《第13章三角形中的邊角關系、命題與證明》學習指導

1、第13章 三角形中的邊角關系、命題與證明學習要求：1.理解三角形的角平分線、中線、高線的概念及性質。會用刻度尺和量角器畫出任意三角形的角平分線、中線和2 .掌握三角形的分類，理解并掌握三角形的三邊關系。3 .掌握三角形內角和定理及推論，三角形的外角性質與外角和。4 . 了解三角形的穩(wěn)定性。知識要點:、三角形中的邊角關系1.三角形有三條內角平分線，三條中線，三條高線，它們都相交于一點。 注意：三角形的中線平分三角形的面積。2 .三角形三邊間的不等關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。注意：判斷三條線段能否構成一個三角形時，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊,法是

2、看兩條較短線段的和是否大于第三條最長的線段。3 .三角形各角之間的關系：三角形的內角和定理：三角形的三個內角和為180°。三角形的外角和等于 360° （每個頂點處只取一個外角）；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。4 .三角形的分類三角形按邊的關系可以如下分類：其簡便方不等邊三角形三角形,等腰三角形：底和腰不相等的等腰三角形等邊三角形三角形按角的關系可以如下分類:三角形直角三角形Rt（有一個角為直角的三角形）（如一個也銳角三角形（三個角都是銳角的三角 斜二角形，于屯角三角形（有一個角為鈍角的三角形）形）5.三角形具有

3、穩(wěn)定性。知識結構:三角形的三邊關系全戲的 鋪設->三角形的內角和->外角性質I多邊形I徑邊形的內角和多朋外角和用正多邊形鋪滿地面24、命題與證明1 .判斷一件事情的句子是命題，疑問句、感嘆句不是命題，計算不是命題，畫法不是命題。2 .命題都可以寫成：“如果，那么。”的形式。為了語句通順往往要加“字”，但不改變順序。3 .命題由題設、結論兩部分組成?！叭绻焙竺娴氖穷}設，“那么”后面的是結論。4 .命題分為真命題和假命題。真命題需要證明，假命題只要舉出一個反例。5 .將命題的題設和結論交換就得到原命題的逆命題。逆命題可真可假。6 .公理和定理都是真命題，公理不需要證明，定理必須證明。

4、7 .定理的逆命題如是真命題就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命題。8 .命題的證明方法和步驟。證明需要掌握的判定與性質：(1)兩直線平行同位角相等。同位角相等兩直線平行。(2)兩直線平行內錯角相等、同旁內角互補。內錯角相等兩直線平行。同旁內角互補兩直線平行。(3)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。(4)線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。(5)三角形內角和定理和推論。三角形中位線定理。(6)三角形全等：“ SS6、“SAS、"ASA 。全等三角形的對應邊相等，對應角相等。(7)等腰三角形的判定與性質。(8)直角三角形的判定與性質。9 .反

5、證法假設，推理，矛盾，結論。第13章 三角形中的邊角關系、命題與證明練習題一、填空題：1 .三角形的一邊是8,另一邊是1,第三邊如果是整數(shù)，則第三邊是 ，這個三角形是 三角形。2 .已知三角形兩邊的長分別為1和2,如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為 。3 .三角形的三邊長分別為 a -1 , a , a +1 ,則a的取值范圍是 。4 .三角形的三邊為1, 1 -a , 9,則a的取值范圍是 。5 .已知a, b, c為AABC的三條邊，化簡 叱a+b-c) 2 |b ac| =。6 .在 ABC中，AB= AC, AD是中線， ABC的周長為 34cm, 4ABD的周長為 30cm,

6、求AD的長。7 .如圖，CE平分/ ACB 且 CE! DB, / DAB= / DBA AC= 18cm, CBD勺周長為 28 cm,貝U DB=。8 .已知等腰三角形兩邊長分別為4和9,則第三邊的長為9 .等腰三角形的周長為 20cm,(1)若其中一邊長為 6cm,則腰長為 (2)若其中一邊長為 5cm,則腰長為 .10 .等腰 ABC中，AB= AC, BC= 6cm,則 ABC的周長的取值范圍是 11.等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15厘米和6厘米兩部分，則此三角形的底邊長為 O15厘米和11厘米兩部分，則此三角形的底邊長為12 .等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周

7、長分為13 .寫出“等腰三角形兩底角相等”的逆命題14 .已知一個等腰三角形兩內角的度數(shù)之比為1 ： 4,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為q15 .三角形的最小角不大于 _ 度,最大角不小于 度。16 .三角形的三個內角中至少有 個銳角,三個外角中最多有 個銳角。17 .在 ABC中，若/ C= 2 （/ A+ / B）,則/ C=度。,-11_ 一18 .在 ABC中，/ A = / B= /C,則/ B=。2319 .如果 ABC的一個外角等于 150°，且/ B=/ C,則/ A=。20 .如圖，已知/ 1 = 20° , / 2 = 25 , / A= 50°

8、 ,貝U/ BDC勺度數(shù)是 。21 .如圖，在 ABC中，/ A= 80° , / ABC/ ACB的外角平分線相交于點 D,那么/ BDC= 22 .紙片 ABC中，/ A= 65° , / B=75° ,將紙片的一角折疊，使點C落在 ABC內（如圖），若/ 1 =20° ,則/ 2的度數(shù)為。（第20題圖）（第21題圖）23.紙片 ABC中，/ A= 65° , / B= 75° ,將紙片的一角折疊，使點 / 1的度數(shù)為。（第22題圖）C落在 ABC外（如圖），若/ 2=20° ,則24.認真閱讀下面關于三角形內外角平分線

9、所夾的探究片段，完成所提出的問題。探究1:如圖1,在 ABC中，O是/ ABC與/ ACB的平分線BO和CO勺交點，通過分析發(fā)現(xiàn)/BOC= 90° + 1/A,理由如下：2.BO和CO另1J是/ ABC / ACB的角平分線， / 1= 1/ABC / 2= 1/ACB221. / 1+Z 2= - （ Z ABO / ACB）又/ABa Z ACB= 180° /A/ 1+Z 2= 1 (180° -Z A) = 90° - Iza22./BOG= 180° (/ 1 + Z 2) =180° (90° 1 ZAO = 9

10、0° + 1 / A。22探究2:如圖2中，。是/ABC與外角/ ACD勺平分線BO和CO勺交點，i3t分析/ BOC / A有怎樣的關系？請 說明理由。探究3:如圖3中，。是外角/ DBC與外角/ ECB的平分線BO和CO的交點，則/ BOCW/ A有怎樣的關系？(只 寫結論，不需證明)。結論：。25 .如圖，已知/ A= 80° ,(1)若點。為兩角平分線的交點，則/ BOC=(2)若點。為兩條高的交點，/ BOC=。26 .如圖， ABC的面積等于12cm2, D為AB的中點，E是AC邊上一點，且 AE= 2EC。為DCf BE交點, 若 DBO的面積為acm2, C

11、EO勺面積為bcm2,則ab=。27 .如圖， ABC的/ B的外角的平分線與/ C的外角的平分線交于點 P,連接AR若/ BPC= 50° ,則/ PAC=度。BC(第25題圖)(第26題圖)C28 .如圖， ABC的外角/ ACD的平分線 CP與內角/ ABC的平分線 BP交于點P,若/ BPC= 40° ,則/ CA之C度。、選擇題:1 .在下列長度的四根木棒中，能與3cm, 7cm兩根木棒圍成一個三角形的（）A. 7cmB . 4cmC . 3cmD . 10cm2 .若A ABC的三邊長分別為整數(shù)，周長為 11,且有一邊為4,則這個三角形的最大邊長為（）A.7B.

12、6C.5D.43 .若 ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于 10,則這樣的三角形共有（）A. 6個 B .7個 C .8個 D .9個4 .三角形的三邊分別為3, 1-2a, 8,則a的取值范圍是（）A.6vav3 B. -5<a<- 2C.2<a<5 D.a v5 或 a>- 25 . 一個三角形的周長為奇數(shù)，其中兩條邊長分別為4和2011,則滿足條件的三角形的個數(shù)是（）A. 3B. 4C.D. 66 .四條線段的長度分別為 4、6、8、10,可以組成三角形的組數(shù)為（）A.4B.3C.2D.17 .等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩部分，則此三角形底邊之

13、長為（）A. 7B. 11C.7或11 D .不能確定8 . 一個三角形三個內角的度數(shù)之比為2 ： 3 ： 7,這個三角形一定是（）A.直角三角形B .等腰三角形 C .銳角三角形D .鈍角三角形9 .已知一個三角形三個內角度數(shù)的比是1 ： 5： 6,則其最大內角的度數(shù)（）A. 60°B . 75°C . 90°D , 120°10 .如果三角形的一個內角等于其它兩個內角的和，這個三角形是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形C. 直角三角形 D.斜三角形11 .三角形的一個外角大于相鄰的一個內角，則它是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能

14、確定12 .在 A ABC中，如果/ A- / B= 90° ,那么 A ABC是（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.斜三角形13 .三角形中，最大角 a的取值范圍是（）A. 0 "一： 90B.60 :二：<180C. 60 < 二：二 90D. 60 < 二；18014.在 ABC中，AB= AC D在AC上，且 BD= BC= AD則/ A的度數(shù)為（）A. 30°B . 36°C. 45°D. 72°）?；?35° D.以上答案都不對AC上，則/ 1 + Z 2的大小為（）15 .直角三

15、角形的兩個銳角的平分線所交成的角的度數(shù)是（A.45°B.135°C.4516 .如圖， ABC中，/ A= 50°，點 D E分別在ABA. 130°B.17.已知如圖，/ A= 32230°,/ B=45C. 180°,Z C= 38° 貝U/ DFE等于(D. 310)A.120 °B.115°C.110（第16題圖）D.105（第17題圖）18 .在 ABC中，/ B= 50° ,A. 0° <Z Av 180°C. 50° </ Av 130&#

16、176;AB> AC,則/ A的取值范圍是（）B. 0 ° </ Av 800D. 80° </ Av 13019 .若a、P、尸是三角形的三個內角，而x=a 十 P, y = P+¥, z = ¥ + a,那么 x、 y、z 中，銳角的個數(shù)的錯誤判斷是（C ）A .可能沒有銳角BC.可能有兩個銳角D20.如果三角形的一個外角等于它相鄰內角的（ ）A .銳角三角形B .直角三角形.可能有一個銳角最多一個銳角2倍，且等于它不相鄰內角的 4倍，那么這個三角形一定是C .鈍角三角形D .正三角形21 .在ABC中1如圖1,若P點是/ABC和/

17、 ACB的角平分線的交點，則/ P= 90 + /A；21如圖2,若P點是/ ABC和外角/ ACE的角平分線的交點，則/ P= /A;2如圖3,若P點是外角/ CBF和/ BCE的角平分線的交點，則/ P= 90° - 1 ZAo上述說法正確的個數(shù)是（）A 0個B.1個 C .2個D.3個2F分別為邊BC AR CE的中點，且S&BC =4cm2,則S陰影T （）2A.2cmB.1cm2C.cmD.1cm22423.如圖，已知ABC為直角三角形，/C= 90°,若沿圖中虛線剪去/C,則/1 + Z 2kA. 315°B.270°C.180

18、76;D.135°22.如圖所示，在 ABC中，已知點D、E、5.如圖，在 ABC中，D是BC上一點，若/ B= / C, / 1 = / 3,則/ 1與/ 2的關系為（）A. Z 1=27 2B. 2/1 + /2=180°C. / 1 + 3/2= 180°D. 3/1/2=180°24.如圖，在 ABC中，D是BC上一點，若/ B= / C, /1 = /3,則/1與/2的關系為（A. /1 = 2/2C. _】一卜B.D.（第23題圖）（第24題圖）A落在四邊形BCD矽卜部A/的位置，則/ A、/ 1與/2的數(shù)量關系，結B 1） C圖3（第22題

19、圖）25.如圖，把 ABC紙片沿DE折疊，使點論正確是（）26.27.A. / 1 = / 2+/A'C. 2 / 1 = 7 2 + /A'如圖，A. 60°ABC的兩個外角的平分線相交于D, C如圖,A.45若/ B= 50° .65°BP相交于點 °./ 1 = 2/2+2/A'./ 1 = 2/A' + / 2,則/ ADC=()D. 40°P,若/ BPC= 35° ,貝U/ CAP=()D.65ABC的外角平分線 CP和內角平分線°°B.50（第25題圖） 解答下列各題：

20、C.55°（第26題圖）（第27題圖）1. ABC的三邊長分別為 4、9、x,求x的取值范圍；求 ABC周長的取值范圍；當x為偶數(shù)時，求x;當 ABC的周長為偶數(shù)時，求 x;當 ABC周長是5的倍數(shù)時，求x;若 ABE等腰三角形，求 x。2 .已知 ABC的三條邊為整數(shù)，且22a +b 4a2b+5 =0 ,求 c的值。3 .對于同一平面內的三條直線a、b、c,給出下列五個論斷：(1) a/b; ( 2) b±c; ( 3) a±b; ( 4) all c; ( 5) a±co以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結論，組成一個你認為正確的命題。4 .證明：兩

21、條平行直線被第三條直線所截，一組同旁內角的平分線互相垂直。5 .有5根木條，其長度分別為 4, 8, 8, 10, 12,用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形?6 .如圖，在 ABC中，/ A= 96° ,延長BC到D, / AB*/ ACM平分線相交于 A1 , / A BC與/ ACD的平分線相交于 A2,依此類推，/ A4BC與/ A4CD的平分線相交于 N,則/ A5的大小是多少?7 .在 ABC中，/ A= 50° ,高BE CF所在的直線交于點 O,求/ BOC勺度數(shù)。8 . ( 1)已知如圖(a),在 ABC中，/ C>/ B, ADL BC于D, A

22、E平分/ BAC則/ EAD與/ B, / C有何數(shù) 量關系？(a)(2)如圖(b) , AE平分/ BAC F為其上一點，且 FD± BC于D,這日EFD與/ B、/ C又有何數(shù)量關系?（3）如圖（c） , AE平分/ BAG F為AE延長線上一點，F(xiàn)D± BC于D,這時/ AFD與/ B / C又有何數(shù)量關系?9.如圖，P為 ABC內任意一點，求證:/ BPC >/ A;/ BPC= / ABP+ / A+ / ACP AB+ AO PB+ PG10.如圖中的幾個圖形是五角星和它的變形（1）圖（1）中是一個五角星，求/ A+ / B+Z C+ / D+ / E（2

23、）圖（1）中點A向下移到BE上，五個角的和有無變化？（即/CADF / B+/ C+ / D+ / E如圖（2）,說明你的結論的正確性。（3）把圖（2）中點C向上移動到 BD上，五個角的和（即/ CADF / B+ / AC4/ D+ / E）有無變化？如圖（3）, 說明你的結論的正確性。11 .如圖已知 ABC中，/ B和/ C外角平分線相交于點P。(1 )若/ ABC= 30 ° , / ACB= 70 ° , 求/ BPC 度數(shù)。(2)若/ ABC= a , / BPC= 3 ,求/ ACB度數(shù)。12 . ABC是一個三角形的紙片，點D、E分別是 ABC邊上的兩點。(

24、1)如果紙片沿直線腳折疊， 使點A正好落在線段 AC上，如圖1 ,此時/ A與/ BDA的關系是 (2)如果紙片沿直線 DE折疊，使點A落在 ABC的內部，如圖2,試猜想/ A和/BDA、/ CEA的關系是A落在 ABC的外部，如圖3,則此時/ A和/BDA、/CEA的關系是(3)如果紙片沿直線 DE折疊，使點,請說明理由。D13 .如圖所示，BE、CD交于A點，/C和/E的平分線相交于 F。(1)試求：/ F與/B, / D有何等量關系？(2)當 / B： /D： /F=2：4：x時，x 為多少?14 .若 ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10,則這樣的三角形共有幾個?15 .有一位同學在

25、數(shù)學競賽輔導書上看到這樣一道題：“已知A ABC的三邊長分別是a, b, c。且a、b、c的值滿足等式|b+c 2a| + (b+c-5) 2=0,求b的取值在什么范圍？ "。你能解答這道題嗎？16 .在 A ABC中，Z A>Z B>Z C ,且/ A= 4/C,求/ B 的范圍。17 .在 ABC中，/ A是最大角，/ C是最小角，且/ A= 2/C,求/ C的取值范圍。第13章 三角形中的邊角關系練習題答案一、填空題：6 . AD= 13cmo 7 . 8cm；一，,22 一，.10厘米或2厘米。3.60, 60; 16 . 2, 1;.50° ;8. 9

26、 。1. 8,等腰。2.2。 3 . a >2o 4 . 9<a<7 5 , 2b 2c。，、15.9. (1) 6cm或 7cm； (2) cmo10 ,周長12。11. 1。12213.有兩個角相等的三角形是等腰三角形；14 . 20°或120° ;1517. 120° ;18 . 60° ;19 . 30° 或 120° ;20 . 95° ;21|22.解：如圖，CEF+/CF曰 / C= / A+ / B+ / C, ./CEF+ Z CFE= /A+ Z B=85° +55°

27、 =140° , 又將紙片的一角折疊，使點C落在 ABC內，cBB ./C' EF+ /C' F=Z CEF+ Z CFE= 140° /CEC + / CEC =140° +140° =280° / 1=20° ,23.Z 2=180° X2/CEC + / CEC -Z 故答案為：60。解：如圖，. / A= 65° , / B= 75° , ./ C= 180° /A / B= 180° -65又將三角形紙片的一角折疊，使點./C' = / C= 40&#

28、176; ,而/ 3+/2+/5+/C' =180° ,1 =360°-75°24.25.-280° -20° =60°C落在 ABC外,/5=/4+/C= Z 4 + 40° , / 2 = 20° , . / 3+20° +Z 4 + 40° +40° =180° ,. / 3+Z 4=80° , / 1 = 180° -80° = 100°故答案為100。/ BOG= 1 / A, / BOG= 90° 2(1)

29、 130° ; ( 2) 100° 或 80DE27 .解：延長 BA,彳Pl AD PFXBA, PIVL BC,設/ PCD= x ,. CP平分/ ACD/BCA / PCD= x , PM= PN BP平分/ ABC / AB之 / PBC PF= PNPF= PM. / APG= 50° , / BA之 / PAC= (x50)(x° 50° ) ( x° 50° ) = 100° ,/ ABG= / BCD- / BAC= 2x ./ CBF= 100° , 在 RtPFB和 RtPMB中,

30、PA= PA, PM= PF, RtAPFE RtAPMBFAP= / PAC= 40° 。28 . 50° 。二、選擇題：1 .A 2,C3. D 4.B5. B 6.C12.B13. C 14.B15.C16.B7.C8.D9.C10.C11.D17.B18.B19.C20.B.C 27. C分析：根據(jù)外角與內角性質得出/BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出/CAP=21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26 考點：三角形內角和定理。/FAP,即可得出答案。解：延長 BA,彳PN± BD, PF± BA, PM

31、L AC, 設/ PCD= x ,. CP平分/ ACD ，/ACR= / PCD= x , PM= PN, . BP平分/ ABC ，/ABP= / PBC PF= PN, .PF= PM . / BPC= 35° , ./ ABP= / PBC= (x35) ° , ./ BAC= /ACD- / ABC= 2x ( x ° 35° ) ( x ° 35° ) = 70 CAF= 110° ,在 Rt PFA和 Rt PMM, PA= PA, PM= PF, .RtAPF/ Rt PMA / FAP= / PAC= 55

32、° 。故選C。三、解答下列各題：1 . 5Vx<13;18V4ABC的周長V 26;當x為偶數(shù)時，x=6、8、10、12;當 ABC的周長為偶數(shù)時，x=7、9、11;當 ABC周長是5的倍數(shù)時，x=7、12;若 ABC為等腰三角形，x=9o2 . a=2, b=1, 1 <c<3,則整數(shù) c = 2。3 .答案不惟一，如果 a / b , b _L c ,那么a _L c ;如果b _L c, a _L b ,那么a / c ;如果b _L c, a 那么a / b等。4 .要畫圖，寫已知、求證、證明。5 . 6 種（4、8、8; 4、8、10; 8、8、10; 8

33、、8、12; 8、10、12、4、10、12）6 . 3°。7 . / BOC= 50° 或 130° ;8 .解：（1） - AD± BC,/ ADC= 90° , ./ CAD= 90° -Z C AE 平分/ BAG 1 / EAC= 1 / BAC2 . / BAC= 180° -Z B -Z CEAC= 1 (180° /B/Q =90° - 1 ZB -1ZC,222 ./ EAD= / EAC- / CAD= 90° -1ZB-1ZC- (90。-Z O221 ，八,=-(ZC-/

34、 B)。2(2)如圖(b),過 A作 AG, BC于 G 由(1)知/ EAG=3(/ C / B)。，2 . AG± BC,FD± BC, ./ AGC= / FDG= 90° , .FD/ AG ./ EFD= / EAG1 ./ EFD=(/C / B)。2(3)如圖(c),過點 A作 AGL BC于 G,由(1)知/ EAG= 1 ( / C / B)。2 AGL BC, - FD± BC, ./ AGB= / FDC= 90° ,FD/ AB, ./ AFD= / EAG，1 ，一，一 .Z AFD= - (ZC- / B)。2說明：

35、在處理三角形中角的問題時，有時需要從整體出發(fā)進行思考，有時也可以通過適當添加輔助線使未 知問題轉化成已解決的問題，像本題這種類型的題目，既要看到圖形的變化，又要抓住變化中的內在聯(lián)系。9 .延長BP交AC于D/ BPO / PDO / A;/ BPG= / PDO / ACP / PDC= / A+ / ABP;/ BPG= / A+ / AB% / ACP ; AB+ AD> BDPD+ DC> PGAB+ AA PD+ DC> BD+ PGAB+ AO PB+ PG10 . (1) 180° 。(2)無變化。理由：/ CADF / B+ / C+ / E=/ CA

36、DF / EAA / BAC= 180° 。(3)無變化。理由：/ CA* / B+ / AC曰 / D+ / E= / AC / AC曰 / ECD= 180° 。解：(1) / BPC= 180 ° - ( 1 / EBC+ 1 / BCF) 22=180 ° - 1 ( / EBC+ / BCF) = 180 ° 1 ( 180 ° / ABC+ 180 ° / ACB)22=180 ° - 1 ( 180 ° - 30 ° + 180 ° - 70 ° )212.13.14.15.解：(1) / BDA = 2/A;根據(jù)折疊的 T質可知/