即弦化切，以到達(dá)簡(jiǎn)解的目的.tan θ+tan θ1=tan θ1+tan2θ=4，∴4tan θ=1+tan2θ，∴sin 2θ=2sin θcos θ=sin2θ+cos2&am

11、p;theta;2sin θcos θ=1+tan2θ2tan θ=4tan θ2tan θ=21.命題角度二三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題要點(diǎn) 函數(shù)圖象求函數(shù)解析式;三角函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【例2】? 函數(shù)y=Asinωx+φ2π的一段圖象如下圖，求其解析式.審題視點(diǎn) 先由圖象求出函數(shù)的周期，從而求得ω的值，再由關(guān)鍵點(diǎn)求φ，最后將0，代入求A的值.解設(shè)函數(shù)的周期為T，那么43T=87&p

12、i;-8π=43π，∴T=π，∴ω=T2π=2.又2×8π+φ=2kπ+2πk∈Z，∴φ=2kπ+4πk∈Z，又|φ|<2π，∴φ=4π.∴函數(shù)解析式為y=Asin4π

13、.又圖象過點(diǎn)0，∴Asin4π=，∴22A=，∴A=2.∴所求函數(shù)的解析式為y=2sin4π.1函數(shù)y=Asinωx+φA>0，ω>0的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定ω由圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)確定φ.2求函數(shù)的周期時(shí)，注意以下規(guī)律：相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為半個(gè)周期，最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)

14、差的絕對(duì)值為41個(gè)周期.【打破訓(xùn)練2】 函數(shù)y=Asinωx+φ，ω>0π的圖象的一部分如下圖.1求fx的表達(dá)式;2試寫出fx的對(duì)稱軸方程.解1觀察圖象可知：A=2且點(diǎn)0,1在圖象上，所以1=2sinω·0+φ，即sin φ=21，因?yàn)閨φ|<2π，所以φ=6π.又因?yàn)?211π是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且是圖象上升穿過x軸形成的零點(diǎn)，所以1211&p

15、i;ω+6π=2π，所以ω=2.故fx=2sin6π.2設(shè)2x+6π=B，那么函數(shù)y=2sin B的對(duì)稱軸方程為B=2π+kπ，k∈Z，即2x+6π=2π+kπk∈Z， 解上式得x=2kπ+6πk∈Z，所以fx=2sin6π的對(duì)稱軸方程為x=2kπ+6πk∈Z.命題角度三三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

16、的綜合應(yīng)用命題要點(diǎn) 三角函數(shù)的值域;三角函數(shù)的最小正周期;三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;三角函數(shù)的對(duì)稱性.【例3】? 2019·南京、鹽城模擬函數(shù)fx=sin xcos x-cos2x+21x∈R.1求函數(shù)fx的最小正周期;2求函數(shù)fx在區(qū)間4π上的函數(shù)值的取值范圍.審題視點(diǎn) 將三角函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)型，利用周期公式求解，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求值域.解1因?yàn)閒x=23sin 2x-21cos 2x=sin6π，故fx的最小正周期為π.2當(dāng)x∈4π時(shí)，2x-6π∈3&

17、amp;pi;，故所求的值域?yàn)?.求解三角函數(shù)的周期，一般是化為標(biāo)準(zhǔn)型后，再利用周期公式求解，或者利用三角函數(shù)圖象求周期.三角函數(shù)的值域有幾種常見類型：一是可以化為標(biāo)準(zhǔn)型的，利用三角函數(shù)圖象求解;二是可以化為二次型的，利用換元法求解，但要注意“新元的取值范圍.【打破訓(xùn)練3】 2019·蘇州期中函數(shù)fx=cos3π+2sin4πsin4π.1求函數(shù)fx的最小正周期;2求函數(shù)fx在區(qū)間2π上的值域.解1fx=cos3π+2sin4π·sin4π=21cos

18、2x+23sin 2x+sin x-cos xsin x+cos x=21cos 2x+23sin 2x+sin2x-cos2x=21cos 2x+23sin 2x-cos 2x=sin6π. ∴T=22π=π.2x∈2π，∴2x-6π∈65π∴sin6πmax=1，sin6πmin=-21即fx=sin6π的值域?yàn)椋?1.4.解決三角函數(shù)需注意的兩個(gè)問題一、要充分挖掘

19、題中隱含條件【例1】? 在ABC中，假如4sin A+2cos B=1,2sin B+4cos A=3，那么∠C的大小是_.解析兩式平方相加并化簡(jiǎn)得sinA+B=21，所以sin C=21，得∠C=6π或65π，檢驗(yàn)：當(dāng)∠C=65π時(shí)，A+B=6π，那么A，B∈6π，sin A∈21，cos B∈，13，4sin A+2cos B∈，4與4sin A+2cos B=1矛盾，所以∠C=65&a

20、mp;pi;舍去，即∠C=6π.老師叮嚀：在三角恒等式中，假如不充分挖掘題中條件，又沒有對(duì)結(jié)果檢驗(yàn)，很容易產(chǎn)生增根，如此題兩式平方相加并化簡(jiǎn)得sinA+B=21，所以sin C=21，得∠C=6π或65π，產(chǎn)生了增根65π.二、給值求角時(shí)要注意縮小所求角的范圍【例2】? 假設(shè)tanα-β=21，tan β=-71，且α，β∈0，π，那么2α-β的

21、值為_.解析由上面解得tan α=31，α∈0，π，所以α的范圍可以縮小為4π，同理，由tan β=-71以及β∈0，π，β的范圍可以縮小為，ππ，所以2α-β∈-π，0，又tan2α-β=1，所以2α-β的值為-43π

22、.老師叮嚀：題中角的范圍太大，使得正切函數(shù)在該區(qū)間上不單調(diào)，如有同學(xué)求出2α-β∈42π，得2α-β的值為-43π或 4π或45π，這種錯(cuò)誤主要是沒有對(duì)2α-β的范圍進(jìn)展縮小而產(chǎn)生了增根，所以盡可能縮小角的范圍很重要.5.練習(xí)1.給出以下說法：正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù);函數(shù)fx=2tan4π的單調(diào)遞增區(qū)間是4πk∈Z;函數(shù)y=2tan3π的定義域是

23、+kπ，k∈Zπ函數(shù)y=tan x+1在3π上的最大值為+1，最小值為0.其中正確說法的序號(hào)是_.2.2019·蘇北四市調(diào)研函數(shù)fx=sin+xπ·sin-xπ+sin xcos xx∈R.1求f6π的值;2在ABC中，假設(shè)f2A=1，求sin B+sin C的最大值.3.函數(shù)fx=a+sin xx+b，當(dāng)x∈0，π時(shí)，fx的值域是3,4，求a，b的值.4.2019·廣東函數(shù)fx=2cos6π其中ω>0，x∈R的最小正周期為10π.1求ω的值;2設(shè)α，β∈2π，fπ5=-56，fπ5=1716，求cosα+β的值.6.練習(xí)答案1.2. 1 f6π=1. 2 sin B+sin C的最大值為.3. -1b=3或.b=4，4.1ω=51