數(shù)學(xué)建模對計劃生育的建議

1、2008高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽對計劃生育的建議摘要本文在年齡和性別分布基本均勻，壽命為75歲的前提下，研究了人口增長分別與晚育、少生、時間間隔的關(guān)系。 基于人口和性別比例均勻分布的前提下，忽略其它年齡段意外死亡的情況，自然死亡年齡為75歲，死亡率為1/75。要解決人口增長與晚育的關(guān)系，我建立宋健人口模型，引進了有關(guān)生育模式的函數(shù)，r>r1，此函數(shù)中取，由于增加n就意味著晚育，因此對于第一個問題我們以n為變量，然后固定了其它變量，再通過MATLAB編寫程序得以解決人口增長與晚育的關(guān)系。對于第二個問題我們考慮育齡婦女一生只生一胎，一胎一個來解決?；谇皟蓚€問題，對于第三個問題，我們通

2、過結(jié)果和圖形的分析，可以很好的解決人口增長與時間間隔的關(guān)系。最后，應(yīng)用前三個問題中我們假設(shè)的數(shù)據(jù)對20年后我國的人口數(shù)進行預(yù)測。得出當(dāng)單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)為0.2時，我國20年后人口總數(shù)為14.8653億，達到控制在15億內(nèi)的要求?？梢娢覀兊募僭O(shè)具有一定的合理性。關(guān)鍵詞：宋健人口模型 生育模式 人口增長 一、問題的重述 對計劃生育的建議中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵之一，影響我國人口增長率的因素有生育率、死亡率、遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等?，F(xiàn)今我們假定現(xiàn)有人口13億，年齡和性別分布基本均勻，壽命假定為75歲，考慮以下四個問題：問題（一），人口增長與晚育的關(guān)系；問題（

3、二），人口增長與少生的關(guān)系；問題（三），人口增長與間隔時間的關(guān)系；問題（四），如果20年內(nèi)人口增長控制在15億以內(nèi)，請你提出一個合理的計劃生育的建議。二、問題的分析 現(xiàn)在我們從宏觀人口看，引起人口增長率變動的原因有三個基本因素，即出生率、死亡率和遷移率（在本題可看作遷出率等于遷入率）。依據(jù)這一基本出發(fā)點，就為人口增長率變動關(guān)系的數(shù)學(xué)模型提供了基本思路。由公式：人口自然增長率（本年出生人數(shù)本年死亡人數(shù)）年平均人數(shù)×1000人口出生率人口死亡率可分別對問題（一）到（四）進行建模求解。面對以上四個問題我們在建立模型時，不可能全面考慮到影響人口增長率的種種因素，所以在建立以下數(shù)學(xué)模型中，我們

4、將人口當(dāng)作一個整體，當(dāng)作一個系統(tǒng)來考慮，并將人口增長率的變化主要取決于生育率、死亡率的變化。 針對問題（一），我們固定單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)，男女性別比例，死亡率和人口的密度函數(shù)建立起宋健人口模型，對人口增長數(shù)量與晚育之間的關(guān)系進行解決。針對問題（二），我們以為變量，其他值固定，運用MATLAB編程建立少生概率模型，很好的解決了人口增長數(shù)量與少生之間的關(guān)系。針對問題（三），我們針對問題（四），我們將（單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)）固定并假設(shè)中年人的死亡率為u(s)=0, 生育人數(shù)定為一個常數(shù). 運用人口自然增長率公式進行建模解決問題。三、基本假設(shè)（1）、把研究的社會人口當(dāng)作一

5、個整體，當(dāng)作一個系統(tǒng)考慮；（2）、所有表征和影響人口變化的因素都是在整個社會人口平均意義下確定的；（3）、在短期內(nèi)沒有外來物種對人類的生存造成影響；（4）、醫(yī)療水平，科學(xué)技術(shù)在未來相當(dāng)長的時間內(nèi)不會對人的死亡率造成影響；（5）、假設(shè)每年人口的出生人數(shù)、死亡人數(shù)都是在年末某個時間點發(fā)生，而不考慮時間段，則死亡率為1/75。；（6）、假設(shè)在預(yù)測期內(nèi)無戰(zhàn)爭或自然災(zāi)害等引起的大規(guī)模傷亡或遷移，即國內(nèi)人口變化主要取決于生育率、死亡率；注：這里提出的均為全局意義上的假設(shè)，針對每個模型的假設(shè)條件文中將在每個模型之前另外列出；四、符號說明我國人口的自然增長率函數(shù)。嬰兒出生率函數(shù)。 時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育

6、數(shù)為r女性的生育加權(quán)因子，稱生育式。女性性別比函數(shù)。人口密度函數(shù)。 人口的死亡率函數(shù)。性育齡區(qū)間。五、模型的建立與求解1、針對問題（一），我們建立了模型一：（1）、模型一的基本假設(shè)：、平均每個女性一生的總和生育數(shù)為1.5個，且每胎嬰兒數(shù)為1。、由題目中總假設(shè)我國人口現(xiàn)今13億，年齡和性別分布基本均勻，壽命為75歲，在這可設(shè)男生比例為1：1，人口密度函數(shù)為，死亡率為。（2）、模型的建立和求解：宋健人口模型的建立： 首先我們對我國人口的死亡率數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，運用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)法的預(yù)測模型求出未來的平均死亡率為。因為人們主要關(guān)注和可以用作控制手段的就是嬰兒的出生率，所以接著我們建立了宋健的人口模型對問

7、題（一）人口增長與晚育的關(guān)系進行建模預(yù)測。（1）再將b（r，t）定義為（2）其中h（r，t）滿足（3）于是（4）（5）其中，由（4）式可以看出，的直接含義是時刻t單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)，如果所有育齡女性在她育齡期所及的時刻都保持這個生育數(shù)，那么也表示平均每個女性一生的總和生育數(shù)，所以稱為總和生育率（簡稱生育率）或是生育胎次。由基本假設(shè)可得=0.3。即時刻t單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)為0.3。為女性性別比函數(shù)，其中=1。人口密度函數(shù)，因為中年人的死亡率很低可看作為了0，則中年人的人口密度函數(shù)=。在穩(wěn)定環(huán)境下可以近似地認為它與t無關(guān)，即=。其中表示了在哪些年齡生育率高，哪些年齡

8、生育率低。由人口統(tǒng)計資料可以知道當(dāng)前實際的。然而理論時人們采用的的一種形式是借用概率論中的分布為：，r>r1（6）并取。 根據(jù)方程（1）（6）和人口自然增長率公式，我們可以得出人口增長數(shù)量與晚育的關(guān)系式：=-=0.3- （7） （8）其中，人口自然增長率（本年出生人數(shù)本年死亡人數(shù)）年平均人數(shù)×1000人口出生率人口死亡率。（3）、模型的求解：當(dāng)取這時有，可以看出，提高意味著晚婚，而增加n意味著晚育。這樣就求出在單位時間內(nèi)人口增長數(shù)量和晚婚晚育之間的關(guān)系。即，晚婚晚育在一定程度上可控制人口的增長速度。把變量晚婚固定在18歲，此時只有一個變量為晚育n，利用（7）式，由人口總數(shù)乘以人

9、口自然增長率得出人口增長數(shù)量。（人口增長數(shù)量=人口自然增長率人口總數(shù)）（4）、模型檢驗： 、當(dāng)取區(qū)間18，50時，用MATLAB編程，作出與育齡女性年齡的關(guān)系圖，如圖1所示，程序見附錄1中的程序1。圖1 、把變量晚婚固定在18歲，用MATLAB得到晚育變量與人口增長數(shù)量之間的關(guān)系圖：（程序見附錄1中的程序2）圖2（4）、結(jié)果分析：、，n取10，r1取18，可得=26，符合圖1中，=26歲附近時，生育率最高。生育率高低與女性育齡年齡的關(guān)系如圖1所示。、由圖2可得，隨著n的增加，人口增長率越來越小，人口增長數(shù)量越來越少。由此說明，育齡女性晚育可以降低我國的人口增長數(shù)量。具體結(jié)果見圖2和附錄中的程序

10、2中的結(jié)果。（5）、模型評價：本模型運用了宋健的人口預(yù)測模型，模型中固定了，這幾個函數(shù)值，大大的減低了模型的難度，但也因此模型的準確性不是很高。利用MATLAB編程，得到了與育齡女性年齡的關(guān)系圖和人口增長率與育齡女性從什么時候開始生育之間的關(guān)系圖，并在題設(shè)的條件下，得到了最高生育率所對應(yīng)的女性年齡為26歲附近，基本上符合情況，解決了問題一的要求。當(dāng)取這時有，可以看出，提高意味著晚婚，而增加n意味著晚育。這很符合我國的計劃生育政策，我國正是通過這兩種手段來實施的。2 、針對問題（二），我們建立了模型二：（1）、模型的建立與求解：問題二中要解決的問題是人口增長數(shù)量與少生的關(guān)系，所以，為了模型的簡便

11、，我們此時n和其他值固定，把當(dāng)作變量，運用MATLAB編程建立少生數(shù)量模型畫出單位時間內(nèi)人口增長數(shù)與少生的關(guān)系圖形（圖3）：圖3（2）、 模型結(jié)果分析：圖3中的橫坐標表示（時刻t單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)），縱坐標表示f1（人口增長數(shù)量）?？梢娫趩挝粫r間內(nèi)f1隨著的增加而增加。（3）、 模型評價： 本模型為一次線性模型，模型簡單，解決問題明確，可由圖3清晰的看出在單位時間內(nèi)人口增長數(shù)量與少生之間的關(guān)系。因其它影響人口增長數(shù)量的變量被固定，模型在符合事實上的性能不高，卻很好的反應(yīng)出人口增長數(shù)量與少生之間的關(guān)系。3、 針對問題（三），我們建立了模型三：人口增長與時間間隔的關(guān)系：這個題目是前

12、兩個問題的延伸，我們假設(shè)每對夫妻一生只生兩個孩子，間隔為4年，這與第一題中取=2、n=4差不了多少，我們知道當(dāng)固定，人口增長率會隨著晚育（n）的增加而減少，也就是說人口增長也隨著減少，同理，我們也可以知道人口增長跟時間間隔成反比關(guān)系，時間間隔越長，人口增長就越慢。4、 針對問題（四），我們建立了模型四：（1）、模型的基本假設(shè)：、固定單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)固定、假設(shè)中年人的死亡率為u(s)=0, 生育人數(shù)定為一個常數(shù).（2）、模型的建立和求解：我們假設(shè)中年人的死亡率為0，即生育人數(shù)定為一個常數(shù)，則對來說只要固定，就是一個常數(shù)，我們?nèi)?0.3（即單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)位0.

13、3），所以=0.026.因為每人的壽命都是75歲，所以每年都有13/75億人死亡，也就是說20年總的死亡人數(shù)為2013/75。而20年出生的總?cè)藬?shù)為1321.7215，所以20年后的人數(shù)為：21.7215-3.4667=18.2548，要想控制在15億以內(nèi)，我們可以采取降低的值，當(dāng)我們?nèi)?0.2時，20年后的人數(shù)為：14.8653.（3）、模型評價：本模型通過控制單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)來實現(xiàn)對人口增長率的控制（當(dāng)然我們也可以從晚婚晚育和多胎之間的時間間隔方面來實現(xiàn)人口的控制）。當(dāng)單位時間內(nèi)平均每個育齡女性的生育數(shù)為0.2時，我國20年后人口總數(shù)為14.8653億，達到控制在15億內(nèi)

14、的要求。六、模型的綜合評價1、模型優(yōu)點：該模型考慮了諸多因素，對人口控制模型進行了詳盡的描述，因此對人口的控制模型也很精細。在中長期內(nèi)可以對每個影響因素進行調(diào)解，對人口的增長數(shù)量進行控制，使人口數(shù)量在一定的增長率進行增長或減少。所以說，對于人口的控制，該模型是相當(dāng)準確的。2、模型缺點：在模型中我們只考慮到生育率和死亡率對人口增長率的影響，忽略了其它因素的影響，比如說遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等的影響。因此結(jié)果有一定的誤差。3、模型的改進和推廣：（1）、為了考慮多因素對人口增長率有什么影響，模型的改進必須將遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等影響因素考慮在內(nèi)。（2）本模型是連續(xù)模型，我們可以通過改進，建立出離散模型，就可以

15、更加科學(xué)的對我國人口增長數(shù)量進行控制。（3）、在模型中我們將未來的死亡率設(shè)為一個常數(shù)1/75，這實際上是不可能的。因此，對于死亡率，可以運用線形函數(shù)逼近法，將死亡函數(shù)分段線形來逼近。一般將死亡函數(shù)的曲線分為三段，公式如下：（4）、模型可運用于一些局部人口年齡分布比較均勻的地方，也可用來長期人口數(shù)量的控制以及人口的預(yù)測。七、給計劃生育部的建議1、給計劃生育部的建議：（1）、晚婚晚育，少生，兩胎間的時間間隔，都可以影響到嬰兒的出生率，所以我們要從中搭配尋找出最優(yōu)的計劃生育政策。（2）影響我國人口過增長數(shù)量的因素有很多，計劃生育部應(yīng)當(dāng)綜合考慮然后制定出更優(yōu)的計劃生育政策。（3）、在各個因素允許的條件

16、下，國家可以放松生育政策，使我國人口結(jié)構(gòu)分布更科學(xué)，讓我國的人口緩慢地、安穩(wěn)地降下來！（4）、逐步提高計劃生育獎勵標準。各級財政部門在財力許可的情況下，要提高對計劃生育獨生子女家庭、雙女絕育家庭等的獎勵標準。（5）、加強宣傳教育，努力建設(shè)性別平等的社會環(huán)境。（6）、調(diào)整年齡結(jié)構(gòu)。在維持計劃生育預(yù)定人口數(shù)量不變的情況下，可以通過適時提高勞動年齡上限的辦法來調(diào)整年齡結(jié)構(gòu)，使勞動年齡人口比和老年撫養(yǎng)比保持在有利于可持續(xù)發(fā)展的水平上。八、參考文獻1 宋健, 田雪原, 于景元, 李廣元，人口預(yù)測和人口控制， 北京：人民出版社, 1981.2姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，1993.

17、3謝云蓀，張志讓，數(shù)學(xué)實驗，北京：科學(xué)出版社，1999.4韓明，王家寶，李林，數(shù)學(xué)實驗，同濟大學(xué)出版社，2009。九、附錄附錄1：程序1：（與育齡女性年齡的關(guān)系）syms x t r r1 H n yn=10;a=n/2;r1=18;x=0:0.1:40;T=exp(-x).*x.(a-1);format long;T1=trapz(x,T)r=18:1:40;H=(r-r1).(n./2-1).*exp(-(r-r1)./2)./2.(n./2)./T1plot(r,H)程序2：（人口增長數(shù)與晚育的關(guān)系）%人口增長數(shù)與晚育的關(guān)系：for n=10:0.5:30a=n/2;x=0:0.1:50

18、;T=exp(-x).*x.(a-1);format long;T1=trapz(x,T);r=18+n-2;H=(r-18).(n./2-1).*exp(-(r-18)./2)./2.(n./2)./T1;syms r h KK=(r)(r-18).(n./2-1).*exp(-(r-18)./2)./2.(n./2)./T1;format long;h=quadl(K,18,50);f=0.3*1*13/75*h*0.5-1/75;f1=13*f;plot(n,f1,'r*')hold onend程序3：（%人口增長與少生B的關(guān)系，此時固定n）syms x t r r1 H n y K hn=10;a=n/2;for r1=18:1:27x=0:0.1:50;T=exp(