數(shù)學(xué)建模理論

1、第一章 概述科學(xué)實驗是人類認(rèn)識社會和改造自然的基本活動和有效手段?？茖W(xué)實驗的兩條重要途徑：1.在實際系統(tǒng)上進(jìn)行實驗實物實驗（物理實驗）2.利用模型完成實驗研究模擬（仿真）模型實驗研究 系統(tǒng)建模與仿真模型充當(dāng)著實際系統(tǒng)的替身，自然應(yīng)該反映被研究系統(tǒng)的表征和內(nèi)在特性。模型研究是一種最古老的工程方法和技術(shù)，其歷史可追溯至我們祖先的仿鳥飛行、古代建筑及造船業(yè)中對比例模型（樣板）的應(yīng)用、三國時期的木牛流馬（有兩種說法：用輪和用腿。真實的模型還有待于考證，其中的原因，有句話說得比較好：在于搞歷史的不通機(jī)械，而搞機(jī)械的又沒有考證這些的習(xí)慣 ）。隨著科學(xué)技術(shù)和計算機(jī)的發(fā)展，這種模型實驗研究才逐漸形成一門嶄新的

2、綜合性邊緣科學(xué)技術(shù)，即系統(tǒng)建模與仿真技術(shù)。它以相似原理、模型理論、系統(tǒng)技術(shù)、信息技術(shù)以及仿真應(yīng)用領(lǐng)域的有關(guān)專業(yè)技術(shù)為基礎(chǔ)，以計算機(jī)系統(tǒng)、與應(yīng)用有關(guān)的物理效應(yīng)設(shè)備及仿真器為工具，利用模型對系統(tǒng)（設(shè)想或?qū)嶋H）進(jìn)行研究的一門多學(xué)科的綜合性技術(shù)。建模與仿真技術(shù)的核心內(nèi)容是模型的建立、驗證、試驗和運(yùn)行。系統(tǒng)建模與仿真技術(shù)是一門通用的支撐技術(shù)，具有學(xué)科面廣、綜合性強(qiáng)、應(yīng)用領(lǐng)域?qū)挕o破壞性、可多次重復(fù)、安全、經(jīng)濟(jì)、可控、不受氣候條件和場地空間的限制等獨(dú)特優(yōu)點，同時也是一門不斷發(fā)展的高新技術(shù)，已成為現(xiàn)代實驗工程和科學(xué)研究的主要技術(shù)手段，被廣泛應(yīng)用于國防和國民經(jīng)濟(jì)的各個領(lǐng)域。它被稱為繼科學(xué)理論和實驗研究之后的第

3、三種認(rèn)識世界和改造世界的工具，能以其他方法無法替代的獨(dú)特功能為決策者、設(shè)計師和工程技術(shù)人員在面對一些重大、復(fù)雜的棘手問題時，提供一個靈活的、適用的環(huán)境，以檢驗關(guān)鍵性見解、創(chuàng)造的新觀點和所作決斷的正確性和有效性，高效地幫助人們理解實際系統(tǒng)的本質(zhì)，便于進(jìn)行科學(xué)決策與推斷。它對于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展越來越發(fā)揮著巨大的推動作用，被認(rèn)為是各個學(xué)科的“交匯點”。1.1 系統(tǒng) 系統(tǒng)的一般概念系統(tǒng)概念：具有特定的功能，按照某些規(guī)律結(jié)合起來，相互作用、相互依存的所有物體的集合或總和（事物總體）。一個系統(tǒng)以特有的表征和內(nèi)在特性區(qū)別于其他系統(tǒng),主要由構(gòu)成系統(tǒng)的四方面確定：實體：存在于系統(tǒng)中每一項確定的物體，是系統(tǒng)的具體對

4、象；確定了系統(tǒng)的構(gòu)成、邊界；屬性：實體所具有的每一項有效的特征，是描述實體特性的信息（常以狀態(tài)和參數(shù)表征）；也稱為描述變量，描述每個實體的特征；活動：在系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生的任何變化過程，是指隨時間推移發(fā)生的狀態(tài)變化；定義了系統(tǒng)內(nèi)部實體之間的相互作用；環(huán)境：表示系統(tǒng)所處的界面狀況（包括干擾、約束等），包括那些影響系統(tǒng)而不受系統(tǒng)直接控制的全部因素。系統(tǒng)是不斷運(yùn)動發(fā)展和變化的。由于 組成系統(tǒng)的實體之間的相互作用而引起的屬性變化，使得在不同時刻，系統(tǒng)中實體與屬性都可能會發(fā)生變化，這種變化通常用狀態(tài)的概念來描述。系統(tǒng)狀態(tài)：任意時刻由存在于系統(tǒng)內(nèi)部的實體、屬性、活動的信息總和稱為系統(tǒng)狀態(tài)，常用系統(tǒng)狀態(tài)的變化研究

5、系統(tǒng)的動態(tài)情況。用于表示系統(tǒng)狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量。下面是兩個實際系統(tǒng)的例子：比較器調(diào)節(jié)器電爐溫度計溫度偏差控制電壓擾動溫度實際溫度溫度給定值電爐溫度調(diào)節(jié)系統(tǒng) 實體：比較器、調(diào)節(jié)器、電爐、溫度計 屬性：溫度、溫度偏差、控制電壓 活動：控制電壓的變化經(jīng)理部市場部采購部倉儲部銷售部商品銷售系統(tǒng)從商品銷售系統(tǒng)圖上可以看出：該系統(tǒng)的實體、屬性、活動等。對一個系統(tǒng)進(jìn)行分析時，必須考慮系統(tǒng)所處的環(huán)境 ，而首要的便是劃分系統(tǒng)與其所處的環(huán)境之間的界線，即系統(tǒng)的邊界。系統(tǒng)的邊界中包含系統(tǒng)的所有實體。在商品銷售系統(tǒng)中，如果僅考慮商品庫存量的變化情況，那么系統(tǒng)只需包含采購部門、倉庫和銷售部門即可。但如果要研究商品進(jìn)

6、貨與銷售的關(guān)系時，系統(tǒng)中還應(yīng)包括市場調(diào)查部門，因為商品銷售狀況及對進(jìn)貨的影響這部分職能是由該部門完成的。這樣，根據(jù)研究的對象與目的不同，系統(tǒng)可大可小，而且系統(tǒng)本身也可由一系列相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成，子系統(tǒng)又可以有更低一級的子系統(tǒng)構(gòu)成，并且系統(tǒng)和它的部分環(huán)境又構(gòu)成一個更大的系統(tǒng)，這就是系統(tǒng)等級結(jié)構(gòu)。研究系統(tǒng)，首先需要明確研究目的進(jìn)而描述清楚所研究系統(tǒng)的三要素（實體、屬性和活動）及環(huán)境。只有在對系統(tǒng)的三要素和環(huán)境作了描述之后，系統(tǒng)才是確定的。 系統(tǒng)的分類可以從不同角度對系統(tǒng)進(jìn)行分類：按照系統(tǒng)特性：工程系統(tǒng)（物理）：機(jī)械、電氣、化工、武器(為滿足某種需要或?qū)崿F(xiàn)某預(yù)定功能采用某種構(gòu)造形成)非工程系統(tǒng)（非

7、物理） ：社會、管理、經(jīng)濟(jì)、交通、生物等(由自然和社會在發(fā)展過程中形成的，被人們在長期的生產(chǎn)勞動和社會實踐中逐步認(rèn)識)按照對系統(tǒng)內(nèi)部特性的了解程度：白色系統(tǒng)：（內(nèi)部特性全部已知）； 黑色系統(tǒng)：（內(nèi)部特性全部未知）； 灰色系統(tǒng)：（內(nèi)部特性部分已知，部分未知）按照系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)性質(zhì)：a)線性系統(tǒng) 與 非線性系統(tǒng)；b)定常系統(tǒng) 與 時變系統(tǒng)；c)集中參數(shù)系統(tǒng) 與 分布參數(shù)系統(tǒng)；d)單輸入單輸出系統(tǒng) 與 多輸入多輸出系統(tǒng)按系統(tǒng)內(nèi)子系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系分類：簡單系統(tǒng)：數(shù)/模轉(zhuǎn)換、穩(wěn)壓、簡單控制系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)：軍事作戰(zhàn)系統(tǒng)、國民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、大型仿真系統(tǒng)等按子系統(tǒng)的數(shù)量：小系統(tǒng)；大系統(tǒng)；巨系統(tǒng)：又分為簡單巨系

8、統(tǒng)與復(fù)雜巨系統(tǒng)按照控制理論：開環(huán)系統(tǒng)：售票機(jī)、洗衣機(jī)； 閉環(huán)系統(tǒng)：舵系統(tǒng)、天線隨動系統(tǒng)、宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)按照自然屬性：人造系統(tǒng)：工程系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等；自然系統(tǒng)：太陽系、海洋系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等按照物質(zhì)屬性：實物系統(tǒng)：建筑物、計算機(jī)、機(jī)床、兵器等；概念系統(tǒng)：思想體系、管理、規(guī)章制度等（實物系統(tǒng)可以是人造或自然系統(tǒng)。而概念系統(tǒng)必定是人造系統(tǒng)。）按照運(yùn)動屬性：靜態(tài)系統(tǒng)：靜態(tài)平衡力系統(tǒng)等；動態(tài)系統(tǒng)：人體系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、動力學(xué)系統(tǒng)等按系統(tǒng)環(huán)境因素：開放系統(tǒng)：包含外生活動的系統(tǒng)任何一個系統(tǒng)都經(jīng)常受到系統(tǒng)之外因素變化的影響，這種對系統(tǒng)的活動結(jié)果產(chǎn)生影響的外界因素成為系統(tǒng)的環(huán)境。考慮到系統(tǒng)環(huán)境因素，系統(tǒng)活動

9、可分為：內(nèi)生活動系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生的活動；外生活動系統(tǒng)外部發(fā)生的活動，即在系統(tǒng)環(huán)境中發(fā)生，且對系統(tǒng)有影響的活動。因此系統(tǒng)可以分為封閉系統(tǒng)：沒有外生活動的系統(tǒng)；開放系統(tǒng)：包含外生活動的系統(tǒng)按照系統(tǒng)中起主要作用的狀態(tài)隨時間的變化：連續(xù)系統(tǒng)：狀態(tài)隨時間連續(xù)變化離散事件系統(tǒng)：狀態(tài)的變化在離散的時間點上發(fā)生，且往往又是隨機(jī)的混合系統(tǒng)從模型研究角度來講，把系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)、離散事件系統(tǒng)、混合系統(tǒng)是非常合理的，因為連續(xù)系統(tǒng)和離散事件系統(tǒng)在模型形式、建模方法和仿真技術(shù)上是截然不同的。 連續(xù)、離散事件和混合系統(tǒng) 連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)狀態(tài)隨時間連續(xù)變化的系統(tǒng)，系統(tǒng)“事件”所引起的效應(yīng)大小和“事件時刻”之間的區(qū)別，在數(shù)學(xué)上都是

10、無窮小量。連續(xù)系統(tǒng)中發(fā)生的變化主要是平滑的變化，如：導(dǎo)彈飛行過程中的舵面變化、飛行位置的的變化，RLC電路。離散事件系統(tǒng)：系統(tǒng)狀態(tài)（或參數(shù)）只在一些特定時刻被觀測并產(chǎn)生相應(yīng)離散數(shù)據(jù)，即系統(tǒng)操作和狀態(tài)只在離散時刻發(fā)生，且這些時刻常常是隨機(jī)的（不確定的）。離散事件系統(tǒng)中發(fā)生的變化主要是斷續(xù)的變化，如：工廠系統(tǒng)中的產(chǎn)品數(shù)量、服務(wù)系統(tǒng)中的隊列長度，電話系統(tǒng)、交通紅綠燈等?；旌舷到y(tǒng)：一部分具有連續(xù)系統(tǒng)特性，另一部分具有離散事件系統(tǒng)特性，即連續(xù)-離散混合系統(tǒng)。實際系統(tǒng)往往是混合系統(tǒng)，例如：導(dǎo)彈的一、二級分離（質(zhì)量變化），工廠中的機(jī)器運(yùn)行等。 系統(tǒng)研究的類型系統(tǒng)研究可分三類：系統(tǒng)分析：目的是為了了解現(xiàn)有系統(tǒng)

11、或擬建系統(tǒng)的性能和潛力。分析的方法是可以用系統(tǒng)做試驗，但實際上往往先建立一個系統(tǒng)模型，將研究該模型所得的結(jié)果，用來分析實際系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)設(shè)計：是為了得到具有所需要的某些性能的系統(tǒng)，利用建立模型中得到的知識，對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計，是系統(tǒng)達(dá)到需要的性能。 系統(tǒng)假設(shè)：是用于建立社會、經(jīng)濟(jì)、政治、醫(yī)學(xué)系統(tǒng)研究模型的特有方法。這些系統(tǒng)的某些特征是知道的，但是產(chǎn)生這些特征的規(guī)律是完全不知道的。根據(jù)有關(guān)規(guī)律并和已知的系統(tǒng)性能合理的、良好的相匹配的假設(shè)模型，可以更好地幫助了解和研究系統(tǒng)。系統(tǒng)工程則是把系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計有機(jī)地結(jié)合起來，先了解現(xiàn)有系統(tǒng)的實際情況，后改進(jìn)或自行設(shè)計新的系統(tǒng)。1.2 模型 系統(tǒng)模型科學(xué)實

12、驗是人們改造自然和認(rèn)識社會的主要基本活動。在實際系統(tǒng)上進(jìn)行實驗叫做實物試驗或曰物理試驗。除此之外，人們還常常希望在實際系統(tǒng)產(chǎn)生之前描述大型復(fù)雜系統(tǒng)，預(yù)測它們的功能和性能，或者由于某種原因（如有毒、有害、有危險、太昂貴）不易在現(xiàn)實系統(tǒng)上完成實驗時，借助“模型”代替系統(tǒng)本身，在模型上進(jìn)行實驗。于是產(chǎn)生了模型及模型研究的概念。模型是相對于 現(xiàn)實世界或?qū)嶋H系統(tǒng)而言的。建模實際系統(tǒng)模型結(jié)論實際結(jié)論模型實物實驗?zāi)Ｐ蛯嶒灦啻涡薷哪Ｐ湍Ｐ停阂粋€系統(tǒng)（實體、現(xiàn)象、過程）的物理的、數(shù)學(xué)的或其他邏輯的表現(xiàn)形式，以某種確定的形式（如文字、符號、圖表、實物、數(shù)學(xué)公式等）提供關(guān)于系統(tǒng)的知識。系統(tǒng)模型：是對實際系統(tǒng)的一種抽

13、象，是系統(tǒng)本質(zhì)的表述，是人們對客觀世界反復(fù)認(rèn)識、分析，經(jīng)過多級轉(zhuǎn)換、整合等相似過程而形成的最終結(jié)果，它具有與系統(tǒng)相似的數(shù)學(xué)描述或物理屬性，以各種可用的形式，給出研究系統(tǒng)的信息。系統(tǒng)模型可以各種可用的形式（數(shù)學(xué)的或?qū)嶓w的（物理的）給出被研究系統(tǒng)的信息，它具有與系統(tǒng)相似的數(shù)學(xué)描述或物理屬性，通常用系統(tǒng)模型來指導(dǎo)對系統(tǒng)的研究。系統(tǒng)模型不應(yīng)該比研究目的所要求的更復(fù)雜，模型的詳細(xì)程度和精度必須與研究目的相匹配。用來表示一個系統(tǒng)的模型并不是唯一的，對于同一個系統(tǒng)當(dāng)研究目的不同，所要求收集的與系統(tǒng)有關(guān)的信息也是不同的；關(guān)心的方面不同，對同一個系統(tǒng)就可能建立不同的模型。對于多數(shù)研究目的，建立系統(tǒng)模型并不需要考

14、慮系統(tǒng)全部細(xì)節(jié)，一個好的模型不僅是用來代替系統(tǒng)，而且是這個系統(tǒng)的合理簡化，與此相聯(lián)系的是要正確地確定模型的詳細(xì)參數(shù)和精度。模型應(yīng)能反映被替代系統(tǒng)的表征和特性，具有如下主要性質(zhì)：1)等效性（普遍性）：指同一個模型可以從各個角度反映不同的系統(tǒng)。（或者說一種模型與多個系統(tǒng)可能具有相似性。）2)相對精確性：近似度和精確性不可超出應(yīng)有限度和許可條件。過于粗糙的模型將失去過多系統(tǒng)特性而無用，太精確的模型往往會非常復(fù)雜，甚至給模型研究帶來困難。滿意的模型應(yīng)具有考慮諸種條件折衷下的適合精確性。3)可信性：模型必須經(jīng)過檢驗和確認(rèn)，成為代表實際系統(tǒng)的有效模型，即具有良好的置信度。4)異構(gòu)性：同一系統(tǒng)的模型可以具有

15、不同的結(jié)構(gòu)和形式，研究中將選擇最方便、合理的。5)通過性：可以視為“黑箱”，通過向其輸入信息并獲取信息建立起模型的輸入-輸出概念。為什么要使用系統(tǒng)模型：為了研究、分析、設(shè)計和實現(xiàn)一個系統(tǒng)，需要進(jìn)行試驗，可以分為兩大類：在真實系統(tǒng)上進(jìn)行；構(gòu)造模型并用模型試驗來代替在系統(tǒng)上的實驗。后者必不可少，原因有四：1)系統(tǒng)還處于設(shè)計階段，真實系統(tǒng)尚未建立需要了解未來系統(tǒng)的性能，只能通過對模型的試驗來了解；2)在真實系統(tǒng)上進(jìn)行試驗可能會引起破壞或發(fā)生故障，如運(yùn)行狀態(tài)的化工、電力、火箭系統(tǒng)；3)系統(tǒng)無法恢復(fù)，如經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，新政策出臺，經(jīng)過一段時間才能看出效果，若造成損失已經(jīng)無法挽回了；4)試驗條件無法保證，如多次

16、試驗，難以保證每次試驗條件相同，或試驗時間太長、或費(fèi)用昂貴。 系統(tǒng)模型的分類對于系統(tǒng)模型，有許多分類方法：（1）按模型形式分：l 實體模型（物理效應(yīng)） 物理仿真u 靜態(tài)模型系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時屬性的取值u 動態(tài)模型用來描述系統(tǒng)狀態(tài)變化的過渡過程，表示系統(tǒng)活動隨時間變化的結(jié)果l 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)仿真（計算機(jī)仿真）u 靜態(tài)模型u 動態(tài)模型l 概念模型對真實世界及其活動進(jìn)行概念抽象與描述，是運(yùn)用語言、符號和圖框形式，對從所研究的問題抽象出的概念進(jìn)行有機(jī)的組合。實體模型根據(jù)一定的規(guī)則(如相似原理)對系統(tǒng)簡化或比例縮放而得到的復(fù)制品，其外觀與實際系統(tǒng)極為相似，描述的逼真感較強(qiáng)，例如用于風(fēng)洞試驗的飛行器外形，航

17、模等。常用于水利工程、土木工程、船舶工程、飛機(jī)制造等方面。概念模型只用于抽象和常規(guī)設(shè)計，只是系統(tǒng)信息定義的規(guī)范描述，而不用于具體和專門的執(zhí)行設(shè)計。比如軍事行動概念模型，就是對某軍事行動進(jìn)行功能特征、行為特征等方面分析，不涉及到該軍事行動的具體執(zhí)行方案。（2）按基本的數(shù)學(xué)描述分：l 靜態(tài)系統(tǒng)模型 代數(shù)方程，如：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解l 動態(tài)系統(tǒng)模型 連續(xù) 集中參數(shù)：微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程 分布參數(shù)：偏微分方程 離散 時間離散：差分方程、Z變換、離散狀態(tài)方程 離散事件：概率分布、排隊論（3）按對模型求解的方法分：l 用解析法求解的數(shù)學(xué)模型l 用數(shù)值法求解的數(shù)學(xué)模型1.3 數(shù)學(xué)模型及其建立過程 數(shù)學(xué)模型的

18、概念定義：描述實際系統(tǒng)內(nèi)、外部各變量間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。主要包括數(shù)值表達(dá)式和邏輯表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型更通俗的定義：對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)對象特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通過對其研究可揭示系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)動和系統(tǒng)的動態(tài)特性。1)常量、變量、函數(shù)、方程、不等式、并、交、如果、那么、圖形、表格、曲線、序列、程序等都是數(shù)學(xué)模型的重要形式。2)合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)是能夠正確反映系統(tǒng)表征和特性的最簡數(shù)學(xué)表達(dá)式。即被簡化的近似數(shù)學(xué)模型。一般描述：1)系統(tǒng) S ：輸入u，輸出yS(u) 2)S 的數(shù)學(xué)模型為 SM：輸入uM，輸出yM(uM

19、)3)(u)：模型描述誤差理想化： 即理想情況下，對系統(tǒng)s和系統(tǒng)模型sm輸入同樣的函數(shù)u，將獲得相同的輸出，但實際上任何理想化的數(shù)學(xué)模型都不可能無誤差地描述實際系統(tǒng)。因此該式為一個近似式，于是有 實際： 數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的類型一方面與所研究的系統(tǒng)特性有關(guān)，一方面與研究系統(tǒng)的方法有關(guān)。1)線性與非線性、靜態(tài)與動態(tài)、確定性與隨機(jī)性、微觀與宏觀、時不變與時變、集中參數(shù)與分布參數(shù)2)連續(xù)與離散、時域與頻域、輸入輸出與狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)形式(方程特征)數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)形式(方程特征)線性線性方程非線性非線性方程靜態(tài)聯(lián)立方程、含空間變量的偏微分方程動態(tài)含時間變量的微分方程、差分方程、狀態(tài)方程確定性不含

20、隨機(jī)量的各類方程式隨機(jī)性含隨機(jī)量的各類方程式微觀微分方程、差分方程、狀態(tài)方程宏觀聯(lián)立方程、積分方程集中參數(shù)常微分方程分布參數(shù)偏微分方程時不變不含對時間的系數(shù)項的各類方程式時變含時間系數(shù)的各類方程式連續(xù)微分方程離散差分方程參數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式(各類方程)非參數(shù)圖、表時域狀態(tài)方程、微分方程、差分方程頻域頻率特性輸入輸出傳遞函數(shù)、微分方程狀態(tài)空間狀態(tài)方程 數(shù)學(xué)建模及其過程數(shù)學(xué)建模：確定系統(tǒng)的模型形式、結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以得到正確描述系統(tǒng)表征和性狀的最簡數(shù)學(xué)表達(dá)式。建模過程的信息源：1)目標(biāo)和目的：數(shù)學(xué)模型事實上是對一個真實過程給出一個非常有限的映像，同一個實際系統(tǒng)可以有多個研究目的，不同的研究目的將規(guī)定建模過程

21、不同的方向。2)先驗知識：前人已經(jīng)研究成果、類似的實際系統(tǒng)的試驗可獲得的合理的概念3)試驗數(shù)據(jù)：關(guān)于系統(tǒng)的信息能通過對系統(tǒng)的試驗與量測而獲得。在三個信息源的支持下，建立的模型必須經(jīng)過實際應(yīng)用(模型應(yīng)用)的檢驗，最終要看目的是否達(dá)到，如果沒有達(dá)到，那還必須再進(jìn)行一次建模。一般建立數(shù)學(xué)模型的方法有三類：1)分析法/演繹法/理論建模/機(jī)理建模； 2)測試法/歸納法/實驗建模/系統(tǒng)辨識； 3)綜合法分析法是根據(jù)系統(tǒng)的工作原理，運(yùn)用一些已知的定理、定律和原理推導(dǎo)出描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。也可稱之為白箱問題。系統(tǒng)的動態(tài)特性必然表現(xiàn)在變化的輸入輸出數(shù)據(jù)中。通過測試系統(tǒng)在認(rèn)為輸入作用下的輸出相應(yīng)，或正常進(jìn)行時系統(tǒng)

22、的輸入輸出記錄，加以必要的數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)計算，估計出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。也稱之為黑箱問題。上述兩種方法也存在一些問題：分析法是各門學(xué)科大量采用的，但只用于比較簡單的系統(tǒng)(如一些電路、測試系統(tǒng)、過程監(jiān)測、飛行控制等)；而在建立數(shù)學(xué)模型的過程中必須作一些假設(shè)與簡化，否則模型過于復(fù)雜無法求解。測試法無需深入了解系統(tǒng)機(jī)理，但必須設(shè)計一個合理的實驗，以獲得系統(tǒng)的最大信息量。這點往往很困難。因而實際應(yīng)用時，是上述兩種方法的綜合，也就是綜合法。運(yùn)用分析法列出系統(tǒng)的理論數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用系統(tǒng)辨識法來確定模型中參數(shù)。綜合法也可稱之為灰箱問題。 這剛好 與系統(tǒng)的一種分類方式對應(yīng)。數(shù)學(xué)建模的基本原則1)必須滿足對數(shù)學(xué)模型的

23、簡明性、精確性、層次性、多用性、集合性、可靠性、標(biāo)準(zhǔn)化和可辨識性等一般要求。簡明性包括簡單性和清晰性。簡單性：從實用的觀點看，由于在建模過程中忽略了一些次要因素和某些非可測變量的影響，因此，實際的模型是一個簡化了的模型。一般而言，在實用的前提下，越簡單越好。清晰性：一個復(fù)雜的系統(tǒng)是由多個子系統(tǒng)組成，因此對應(yīng)的系統(tǒng)也是由許多子模型構(gòu)成。在子模型間除為了研究目的所必須的信息聯(lián)系外，互相耦合要盡可能少，結(jié)構(gòu)要盡可能清晰。精確性：建立系統(tǒng)模型時，應(yīng)該考慮所收集的、用以建立模型的信息的準(zhǔn)確性，包括確認(rèn)所對應(yīng)的原理和理論的正確性和應(yīng)用范圍，以及檢驗建模過程中針對系統(tǒng)所做的假設(shè)的正確性。在建立實際系統(tǒng)的模型

24、時，精確性和復(fù)雜性是一對矛盾，找出這兩者的折中解決方法往往是實際系統(tǒng)建模的關(guān)鍵。層次性：模型應(yīng)當(dāng)具有合理的層次。此外，模型中應(yīng)該只包括與研究目的有關(guān)的那些信息。多用性和標(biāo)準(zhǔn)化可以放在一起理解：比如對防空導(dǎo)彈系統(tǒng)的研究，就需要考慮陸基的和?；鶅煞N環(huán)境下的情況，即多用性，除了研究單枚導(dǎo)彈的發(fā)射細(xì)節(jié)和飛行規(guī)律之外，還要綜合計算多枚導(dǎo)彈發(fā)射時的作戰(zhàn)效能，即集合性，同時也需要與其他系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)合，組成更大系統(tǒng)時，計算戰(zhàn)場態(tài)勢，這就需要對各系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即制定一個統(tǒng)一的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)，各子系統(tǒng)都適用，比如統(tǒng)一各子系統(tǒng)的輸入輸出格式，計算時的統(tǒng)一單位制都輸入標(biāo)準(zhǔn)化內(nèi)容。可靠性：簡單理解就是 可靠性越高，實驗中

25、模型可以無故障工作的時間越長?？杀孀R性：模型結(jié)構(gòu)必須具有可辨識的形式，即系統(tǒng)的模型必須有確定的描述或表示方式，而在這種描述方式下與系統(tǒng)性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)必須是唯一確定的解。若一個模型結(jié)構(gòu)中具有無法估計的參數(shù)，該模型就無實用價值 。2)必須考慮模型功能是否滿足所研究問題的需要；滿足需要條件下模型形式是否合理經(jīng)濟(jì)；模型是否易實現(xiàn)；模型運(yùn)轉(zhuǎn)是否穩(wěn)定；是否可以達(dá)到預(yù)期的精度要求3)必須選擇合理建模方法4)建立過程：觀察和分析實際系統(tǒng)提出問題 做出假設(shè)系統(tǒng)描述構(gòu)筑形式化模型模型求解模型有效性分析(模型校核、驗證與確認(rèn)) 修改模型(多次) 最終確認(rèn)有效后驗?zāi)Ｐ湍Ｐ褪褂?必要時進(jìn)一步修改)1.4 系統(tǒng)仿真系統(tǒng)仿

26、真技術(shù)是建立在系統(tǒng)科學(xué)、系統(tǒng)辨識、控制理論、計算方法和計算機(jī)技術(shù)等學(xué)科上的一門綜合性很強(qiáng)的技術(shù)科學(xué)。它以計算機(jī)和專用實驗設(shè)備為工具，以物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，通過進(jìn)行數(shù)值計算方法，對已經(jīng)存在的或商不存在的系統(tǒng)進(jìn)行分析、研究和設(shè)計。系統(tǒng)仿真經(jīng)歷了三次大的變革，即模擬仿真、混合仿真與全數(shù)字仿真，得到了高度發(fā)展和廣泛應(yīng)用。目前計算機(jī)仿真技術(shù)不但是科學(xué)研究的有力工具，也是分析、綜合各類工程系統(tǒng)或非工程系統(tǒng)的一種研究方法和有力的手段。 計算機(jī)仿真就是建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并利用該模型在計算機(jī)上運(yùn)行，進(jìn)行系統(tǒng)科學(xué)實驗研究的全過程。數(shù)學(xué)模型和仿真計算機(jī)是計算機(jī)仿真系統(tǒng)的核心。第2章 連續(xù)系統(tǒng)的建模技術(shù)連續(xù)系統(tǒng)

27、在概論中已經(jīng)作了定義，它廣泛存在于航空、航天、動力、控制、化工等領(lǐng)域中。描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型雖然很多，但大體上可以歸為三類：即連續(xù)時間模型、離散時間模型、連續(xù)-離散混合模型。為方便起見，下面分線性連續(xù)系統(tǒng)和非線性連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行討論。2.1 連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型形式 線性連續(xù)系統(tǒng)1)連續(xù)時間模型假定一個系統(tǒng)的輸入量u(t)、輸出量y(t)及內(nèi)部狀態(tài)變量x(t)都是時間t的連續(xù)函數(shù)，常有如下四種模型形式：u 微分方程u 傳遞函數(shù)u 權(quán)函數(shù)零初始條件下，系統(tǒng)對理論脈沖函數(shù)(t)輸入的響應(yīng)g(t)稱為權(quán)函數(shù)，也成為脈沖過渡函數(shù)。且有，。且對任意函數(shù)u(t)作用的系統(tǒng)響應(yīng)y(t)，可用卷積描述，?？梢宰C明

28、，。u 狀態(tài)空間表達(dá)式由狀態(tài)方程和輸出方程構(gòu)成，其矩陣形式為 A為狀態(tài)系數(shù)矩陣，B為輸入系數(shù)矩陣，C為輸出系數(shù)矩陣，x為狀態(tài)矩陣前三種模型僅描述系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關(guān)系，并未涉及內(nèi)部情況，故稱為系統(tǒng)的外部模型。狀態(tài)空間表達(dá)式 是系統(tǒng)的內(nèi)部模型。2)離散時間模型假定一個系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部狀態(tài)變量都是時間的離散續(xù)函數(shù)，分別為時間序列 u(k) , y(k) , x(k) ，亦有如下四種模型形式：u 差分方程u Z傳遞函數(shù)(脈沖傳遞函數(shù))u 權(quán)序列，可以證明：u 離散狀態(tài)空間表達(dá)式3)連續(xù)-離散混合模型假定有一個系統(tǒng)，它的環(huán)節(jié)中有的狀態(tài)變量是連續(xù)量，而有的環(huán)節(jié)狀態(tài)變量是離散變量，即系統(tǒng)

29、由離散和連續(xù)兩部分組成，那么該系統(tǒng)自然要使用連續(xù)及離散時間兩類模型來描述。非線性連續(xù)系統(tǒng)所有系統(tǒng)都具有一定程度的非線性。非線性可以分為固有(自然)非線性和外加(人工)非線性。若一個系統(tǒng)的工作范圍較小，且包含的非線性較光滑，那么該系統(tǒng)可由某個線性化系統(tǒng)來適當(dāng)逼近，它的數(shù)學(xué)模型形式可用前述任何一種線性系統(tǒng)模型形式描述。具有嚴(yán)重非線性不可線性化的系統(tǒng)稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)，必須引進(jìn)系統(tǒng)非線性特性的數(shù)學(xué)描述，即建立系統(tǒng)的非線性模型。非線性的基本數(shù)學(xué)模型時非線性方程，可以是代數(shù)方程、微分方程和差分方程等。下表給出了這些模型形式與非線性系統(tǒng)類型的一般關(guān)系。非線性方程形式非線性系統(tǒng)類型代數(shù)方程具有靜態(tài)非線性特性

30、的系統(tǒng)常微分方程集中參數(shù)的非線性系統(tǒng)偏微分方程分布參數(shù)的非線性系統(tǒng)差分方程非線性離散時間系統(tǒng)此外，根據(jù)數(shù)學(xué)特性還可以把 非線性 分為 連續(xù)非線性 和斷續(xù)非線性(強(qiáng)非線性)。這里“強(qiáng)”非線性主要有：飽和特性、間隙特性、不靈敏區(qū)特性、繼電特性、干摩擦或黏摩擦特性、變增益特性、多變量非線性等。這些特性的具體的描述函數(shù)，有興趣的同學(xué)可以課外自己查閱資料。2.2 連續(xù)系統(tǒng)的建模方法 微分方程的機(jī)理建模方法微分方程是系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型。在自然界里，許多系統(tǒng)，不管是機(jī)械的、電氣的、液壓的、氣動的，還是熱力的等都可以通過微分方程來描述。由微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、差分方程和狀態(tài)方程等多種數(shù)學(xué)模型。因此

31、怎樣建立系統(tǒng)的微分方程是建模技術(shù)中的重要內(nèi)容。系統(tǒng)的微分方程可以通過反映具體系統(tǒng)內(nèi)在運(yùn)動規(guī)律的物理學(xué)定理來獲得。如機(jī)械系統(tǒng)的牛頓定理、能量守恒定律，電學(xué)系統(tǒng)中的歐姆定理、基爾霍夫定律，以及其他一些物理學(xué)基本定律等。這些物理學(xué)定律是建立系統(tǒng)微分方程的基礎(chǔ)。微分方程建模法有機(jī)理建模法、拉普拉斯逆變換法、變分法和非線性方程的線性化等方法。機(jī)理建模法也稱為直接分析法或解析法，是應(yīng)用最廣泛的一種建模方法。 一般是在若干簡化假設(shè)條件下，以各學(xué)科專業(yè)知識為基礎(chǔ)，通過分析系統(tǒng)變量之間的關(guān)系和規(guī)律，而獲得解析型數(shù)學(xué)模型。 其實質(zhì)是應(yīng)用自然科學(xué)和社會科學(xué)中被證明是正確的理論、原理和定律或推論，對被研究系統(tǒng)的有關(guān)要

32、素（變量）進(jìn)行理論分析、演繹歸納，從而構(gòu)造出該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。機(jī)理分析法建模步驟如下： 1) 分析系統(tǒng)功能、原理，對系統(tǒng)做出與建模目標(biāo)相關(guān)的描述； 2) 找出系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量； 3) 按照系統(tǒng)（部件、元件）遵循的物化（或生態(tài)、經(jīng)濟(jì)）規(guī)律列寫出各部分的微分方程或傳遞函數(shù)等； 4) 消除中間變量，得到初步數(shù)學(xué)模型； 5) 進(jìn)行模型標(biāo)準(zhǔn)化； 6) 進(jìn)行驗?zāi)＃ū匾獣r需要修改模型）。元件和環(huán)節(jié)：在了解利用機(jī)理建模法建立系統(tǒng)微分方程的步驟之前，先來學(xué)習(xí)一下元件和環(huán)節(jié)。一個系統(tǒng)是由許多具有不同功用的元件所構(gòu)成的。同時，這些元件的動態(tài)性能又各不相同。在對元件和系統(tǒng)進(jìn)行研究時，由于研究的內(nèi)容不同，出發(fā)點

33、也不一樣。例如，對控制系統(tǒng)的原件大都以下列兩種觀點加以討論：第一種是根據(jù)元件的功用來研究元件。在這種情況下，可以分成測量、放大、執(zhí)行等作用及其他作用的元件。當(dāng)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成時，采用這種方法比較方便。利用這種劃分方法，根據(jù)系統(tǒng)原理圖可以很容易畫出系統(tǒng)方塊圖。第二種觀點是按照運(yùn)動方程式將元件或系統(tǒng)劃分成若干環(huán)節(jié)。在建立數(shù)學(xué)模型，研究系統(tǒng)的動態(tài)特性時，用這種方法可以使問題得以簡化。所謂環(huán)節(jié)，就是指可以組成獨(dú)立的運(yùn)動方程式的那一部分。環(huán)節(jié)可以是一個元件，也可以是一個元件的一部分或幾個元件。環(huán)節(jié)方程中的系數(shù)只取決于本環(huán)節(jié)中元件的參數(shù)，與其他環(huán)節(jié)無關(guān)。劃分環(huán)節(jié)時應(yīng)注意相鄰兩個元件間的相互影響。元件前后

34、連接時，前一元件的輸出信號就變成后一元件的輸入信號，后一元件就變成前一元件的負(fù)載了。元件承受負(fù)載后，其運(yùn)動方程可能改變，即稱后一元件對前一元件產(chǎn)生了負(fù)載效應(yīng)。這樣，前一元件就不能單獨(dú)作為一個環(huán)節(jié)，必須與后一元件同時考慮。在環(huán)節(jié)劃分時必須注意到這一點。利用機(jī)理建模法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟如下：1)將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號，此時應(yīng)注意前一環(huán)節(jié)的輸出信號是后一環(huán)節(jié)的輸入信號。2)根據(jù)物理學(xué)基本定律，寫出每一環(huán)節(jié)輸出量與輸入量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，即環(huán)節(jié)的原始方程。3)對每一環(huán)節(jié)的原始方程進(jìn)行一定的簡化(如非線性因素的線性化處理)及數(shù)學(xué)處理。4)消去中間變量，最后得到只包含系統(tǒng)

35、輸入量和輸出量的方程，這就是系統(tǒng)的微分方程。下面按上述步驟建立幾個簡單系統(tǒng)的常微分方程：1.機(jī)械平移系統(tǒng)設(shè)有一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦或阻尼的裝置。它由活塞和充滿油液的缸體組成，活塞桿與缸體之間的任何相對運(yùn)動都將受到油液的阻滯，因為這時油液必須從活塞的一端經(jīng)過活塞周圍的間隙(或通過活塞上的專用小孔) 而流到活塞的另一端。阻尼器主要用來吸收系統(tǒng)的能量，被阻尼器吸收的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃慷⑹У?，而阻尼器本身不儲藏任何動能和熱能?？梢赃@樣理解，有一個杯子，杯子面積比手掌略大，里面裝上大半杯水，然后把手掌平著往杯子里的水按下去，就會有水沒過手背，同時手掌會感覺到有阻力。這就和阻尼器很

36、類似。此外，洗臉時倒上半盆水，然后把手掌平著往下按，同樣感覺也有阻力。機(jī)械平移系統(tǒng)如圖所示：圖中k為現(xiàn)性彈簧，B為阻尼器，m為物體。記外力u為系統(tǒng)的輸入量，輸出量為質(zhì)量m的物體的位移x。目的是求系統(tǒng)輸出量x與輸入量u之間所滿足的關(guān)系式，即系統(tǒng)的微分方程。取質(zhì)量m，根據(jù)牛頓第二定律有 。式中，u1為阻尼器的阻力，u2為彈力，u1和u2為中間變量，必須找出它們與系統(tǒng)有關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，這樣才能消去它們。 設(shè)阻尼器的阻尼系數(shù)為B，彈簧彈性系數(shù)為k，則有如下兩式：和 在機(jī)械系統(tǒng)中，線性粘性阻尼是最常用的一種阻尼模型。阻尼力的大小與運(yùn)動質(zhì)點的速度的大小成正比，方向相反，系數(shù)即運(yùn)動阻尼。 則是我們非常熟悉

37、的彈簧彈力公式。將u1和u2代入前頁的方程式 式1，整理后即可得出系統(tǒng)的微分方程：。這是一個現(xiàn)性常系數(shù)二階微分方程。2.機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)設(shè)有一機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，它由慣性負(fù)載和粘性摩擦阻尼器組成，如右圖所示： T 作用到系統(tǒng)上的轉(zhuǎn)矩(N·m)； J 負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量角速度(rad/s)； 粘性摩擦系數(shù)將機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的牛頓第二定律 。應(yīng)用到本系統(tǒng)。設(shè)輸入量為轉(zhuǎn)矩T，輸出量為角速度，則有：，式中為阻尼器產(chǎn)生的阻尼轉(zhuǎn)矩，代入上式，即消去中間變量T1得到本系統(tǒng)的微分方程：。若設(shè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角為，則上式可表示為?？梢?，以轉(zhuǎn)角為輸出量時該系統(tǒng)亦為線性常系數(shù)二階系統(tǒng)。 3.電氣系統(tǒng)圖為由電阻R、電感L和電容C組成

38、的R-L-C電路。試建立以電壓ur(t)為輸入量，電量q為輸出量的系統(tǒng)微分方程：根據(jù)基爾霍夫定律寫出電路方程如下：和。消去中間量i便得到系統(tǒng)的微分方程式：。 根據(jù)相似原理的連續(xù)物理系統(tǒng)規(guī)范化建模模型類型相似參數(shù)模型機(jī)械平移質(zhì)量M阻尼N剛度K位移y速度V力F 機(jī)械轉(zhuǎn)動慣性矩J阻尼剛度K角位移角速度力矩T R-L-C電路電感L電阻R電容1/C電量q電流I電壓U  觀察上一節(jié)的三個例子推出的各種系統(tǒng)的運(yùn)動方程(數(shù)學(xué)模型)，盡管它們的物理模型不同，但卻可能具有相同的數(shù)學(xué)模型，這種具有相同的微分形式的系統(tǒng)稱之為相似系統(tǒng)。在微分方程中占據(jù)相同位置的物理量稱之為相似量，比較上面

39、三個方程可以看出它們具有相同的數(shù)學(xué)模型，是相似系統(tǒng)。盡管各種物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不一樣，輸入量、輸出量以及中間變量可以是各種不同的物理量，但它們的運(yùn)動方程卻有下列幾點共同之處：1）常參量線性元件和線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程都是常系數(shù)線性微分方程。2）運(yùn)動方程的系數(shù)由元件或系統(tǒng)本身的參量組合而成，因而都是實數(shù)。3）運(yùn)動方程式的形式取決于元件或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及在其中進(jìn)行的物理過程，即取決于元件或系統(tǒng)本身的特殊矛盾。因此運(yùn)動方程是揭示系統(tǒng)內(nèi)部特殊矛盾的工具，它的解反映了元件或系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律。4）對于統(tǒng)一元件或系統(tǒng)，由于所取的輸出量不同，其運(yùn)動方程式的形式也就不同。5）所有一維常系數(shù)線性系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式都可以表

40、示成下列普遍形式。式中，x和y分別為輸入量與輸出量，n>mA 下面來看連續(xù)物理系統(tǒng)的規(guī)范化建模方法。物理系統(tǒng)大都是連續(xù)系統(tǒng)。各類物理信息系統(tǒng)在信息傳遞規(guī)律上是相似的。它們都遵守基本的守恒原理(質(zhì)量守恒、能量守恒和動量守恒等)和連續(xù)性原理。這就給數(shù)學(xué)建模帶來了極大方便，并提供了規(guī)范化建模方法。這種規(guī)范化的建模方法和步驟可歸納如下： 1 確定系統(tǒng)基本物理變量設(shè)x代表該物理系統(tǒng)的基本物理變量，則任意時刻守恒原理可表達(dá)成下列模式 。式中，為x各分量之代數(shù)和。 2 選擇獨(dú)立的特征變量特征變量指一類物理系統(tǒng)的獨(dú)有變量，即上述基本物理變量在特定物理系統(tǒng)下的表征，如電流、電壓、質(zhì)量、作用力、剛度等(見下

41、頁表格)。通常，基本物理量需要用一個或多個特征變量來表示。如能量可用電流和電壓來表示。3 推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型：推導(dǎo)是以1和2為基礎(chǔ)進(jìn)行的。物理系統(tǒng)特征變量基本守恒變量功率對偶縱向的橫向的電氣的電流i電壓e能量ie機(jī)械的(直線)作用力f速度v動量fv機(jī)械的(旋轉(zhuǎn))扭力矩T角速度w動量Tw流體的流量Q壓力p質(zhì)量Qp熱力的熱流量Q溫度T能量QT化學(xué)的質(zhì)量流Q濃度C質(zhì)量QC結(jié)構(gòu)的形變負(fù)載R能量R例1 設(shè)一簡單電路系統(tǒng)如右圖所示。試建立該物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解：1)該電路系統(tǒng)的基本變量顯然是能量E。2)選擇特征變量有兩個，即電流i和電壓es。3)分析知，能量的變化速率i×es ，這是注入系統(tǒng)的功率，

42、即。另外，貯存在電容C中的電場能量為。單位時間內(nèi)電阻R的消耗功率是。于是根據(jù)電路中能量守恒規(guī)律有。這就是按照上述連續(xù)物理系統(tǒng)規(guī)范化建模方法得到的該電路系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。我們不難看出它是節(jié)點A的電流方程式?？梢姡@種規(guī)范化方法同前述機(jī)理分析法建模的結(jié)果是一致的。B 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通式連續(xù)物理系統(tǒng)所涉及的工程技術(shù)領(lǐng)域大部分是電子的、機(jī)械的、氣動的、液體的、熱力的和結(jié)構(gòu)的等物理分支學(xué)科。由上述，這些學(xué)科的系統(tǒng)模型一般可用一個積分微分方程式 來描述：。這就是連續(xù)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通用模式，簡稱“通式”。對此通式須作如下說明1）通式中的系數(shù)A、B、C為確定系統(tǒng)響應(yīng)特性的常系數(shù)，它構(gòu)成了系統(tǒng)的傳輸集。其

43、中系數(shù)A是容性的，如電容、質(zhì)量慣性等，通過這類元件的流是超前于源的；系數(shù)B為耗散的，如電阻和阻尼慣性等，通過這類元件的流與源是同相位的；系數(shù)C為感性的，如電感和柔性慣性等，通過這些元件的流相位滯后于源。2）通式中的w和E分別為系統(tǒng)的輸入與輸出集合，這兩個重要參數(shù)確定了通過系統(tǒng)的功率流。3）上述A、B、C、w及E可以是單變量，也可以為一個矩陣或列向量。4）借助此通式可方便地建立比較復(fù)雜物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。5）典型工程技術(shù)學(xué)科中的微分方程式如下：電氣的： 流體的： 機(jī)械的：對于直線運(yùn)動有，對于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動有熱力的和結(jié)構(gòu)的方程式就不在此介紹，想要了解的可以自己查閱資料。工程技術(shù)系統(tǒng)元件和源的一覽表動能勢

44、能耗散勢能動能力變量流變量電氣的電容C電導(dǎo)G=1/R倒電感1/L電壓e電流(電荷通量)i=dq/dt機(jī)械的(直線)質(zhì)量M阻尼D剛性K速度v力(線性沖量通量)F=dq/dt機(jī)械的(旋轉(zhuǎn))轉(zhuǎn)動慣量J阻尼D剛性K角速度w轉(zhuǎn)矩(角動量通量)T=dH/dt流體的容性傳導(dǎo)性導(dǎo)容性壓力p液體流Q=dv/dt熱力的熱容導(dǎo)熱性r溫度熵量(熵通量)=ds/dt結(jié)構(gòu)的撓性阻尼遷移率負(fù)荷R應(yīng)力流(形變通量)=d/dt 狀態(tài)空間模型的建模方法連續(xù)系統(tǒng)的常用數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間模型。我們這里不詳細(xì)學(xué)習(xí)傳遞函數(shù)的內(nèi)容。1. 傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間模型的比較傳遞函數(shù)是描述線性連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出特性的一種數(shù)學(xué)模型，

45、是經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建模方法大體可以分為兩類：u 直接法：對于簡單系統(tǒng)，可對其微分方程(包括狀態(tài)方程)進(jìn)行拉普拉斯變化，然后求出Xc(s)/Xr(s)來建立傳遞函數(shù)。u 間接法：對于復(fù)雜系統(tǒng)，先求出環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的方塊圖，然后利用方塊圖的各種連接及簡化法則來計算總的傳遞函數(shù)；或繪制出系統(tǒng)的信號流圖，然后求系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)使用條件：系統(tǒng)初始條件必須為零；一般只適用于線性定常系統(tǒng)，且基本上只限于單輸入單輸出系統(tǒng)；只能展現(xiàn)給定輸入時的輸出，而不能提供該系統(tǒng)內(nèi)部的有關(guān)狀態(tài)信息。傳遞函數(shù)的缺點：有時系統(tǒng)的輸出是穩(wěn)定的，而系統(tǒng)內(nèi)某些元件出現(xiàn)超過它們額定值的趨勢。為

46、了穩(wěn)定與改善系統(tǒng)性能，要提供與系統(tǒng)內(nèi)部的某些變量成比例的反饋信號，而不單靠輸出。這一點基于傳遞函數(shù)模型的經(jīng)典設(shè)計方法實現(xiàn)觀測與控制是困難的，需要一種描述系統(tǒng)的更一般的數(shù)學(xué)模型，與輸出一道給出沿信號流的一些確定的系統(tǒng)變量的狀態(tài)信息。這就導(dǎo)致了狀態(tài)空間模型的產(chǎn)生。狀態(tài)空間模型的一些特點狀態(tài)空間模型是一種直接的時域模型，對于線性與非線性、定常或非定常的多輸入多輸出系統(tǒng)的分析與設(shè)計是一種很有效的方法。此外，用數(shù)字計算機(jī)對微分方程進(jìn)行求解時，都是先將高階微分方程化為一階微分方程，然后求數(shù)值解。系統(tǒng)的狀態(tài)方程正好是合乎這種數(shù)值解法的一種數(shù)學(xué)模型。2. 狀態(tài)空間模型的建模方法：分為直接建模方法和間接建模方法

47、。u 直接法：根據(jù)物理學(xué)定律直接建立狀態(tài)空間模型u 間接法：由微分方程建立；由傳遞函數(shù)建立1）根據(jù)物理學(xué)定律直接建立狀態(tài)空間模型：基于物理學(xué)定律的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的建模步驟如下：a 確定狀態(tài)變量，并寫出第一組狀態(tài)變量方程式；寫出狀態(tài)方程時，只需根據(jù)物理定義直接寫出相應(yīng)表達(dá)式，例如Ý=v(機(jī)械平移系統(tǒng))、éw(機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng))等；b 寫出用微分形式描述的系統(tǒng)物理方程c 將上述方程式處理成狀態(tài)變量表示的狀態(tài)方程式d 如有必要，再寫出輸出方程例1 建立如右圖所示的機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型解：1)選擇x1，v1，x2，v2為狀態(tài)變量(這四個變量是相互獨(dú)立的)。按定義寫出四個狀態(tài)方程中的

48、頭兩個。 2)對質(zhì)量m1、m2的物體進(jìn)行分離分析(如下圖所示)，并應(yīng)用牛頓第二定律得到兩個微分方程式：由以上兩式可以得到另外兩個狀態(tài)方程，故系統(tǒng)的狀態(tài)方程為。若取x1，v1，x2為輸出，則有輸出方程。系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的矩陣形式為。式中，。3)若選另一組狀態(tài)變量為x1，v1， x， v，其中， x與 v分別表示彈簧的伸縮量以及與阻尼相關(guān)的速度差，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為。上述兩種狀態(tài)方程中均已設(shè)彈簧與阻尼器是線性元件。若彈簧k1與阻尼器B是非線性元件，則彈簧k1的恢復(fù)力是彈簧位移的函數(shù)，設(shè)為fk1(x1)；阻尼器的阻尼是相對速度v的函數(shù)，記為fb( v)。上述第二種狀態(tài)方程可以表示為由本例可知，狀態(tài)方

49、程不存在唯一性；建立非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程也并非十分困難。當(dāng)然解非線性狀態(tài)方程比解線性狀態(tài)方程要困難的多，可近似解決。例2 建立RLC電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型解：設(shè)電容C兩端的電壓為U。該系統(tǒng)中有三個儲能元件：電容C與電感L1和L2.系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全有i0時刻電容兩端電壓和通過電感的電流來確定。如果已知初始條件u(0)、i1(0)、i2(0)和t0時的輸入信號e(t)，則完全可以確定在t t0時刻的系統(tǒng)行為。但是只要有一個初始條件是未知的，就不能確定該系統(tǒng)對給定輸入的響應(yīng)了。因此，初始條件u(0)、i1(0)、i2(0)和t0時的輸入信號一起構(gòu)成所需要的最少信息。由此可以得出結(jié)論，狀態(tài)變量應(yīng)

50、從這四個變量中選取，其中僅有三個是獨(dú)立的，故只有三個狀態(tài)變量，令選取x1v，x2i1，x3i2，由電路定理不難建立RLC網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程式： 由上述方程進(jìn)行變換，寫成如下形式 。根據(jù)定義的狀態(tài)變量及輸入變量，得狀態(tài)方程。如果取R2兩端的電壓和通過R2的電流作為輸入變量y1和y2，則輸出方程為。上述兩個方程組成了系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。上述兩個例子有一個共同的特征，那就是所選擇的狀態(tài)變量都是系統(tǒng)中可以測量到的物理量。我們知道，在反饋控制系統(tǒng)中，除了輸出量外，還有其他一些狀態(tài)量用于反饋。如果狀態(tài)變量用于反饋，那么反饋設(shè)計的手段變得簡單。因此，選擇系統(tǒng)的物理變量作為狀態(tài)變量有助于簡化設(shè)計。選擇系統(tǒng)的物

51、理變量作為狀態(tài)變量的另一個優(yōu)點是：狀態(tài)方程的解給出了與物理系統(tǒng)直接相關(guān)的一些變量隨時間變換的規(guī)律。其缺點是：使?fàn)顟B(tài)方程的求解變得很困難。2）由微分方程建立狀態(tài)空間模型：下面討論采用相變量作為狀態(tài)變量的系統(tǒng)的另一種狀態(tài)空間模型。所謂相變量是指一組特殊的狀態(tài)變量，這組變量是根據(jù)一個系統(tǒng)變量及其各階導(dǎo)數(shù)求得的。通常使用的系統(tǒng)變量是系統(tǒng)的輸出，而其余狀態(tài)變量是輸出的各階導(dǎo)數(shù)。這樣如果知道以微分方程表示的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，則相變量狀態(tài)空間模型是容易確定的。下面分兩種情況討論：u 作用函數(shù)不含導(dǎo)數(shù)項的情形設(shè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是其作用項f(x,t)中不含導(dǎo)數(shù)項的n階SISO系統(tǒng)的微分方程。選取狀態(tài)變量：。則方程可改

52、寫為有下列n個一階微分方程構(gòu)成的方程組 由上面方程組可導(dǎo)出下列狀態(tài)方程(令f(x,t)=u)：或?qū)懗桑骸Ｈ糨敵鰹閥x1，則輸出方程為，式中，。Y的初始條件由狀態(tài)變量的初始條件x1(0)、x2(0)、xn(0)決定。u 作用函數(shù)含有導(dǎo)數(shù)項的情形設(shè)系統(tǒng)微分方程為。方法一：由于上述方程包含有輸入函數(shù)u(t)的導(dǎo)數(shù)項，故不能簡單地把當(dāng)作一組狀態(tài)變量。因為如果輸入u(t)在tt0時刻出現(xiàn)一個階躍函數(shù)，則產(chǎn)生高階脈沖函數(shù)。這樣，狀態(tài)軌跡將在tt0時刻產(chǎn)生無窮大跳躍。因此，在tt0以后系統(tǒng)的行為將不可能由選定的狀態(tài)變量唯一確定，即系統(tǒng)將得不到唯一解。對這種情況，關(guān)鍵在于設(shè)置的一組狀態(tài)變量能夠消去狀態(tài)方程的導(dǎo)

53、數(shù)項，為此，引入微分算子pd/dt，系統(tǒng)微分方程變?yōu)?。整理得：。，?注：下式相當(dāng)于對式兩邊同除p，并移項)，同時有。 。將上式寫成狀態(tài)方程的形式，并注意到xn10，則用矩陣表示的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為 若已知 y 與各階導(dǎo)數(shù)的初值，代入便可直接求出各個狀態(tài)變量的初值，由此可用計算機(jī)解狀態(tài)方程。方法二：一般輸入量中導(dǎo)數(shù)的次數(shù)小于或等于n，這里討論次數(shù)等于n的情況即b00的情況。當(dāng)輸入量導(dǎo)數(shù)項的次數(shù)小于n時，所推導(dǎo)的公式仍適用。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項，可按如下規(guī)則選擇狀態(tài)變量，設(shè) 。其展開式為 式31一般輸入量中導(dǎo)數(shù)的次數(shù)小于或等于n，這里討論次數(shù)等于n的情況即b00。式中是n個待定常數(shù)

54、。由上式的第一個方程可得到輸出方程，其余可得下列n-1個狀態(tài)方程。 ，令上式中各階導(dǎo)數(shù)項系數(shù)為零，可確定各h值：記，故。則系統(tǒng)微分方程的向量矩陣形式的動態(tài)方程為。式中 若輸入量中僅含m次導(dǎo)數(shù)且mn，可將高于m次導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)置0，仍可使用所得公式。例1 設(shè)某系統(tǒng)的微分方程為：。試寫出相應(yīng)的狀態(tài)空間模型解：該方程的系數(shù)ai與bj分別為。矩陣B的元素為。故可直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。從上面的分析可以看出：相變量為狀態(tài)變量提供了一種很好的方法。數(shù)學(xué)實現(xiàn)很簡單。但它有一個很大的缺點：那就是相變量通常不是系統(tǒng)的物理變量，不便測量與控制。既然方程作用函數(shù)項中沒有導(dǎo)數(shù)(即G(s)沒有零點)，由輸出及其各階導(dǎo)

55、數(shù)給出的相變量，要取得二階以上導(dǎo)數(shù)也是困難的。因此，從測量及控制觀點來看，相變量不是一組適用的狀態(tài)變量。從分析觀點出發(fā)，正則變量是最合適的。3）由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型：系統(tǒng)傳遞函數(shù)是描述線性定常(時不變)系統(tǒng)輸入與輸出間微分關(guān)系的另一種方法。為便于實現(xiàn)計算機(jī)數(shù)字仿真，應(yīng)將傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型。由系統(tǒng)傳遞函數(shù)導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法是先將傳遞函數(shù)用狀態(tài)變量圖描述，然后根據(jù)狀態(tài)變量圖中積分器的輸出缺點系統(tǒng)狀態(tài)變量及狀態(tài)方程。例如一個一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是1/(s+a)，便可以用一個帶反饋的積分器模擬此傳遞函數(shù)，如圖1所示.把積分器的輸出y看成一個狀態(tài)變量，積分器的輸入是ý，將y與ý標(biāo)在模擬圖上，便得到狀態(tài)變量圖(圖2)?？梢钥闯觯?/p>