中考幾何應(yīng)用題

1、 幾何應(yīng)用題幾何應(yīng)用問(wèn)題是近幾年來(lái)中考的一大考點(diǎn)，它是把幾何知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的一類(lèi)題型，一般有這樣幾類(lèi)：（一）三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；（二）幾何設(shè)計(jì)問(wèn)題；（三）折線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；（四）幾何綜合應(yīng)用問(wèn)題。解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的背景，抽象出幾何模型，利用幾何知識(shí)加以解決，然后再回到實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行檢驗(yàn)、解釋、反思，解題時(shí)應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想。一、三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例1某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖所示，ACB=90，AC=80米，BC=60米。（1） 若入口E在邊AB上，且A，B等距離，求從入口E到出口C的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)； （2） 若線(xiàn)段CD是一

2、條水渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，則D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，此水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？ 分析：本題是一道直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題，解決此題首先要弄清等距離，最短路線(xiàn)，最低造價(jià)幾個(gè)概念。 1E點(diǎn)在AB上且與AB等距離，說(shuō)明E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)到C點(diǎn)的最短路線(xiàn)即為線(xiàn)段CE。 2水渠DC越短造價(jià)越低，當(dāng)DC垂直于AB時(shí)最短，此時(shí)造價(jià)最低。 本題考察了中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離，點(diǎn)與直線(xiàn)的距離，以及解直角三角形的知識(shí)。 解：（1）由題意知，從入口E到出口C的最短路線(xiàn)就是RtABC斜邊上的中線(xiàn)CE。 在RtABC中，AB=（米）。CE=AB=100=50（米）。即從入口E到出口C的最短路

3、線(xiàn)的長(zhǎng)為50米。（3） 當(dāng)CD是RtABC斜邊上的高時(shí)，CD最短，從而水渠的造價(jià)最低。 CDAB=ACBC，CD=米）。AD=64（米）。所以，D點(diǎn)在距A點(diǎn)64米的地方，水渠的造價(jià)最低，其最低造價(jià)為4810=480元。例2一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1，圖2所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法符合要求。（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）。 分析：本題是一道利用相似三角形性質(zhì)來(lái)解決的幾何應(yīng)用問(wèn)題?？上仍O(shè)出正方形邊長(zhǎng)，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)大則面積大。解：由

4、AB=1.5米，SABC=1.5平方米，得BC=2米.設(shè)甲加工的桌面邊長(zhǎng)為米，DE/AB，RtCDERtCBA ,，即，解得。如圖，過(guò)點(diǎn)B作RtABC斜邊AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB1.5米，BC2米，平方米，C2.5米，BH1.2米。設(shè)乙加工的桌面邊長(zhǎng)為y米，DE/AC，RtBDERtBAC，即，解得。因?yàn)?，即，所以甲同學(xué)的加工方法符合要求。二、幾何設(shè)計(jì)問(wèn)題例3.在一服裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料（如圖）。現(xiàn)找出其中的一種，測(cè)得C90，ABBC4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在ABC的邊上，且扇形與ABC的其他邊相切。請(qǐng)

5、設(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出扇形半徑）。分析：本題考察分類(lèi)討論，切線(xiàn)的性質(zhì)以及作圖能力。本題的關(guān)鍵是找出圓心和半徑，分類(lèi)時(shí)應(yīng)考慮到所有情況，可以先考慮圓心的位置，在各邊上或在各頂點(diǎn)，然后排除相同情況。解：可以設(shè)計(jì)如下四種方案： 例4.小明家有一塊三角形菜地，要種植面積相等的四種蔬菜，請(qǐng)你設(shè)計(jì)四種不同的分割方案（分成三角形或四邊形不限）。方案一方案二方案三方案四分析：本題如從三角形面積方面考慮可以把其中一邊四等分，再分別與對(duì)角頂點(diǎn)連結(jié)；也可從相似三角形性質(zhì)來(lái)考慮。解：三、折線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例5. 如圖，客輪沿折線(xiàn)ABC從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速航行，貨輪

6、從AC的中點(diǎn)D出發(fā)沿直線(xiàn)勻速航行，將一批物品送達(dá)客輪兩船同時(shí)起航，并同時(shí)到達(dá)折線(xiàn)ABC上的某點(diǎn)E處已知ABBC200海里，ABC90，客輪速度是貨輪速度的2倍(1) 選擇：兩船相遇之處E點(diǎn)在 ( )（A）線(xiàn)段AB上 （B）線(xiàn)段BC上 （C）可以在線(xiàn)段AB上，也可以在線(xiàn)段BC上(2) 求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？(結(jié)果保留根號(hào)) 分析：本題是一道折線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，考察合情推理能力和幾何運(yùn)算能力，首先要對(duì)兩船同時(shí)到達(dá)的E點(diǎn)作一個(gè)合理判斷，E點(diǎn)不可能在AB上，因?yàn)楫?dāng)E點(diǎn)在AB上時(shí)，DE的最短距離為D到AB中點(diǎn)的距離，而此時(shí)AB=2DE，當(dāng)E不是中點(diǎn)時(shí)，AB2DE，所以E點(diǎn)不可能在AB上。然后

7、利用代數(shù)方法列方程求解DEABCD解：（1）B（2）設(shè)貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了x海里過(guò)D作DFCB，垂足為F，連結(jié)DE則DE=x，AB+ BE=2x在等腰直角三角形ABC中，ABBC200，D是AC中點(diǎn)，DF100，EF3002x在RtDEF中，DE 2DF 2 +EF 2，x 2100 2+(3002x) 2解之，得200，DE=答：貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了海里四、綜合類(lèi)幾何應(yīng)用例6 .如圖1，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN=30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00米以?xún)?nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲

8、影響？請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18千米/時(shí)，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？ PNQMA分析：本題是一道關(guān)于解直角三角形和圓的幾何綜合應(yīng)用問(wèn)題 要判斷是否受到噪聲的影響，只需求出A點(diǎn)到直線(xiàn)MN 的距離AB，當(dāng)此AB100米時(shí)就要受到噪聲影響；第二 個(gè)問(wèn)題只需要噪聲影響路段的長(zhǎng)度，就能求出受影響的時(shí)間。解：過(guò)點(diǎn)A作ABMN，垂足為B在RtABP中：APB=QPN=30AP=160米則AB=AP=80米，所以學(xué)校會(huì)受到噪聲影響。以A為圓心，100米為半徑作A,交MN于C、D兩點(diǎn)，在RtABC中：AC=100米，AB=80米則：BC=（米）CD=2BC=120（米）；18千米/小時(shí)=

9、5米/秒受影響時(shí)間為：120米5米/秒=24（秒）例7. 馬戲團(tuán)演出場(chǎng)地的外圍圍墻是用若干塊長(zhǎng)為5米、寬2.5米的長(zhǎng)方形帆布縫制成的，兩塊帆布縫合的公共部分是0.1米，圍成的圍墻高2.5米（如下圖）2.5米5米0.1米(1) 若先用6塊帆布縫制成寬為2.5米的條形，求其長(zhǎng)度；(2) 若用x塊帆布縫制成密封的圓形圍墻，求圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)y與所用帆布的塊數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 要使圍成的圓形場(chǎng)地的半徑為10米，至少需要買(mǎi)幾塊這樣的帆布縫制圍墻?分析：本題的關(guān)鍵是弄清縫制成條形和縫制成密封的圓形后有幾塊公共部分。解：(1)6塊帆布縫制成條形后，有5塊公共部分，所以6塊縫制后的總長(zhǎng)度為6550.1

10、29.5(米)(2)x塊帆布縫制成密封的圓形圍墻后有x塊公共部分，設(shè)圓形圍墻的周長(zhǎng)為米，則y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x(3) 要圍成半徑為10米的圓形場(chǎng)地，則2104.9x(塊)要到商店買(mǎi)這樣的帆布13塊。解幾何應(yīng)用問(wèn)題要求我們必須具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)知識(shí)，較強(qiáng)的閱讀理解能力，以及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握，只要我們有針對(duì)性地復(fù)習(xí)，就一定能掌握好幾何應(yīng)用問(wèn)題的解決方法。練習(xí)：1、 在生活中需測(cè)量一些球（如足球、籃球）的直徑。某校研究性學(xué)習(xí)小組，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)下面的測(cè)量方法：如圖8，將球放在水平的桌面上，在陽(yáng)光的斜射下，得到球的影子AB，設(shè)光線(xiàn)DA、CB分別與球相切于點(diǎn)E、F，則EF即為

11、球的直徑。若測(cè)得AB的長(zhǎng)為40 cm，ABC30。請(qǐng)你計(jì)算出球的直徑（精確到1 cm）。30ABCDEF2、 如圖；某人在公路上由A到B向東行走，在A處測(cè)得公路旁的建筑物C在北偏東60方向。到達(dá)B處后，又測(cè)得建筑物C在北偏東45方向。繼續(xù)前進(jìn)，若此人在行走過(guò)程中離建筑物C的最近距離是（25+25）米，求AB之間的距離。3、 操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線(xiàn)DC相交于點(diǎn)Q。探究：設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為x。（1） 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線(xiàn)段PQ與線(xiàn)段PB有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；（2） 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊