余弦定理的前世

1、.余弦定理的前世 學(xué)夫子假如要算起最古老的數(shù)學(xué)定理，那自是勾股定理遠(yuǎn)在幾千年前的巴比倫時(shí)期就已經(jīng)存在；要算起證明方法最多的數(shù)學(xué)定理，那也是勾股定理有四五百種方法，愛因斯坦，美國(guó)總統(tǒng)這些人都參與進(jìn)來。今日讓我們簡(jiǎn)單回味一下勾股定理的前世今生，對(duì)這偉大的數(shù)學(xué)定理重新瞻仰。勾股定理的最早記錄，來自美索不達(dá)米亞時(shí)期的數(shù)學(xué)泥版。在一塊泥版上，刻著“構(gòu)成直角三角形的各邊長(zhǎng)，比方3,4,5，5,12,13等，這大概是最早的畢達(dá)哥拉斯數(shù)組的最早記錄，雖然其遠(yuǎn)在畢達(dá)哥拉斯之前。不過，巴比倫人并沒有將之寫成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式，他們只是將這些數(shù)組列成表格，方便計(jì)算。很顯然，這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)都是為理解決實(shí)際問題。而且嚴(yán)格來

2、說，巴比倫人也沒有發(fā)現(xiàn)真正的勾股定理，但這作為勾股定理的雛形是絕對(duì)有道理的，因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯本人都很有可能是從巴比倫人那里學(xué)到了勾股定理。這事一下子就得跳到古希臘時(shí)期，正如我們所知道的，由畢氏學(xué)派發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一般形式。勾股定理在西方也就被冠以“畢達(dá)哥拉斯定理的稱號(hào)，在中國(guó)，最早記錄勾股定理的文獻(xiàn)，應(yīng)該是?周髀算經(jīng)?。不管怎么說，勾股定理的形式也就完全確定下來，至此以后就再也沒有變過。但對(duì)其不斷的證明和探究卻沒有停頓，直到如今仍然如此愛因斯坦就是因?yàn)樗?dú)立證明出了勾股定理，產(chǎn)生出了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，由此走上科學(xué)之路，有不明真相的童鞋據(jù)此寫下這樣一個(gè)等式：E=Mc2=Ma2+b2。與我們知道的不同，

3、古時(shí)的勾股定理并非如我們?nèi)缃竦男问絻芍苯沁吰椒胶偷扔谛边叺钠椒健９畔ＥD人對(duì)幾何的崇拜，使得勾股定理的描繪形式在很長(zhǎng)一段時(shí)間里都是幾何語(yǔ)言兩直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積。所以有后人對(duì)其表述形式作出了推廣，比方將正方形改成三個(gè)相似圖形。由于勾股定理作用在直角三角形中如此有效，人們自然會(huì)想到一般的三角形會(huì)不會(huì)由此類似的結(jié)論，對(duì)余弦定理的討論由此展開。當(dāng)然，由于在古代尚未開展處“三角函數(shù)，甚至于連角度的概念都沒有完全形成，所以所出現(xiàn)的余弦定理都只是現(xiàn)代余弦定理的幾何等價(jià)形式。比方古希臘時(shí)期歐幾里得，在其?幾何本來?里就闡述了幾條余弦定理的等價(jià)命題：1：在鈍角三角形中，鈍角對(duì)邊上的正方

4、形，比鈍角兩夾邊上的正方形之和大一個(gè)矩形的兩倍，這個(gè)矩形就是由一銳角向?qū)叺难娱L(zhǎng)線做垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構(gòu)成的矩形。2：在銳角三角形中，銳角對(duì)邊上的正方形，比銳角兩夾邊上的正方形之和小一個(gè)矩形的兩倍，這個(gè)矩形就是由一銳角向?qū)呑龃咕€，垂足到原銳角頂點(diǎn)之間的一段與該邊所構(gòu)成的矩形。將這兩個(gè)命題翻譯成幾何語(yǔ)言，就是在如以下圖所示的圖形中：到了希臘的“白銀時(shí)代，著名數(shù)學(xué)家帕普斯也對(duì)勾股定理進(jìn)展了有意思的推廣：在一個(gè)任意三角形ABC中，帕普斯在AB邊上做一個(gè)平行四邊形ABDE，在BC邊上做平行四邊形BCFG，然后在AC邊上做一個(gè)平行四邊形，使其面積等于ABDE和BCFG之和。要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目

5、的并不難，只需延長(zhǎng)ED和FG，使其交于H點(diǎn)，連接HB并延長(zhǎng)之并交AC于J，做AL平行HJ，CK平行HJ，交ED和GF于L點(diǎn)和F點(diǎn)，那么平行四邊形ALKC就是所作的。假如把兩個(gè)平行四邊形變成正方形，那這個(gè)結(jié)論就更像勾股定理的推廣了。十世紀(jì)左右阿拉伯的庫(kù)拉也有他的“余弦定理：庫(kù)拉的推廣非常有意思，這實(shí)際上是對(duì)歐幾里得證明勾股定理時(shí)所采用的紙風(fēng)車圖所做的很優(yōu)美的一般化，唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師。“教授和“助教均原為學(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目

6、的講授者；而后者那么于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng)生徒。“助教在古代不僅要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國(guó)子監(jiān)國(guó)子學(xué)一科的“助教，其身價(jià)不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士“講師，還是“教授“助教，其今日老師應(yīng)具有的根本概念都具有了。如左圖所示，在三角形ABC各邊做正方形，并從A點(diǎn)畫兩條直線AF與AG交BC于F和G，且AFB=AGC=A，又作FH平行于GI平行于BD，那么有：AB和AC邊上的正方形面積之和，等于BC邊上的正方形面積減去矩形FGJH面積。雖然庫(kù)拉并沒有給出證明，但這個(gè)結(jié)

7、論很容易運(yùn)用相似三角形的原理進(jìn)展證明。庫(kù)拉時(shí)代早已具備這些內(nèi)容。死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國(guó)有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生才能開展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進(jìn)步學(xué)生的語(yǔ)文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背與進(jìn)步學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是進(jìn)步學(xué)生語(yǔ)文程度的重要前提和根底。其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積