(精品)小學奧數(shù)7-3-2加乘原理之數(shù)字問題(一).專項練習及答案解析

1、7-3-2.加乘原理之數(shù)字問題（一）日蜘蚱教學目標7-3-2.加乘原理之數(shù)字問題（一）.題庫page 3 of 7教師版1 .復習乘法原理和加法原理；2 .培養(yǎng)學生綜合運用加法原理和乘法原理的能力.3 .讓學生懂得并運用加法、乘法原理來解決問題，掌握常見的計數(shù)方法，會使用這些方 法解決問題.在分類討論中結合分步分析， 在分步分析中結合分類討論； 教師應該明確并強調哪些是 分類，哪些是分步.并了解與加、乘原理相關的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組 合.耳j跚陣知識要點一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況： 在做一件事時，有幾類不同的方法， 在具體做的時候，只要采 用其中某一類中的一種方法就

2、可以完成， 并且這幾類方法是互不影響的.那么考慮完成這件 事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決.還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又 有幾種不同的方法.要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決.二、加乘原理應用應用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務， 所以完成任務的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和.乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積.在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好

3、這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步.加法原理運用的范圍： 完成一件事的方法分成幾類， 每一類中的任何一種方法都能完成 任務，這樣的問題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”.乘法原理運用的范圍： 這件事要分幾個彼此互不影響 的獨立步驟 來完成，這幾步是完成 這件任務缺一不 可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決.我們可以簡記為：“乘法分步， 步步相關”.日tM蚱 例題精講【例1】 由數(shù)字1,2,3可以組成多少個沒有重復數(shù)字的數(shù)？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星【題型】解答【解析】 因為有1, 2, 3共3個數(shù)字，因此組成的數(shù)有 3類：組成一位數(shù)；組成二位數(shù)；組

4、成三位數(shù).它們的和就是問題所求.組成一位數(shù)：有 3個；組成二位數(shù)：由于數(shù)字可以重復使用，組成二位數(shù)分兩步完成；第一步排十位數(shù)，有3種方法；第二步排個位數(shù)也有 3種方法，因此由乘法原理，有3x2 =6個；組成三位數(shù)：與組成二位數(shù)道理相同，有3x2 =6個三位數(shù)；所以，根據(jù)加法原理，一共可組成3+6+6 =15個數(shù).【答案】15【例2】 用數(shù)字1, 2, 3可以組成6個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，這 6個數(shù)的和是 【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】（1+2+3） X 2X 111=1332.【答案】1332【鞏固】 由數(shù)字0, 3, 6組成的所有三

5、位數(shù)的和是 。【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 6題【解析】 由數(shù)字0, 3, 6組成的所有三位數(shù)有 306, 360, 603, 630,它們的和為：306 +360 +603 +630 =1899?！敬鸢浮?899【例3】 由數(shù)字0, 1, 3, 9可以組成多少個無重復數(shù)字的自然數(shù)？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星【題型】解答【解析】 滿足條件的數(shù)可以分為 4類：一位、二位、三位、四位數(shù).第一類，組成0和一位數(shù)，有4個（0不是一位數(shù)，最小的一位數(shù)是1）;第二類，組成二位數(shù)，有 3 3 =9個；第三類，組成三位數(shù)，有 3父3父2=18

6、個；第四類，組成四位數(shù)，有 3 3 2 1 =18個.由加法原理，一共可以組成 4+9+18+18 =49個數(shù).【答案】49【例4】 用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4可以組成多少個小于 1000的自然數(shù)？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 小于1000的自然數(shù)有三類.第一類是 0和一位數(shù)，有5個；第二類是兩位數(shù)，有4M5=20個；第三類是三位數(shù)，有 4M5M5=100個，共有5+20 +100 =125個.【答案】125【例5】 用數(shù)碼0, 1, 2, 3, 4,可以組成多少個小于 1000的沒有重復數(shù)字的自然數(shù)？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析

7、】 分為三類，一位數(shù)時，0和一位數(shù)共有5個；二位數(shù)時，為4 M4 =16個，三位數(shù)時， 為：4 M4 M3 =48個，由加法原理，一共可以組成5+16 +48 =69個小于1000的沒有重復數(shù)字的自然數(shù).【答案】69【例6】 用09這十個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位數(shù).【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 無重復數(shù)字的四位數(shù)的千位、百位、十位、個位的限制條件：千位上不能排0,或說千位上只能排19這九個數(shù)字中的一個.而且其他位置上數(shù)碼都不相同， 下面分別介紹三種解法.（方法一）分兩步完成：第一步：從19這九個數(shù)中任選一個占據(jù)千位，有 9種方法；第二步：從余下的9個數(shù)（包

8、括數(shù)字0）中任選3個占據(jù)百位、十位、個位，百位有9種.十位有8種，個位有7種方法；由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9X9X8X7=4536個.（方法二）組成的四位數(shù)分為兩類：第一類：不含。的四位數(shù)有9X8X7X6=3024個；第二類：含0的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓 0占一個位有3種占法，（讓0占位只能 在百、十、個位上，所以有 3種）第二步讓其余 9個數(shù)占位有9X8X7種占法.所以含0的 四位數(shù)有3X9X8X7=1512個.由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù) 3024+1512=4536個.【答案】4536【鞏固】 用0, 1, 2, 3四個數(shù)碼可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？【考點

9、】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 分為兩類：個位數(shù)字為0的有3父2=6個，個位數(shù)字為2的有2M2=4個，由加法 原理，一共有：6+4 =10個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù).【答案】10【例7】 在2000到2999這1000個自然數(shù)中，有多少個千位、百位、十位、個位數(shù)字中 恰有兩個相同的數(shù)？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 若相同的數(shù)是2,則另一個2可以出現(xiàn)在個、十、百位中的任一個位置上，剩下的 兩個位置分別有 9個和8個數(shù)可選，有3X9X8=216（個）；若相同的數(shù)是1,有3X8 =24 （個）；同理，相同的數(shù)是 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8

10、, 9時，各有24個，所以， 符合題意的數(shù)共有 216 + 9X24=432 （個）.【答案】432【例8】 在1000至1999這些自然數(shù)中個位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】（方法一）解決計數(shù)問題常用分類討論的方法.設在1000至1999這些自然數(shù)中滿足條件白勺數(shù)為1abc （其中ca）; （1）當a=0時，c可取19中的任一個數(shù)字， b可取09中的任一個數(shù)字，于是一共有9M10=90個.（2）當a=1時，c可取2 9中的任一個數(shù)字，b仍可取09中的任一個數(shù)字，于是一共有8父10 =80個.（3） 類似地，當a依次取2, 3, 4, 5,

11、6, 7, 8時分別有 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10個符合條件的自然數(shù).所以，符合條件的自然數(shù)有 90+80+70+用+20 +10 =450 個.（方法二）1000至1999這1000個自然數(shù)中，每10個中有一個個位數(shù)等于百位數(shù)，共有 100 個；剩余的數(shù)中，根據(jù)對稱性，個位數(shù)大于百位數(shù)的和百位數(shù)大于個位數(shù)的一樣多，所以 總數(shù)為（1000100）+2 =450 個.【答案】450例9某人忘記了自己的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9.為確保打開保險柜至少要試多少次？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】四個非0數(shù)碼之和等于9的

12、組合有1, 1, 1, 6; 1, 1, 2, 5; 1, 1, 3, 4; 1, 2, 2, 4; 1, 2, 3, 3; 2, 2, 2, 3 六種.第一種中，只要考慮 6的位置即可，6可以隨意選擇四個位置，其余位置方 1,共有4種選第二種中，先考慮放 2,有4種選擇，再考慮5的位置，有3種選擇，剩下的位置放 1,共 有4X3=12種選擇，同理，第三、第四、第五種都有 12種選擇，最后一種與第一種相似， 3 的位置有四種選擇，其余位置放2,共有4種選擇.由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56個不同的四位數(shù)，即為確保打開保險柜至少要試56次.【答案】56【例10】將1到

13、35這35個自然數(shù)連續(xù)地寫在一起，夠成了一個大數(shù)： 1234567891011333435,則這個大數(shù)的位數(shù)是 ?！究键c】加乘原理之綜合運用【難度】3星 【題型】填IE【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 這個數(shù)的位數(shù)與數(shù)碼的總共個數(shù)有關系，從1到9都是一位數(shù)，則共有 9個數(shù)碼，從10到35全市兩位數(shù)，則共有26黑2=52 （個）數(shù)碼，那么位數(shù)就共有9+52=61 （位）。【答案】61【例11】如圖，希望杯數(shù)學能力培訓教程（四年級）一書有 160頁，在它的頁碼中, 數(shù)字“2”共出現(xiàn)了 次。【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 十位上是2的有

14、20個（含有22和122）,個位上是2的有14個（除了 22和122）, 所以共有34個數(shù)?！敬鸢浮?4個【例12按照中國籃球職業(yè)聯(lián)賽組委會的規(guī)定，各隊隊員的號碼可以選擇的范圍是055號，但選擇兩位數(shù)的號碼時，每位數(shù)字均不能超過5.那么，可供每支球隊選擇的號碼共（）個.（A） 34 （B） 35 （C） 40 （D） 56【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星 【題型】選擇【關鍵詞】華杯賽，初賽，第3題【解析】 根據(jù)題意，可供選擇的號碼可以分為一位數(shù)和兩位數(shù)兩大類，其中一位數(shù)可以為09,有10種選擇；兩位數(shù)的十位可以為15,個位可以為05,根據(jù)乘法原理，兩位數(shù)號碼有 5X6=30種選擇。所以可

15、供選擇的號碼共有10+30=40種?！敬鸢浮緾種【例13】從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 從1到100的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù).一位數(shù)中，不含 4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9;兩位數(shù)中，不含 4的可以這樣考慮：十位上，不含 4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況.個位上，不含 4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有8父9=72個數(shù)不含4.三位數(shù)只有100.所以一共有8+8黑9+

16、1 =81個不含4的自然數(shù).【答案】81【鞏固】 從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個？7-3-2.加乘原理之數(shù)字問題（一）.題庫page 5 of 7教師版【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù).一位數(shù)中，不含 4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9;兩位數(shù)中，不含 4的可以這樣考慮：十位上，不含 4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種 情況.個位上，不含 4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)， 可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共

17、有8X9=72個數(shù)不含4.三位數(shù)中，小于 500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含 4的有1、2、3、這三種情況.十位上，不含 4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個位上，不含 4 的也有九種情況.要確定一個三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有3M9父9 =243個三位數(shù).由于500也是一個不含 4的三位數(shù).所以，1500中，不含 4的三位數(shù)共有 3x9x9 +1=244個.所以一共有8+8x9+3父9父9+1 =324個不含4的自然數(shù).【答案】324【鞏固】 從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)有多少個？【考點】加乘原理

18、之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 從1到300的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù).一位數(shù)中，不含 2的有8個，它們是1、3、4、5、6、7、8、9;兩位數(shù)中，不含 2的可以這樣考慮：十位上，不含 2的有1、3、4、5、6、7、8、9這八種 情況.個位上，不含 2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)， 可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有8父9=72個數(shù)不含2;三位數(shù)中，除去 300外，百位數(shù)只有1 一種取法，十位與個位均有0, 1, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9九種取法，根據(jù)乘法原理，不含數(shù)字 2的三位數(shù)有：1x9x

19、9=81個，還要加上300;根據(jù)加法原理，從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)一共有8 +72 +82 =162 個.【答案】162【例14】將各位數(shù)字白和是10的不同的三位數(shù)按從大到小的順序排列，第10個數(shù)【考點】加法原理之分類枚舉【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 百位是9的有2個，百位是8的有3個，百位是7的有4個，這一共是9個，接下 來應該是百位是6的，其中最大的是 640,所以第10個數(shù)是640。【答案】640【例15】把所有不含重復數(shù)字的四位偶數(shù)從小到大排成一列，則從前往后數(shù)第364個數(shù)是多少？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填

20、空【關鍵詞】學而思杯，5年級，第9題【解析】1打頭的數(shù)中，個位有 5種取法，剩下的兩位分別有8種取法和7種取法，總共有5 M8M7 =280個數(shù)。364-280=84 ,所以第364個數(shù)是2打頭的第84個數(shù)。2打頭 的數(shù)中，百位是奇數(shù)時，個位有 4種取法，十位有 7種取法，總共有 28個數(shù)；百 位是偶數(shù)時，個位有 3種取法，十位有 7種取法，總共有21個數(shù)。前兩位是20, 21, 23, 24 的分別有 21, 28, 28, 21 個，84-21-28-28=7 ,所以 2 打頭的第 84個 數(shù)是24打頭的第7個數(shù)。列舉可得前 7個數(shù)是2406, 2408, 2410, 2416, 2418

21、, 2430, 2436,所以是 2436?！敬鸢浮?436【例16】由數(shù)字1, 2, 3, 4組成的所有四位數(shù)中（數(shù)字不重復使用），從小到大排列，第7個數(shù)是.【考點】加乘原理之綜合運用【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，3年級，第2題【解析】1開頭的數(shù)有6個，所以第7個數(shù)應該是2開頭的最小的數(shù)，那么應該是2134【答案】2134【鞏固】 由1, 2, 3, 4, 5五個數(shù)字組成的不同的五位數(shù)有120個，將他們從大到小排列起來，第95個數(shù)是。【考點】加乘原理之綜合運用【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】希望杯,4年級,1試【解析】1打頭白有24個，2打頭24個，3打頭24個，4打頭24個

22、，正好96個，第96 個數(shù)是45321 ,第95個是45312?！敬鸢浮?5312【例17】由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列，2008排在第個.【考點】加乘原理之綜合面【難度】4星【題型】解答【關鍵詞】第二屆，華杯賽【解析】 比2008小的4位數(shù)有2000和2002,比2008小的3位數(shù)有2M3父3=18 （種），比 2008小的2位數(shù)有2黑3=6 （種），比2008小的1位數(shù)有2 （種），所以2008排在 第2十18+6+2+1 =29 （個）.【答案】29【例18】從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個一位數(shù)乘法.如果其中的6可以看成9,那么共有多少種不同的乘積？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 取2有8、12、16、18四種，取4增力口 24、32、36三種，取6增力口 48、72兩種， 一共有9種【答案】9種【鞏固】 有七張卡片：1、1、國、3、9、9、叵,從中任取3張可排列成三位數(shù)。 若其中卡片回旋轉后可看作回，則排成的偶數(shù)有 個?！究键c】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第 19題【解析】 當個位是2時，有15種，當個位是6時有23種，一共有15