高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(完整版)

1、高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)必修一一、集合一、集合有關(guān)概念1 .集合的含義2 .集合的中元素的三個(gè)特性：(1)元素的確定性如：世界上最高的山(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合 H,A,P,Y(3)元素的無序性：如：a,b,c和a,c,b是表示同一個(gè)集合3 .集合的表示：如：我校的籃球隊(duì)員, 太平洋, 大西洋，印度洋，北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì) 員,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。 注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N正整數(shù)集 N*或N+ 整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù) 集R1) 列舉法：a,b,c2) 描述法：將集合中的元素的公

2、共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。xR| x-3>2 ,x| x-3>23) 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形4) Venn 圖：4、集合的分類：(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合(2)無限集含有無限個(gè)元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：x|x2= 5二、集合間的基本關(guān)系1 .“包含"關(guān)系一子集注意：AQ B有兩種可能（1） A是B的一部分，；（2） A 與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作 A% 或 B-A2 .“相等”關(guān)系A(chǔ)=B （5有，且5W，則5=5）實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1“元素相同則兩集

3、合相等”即： 任何一個(gè)集合是它本身的子集。A三A真子集:如果A2B,且A# B那就說集合A是集合B的真UD子集，記作A手B（或B二A）如果 AB, BEC，那么 A£C如果AGB 同時(shí)B工A那么A=B3 .不含任何元素的集合叫做空集，記為 規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真 子集。有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集二、函數(shù)1、函數(shù)定義域、值域求法綜合2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問題的解題策略3、包成立問題的求解策略4、反函數(shù)的幾種題型及方法5、二次函數(shù)根的問題一題多解&指數(shù)函數(shù)y=aAx aAa*aAb=aAa+b（a>0,a、b 屬于 Q）

4、(aAa)Ab=aAab(a>0,a、b 屬于 Q)(ab)Aa=aAa*bAa(a>0,a、b 屬于 Q)指數(shù)函數(shù)對稱規(guī)律：1、函數(shù)y=aAx與y=aA-x關(guān)于y軸對稱2、函數(shù)y=aAx與y=-aAx關(guān)于x軸對稱3、函數(shù)y=aAx與y=-aA-x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱&對數(shù)函數(shù)y=logaAx如果 a>0,且 a#1, M >0, Na0,那么：O loga(M N) = loga M + log a N ;© log a M = log a M - log a N ；N© log a M n = n log a M (n = R).注意：換底公

5、式log a b = 10g c b (a>0,且 a=1 ; c>0,且 c=1; b>0). log c a幕函數(shù)y=xAa(a屬于R)1、幕函數(shù)定義：一般地，形如y =xa(aw R)的函數(shù)稱為幕 函數(shù)，其中«為常數(shù).2、幕函數(shù)性質(zhì)歸納.(1)所有的幕函數(shù)在(0, 十°°)都有定義并且圖象都過點(diǎn)(1, 1)；(2) a >0時(shí)，幕函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間0,y) 上是增函數(shù).特別地，當(dāng)口 下1時(shí)，幕函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 0；二：二1時(shí)，幕函數(shù)的圖象上凸；(3) 0 <0時(shí)，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,收)上是減函數(shù).在 第一象限

6、內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限 地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+笛時(shí)，圖象在x軸上方無限 地逼近x軸正半軸.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù) y= f(x)(xw D),把使f(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y = f(x)(xw D)的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y = f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x) = 0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y = f (x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程f (x) =0有實(shí)數(shù)根U函數(shù)y = f (x)的圖象與x軸有交點(diǎn)u函數(shù)y = f(x)有零點(diǎn).3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：0 (代數(shù)法)求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；© (幾何法)對于不能用求

7、根公式的方程，可以將它與函數(shù)y = f (x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù) y = ax2 +bx + c(a #0).(1) > 0 ,方程ax2 +bx+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(2) = 0 ,方程ax2 +bx+c=0有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階令點(diǎn).(3) <(),方程ax2+bx+c=0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).三、平面向量向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向

8、、長度.零向量：長度為0的向量.單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.相等向量：長度相等且方向相同的向量&向量的運(yùn)算加法運(yùn)算AB + BC = AC ,這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。已知兩個(gè)從同一點(diǎn)。出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB,以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊 形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則 叫做向量加法的平行四邊形法則。對于零向量和任意向量a,有：0 + a = a + 0 = a。|a + b| Wa| 十 |b|。向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。減法運(yùn)算與a長度相等，方向相反的向量，叫做 a的相反向量，一(一a) = a,零向量的相 反向

9、量仍然是零向量。(1) a+( a) ( a) + a = 0 (2) a b = a + ( b)。數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)人與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作入a, |同=|*a|, 當(dāng)入0時(shí)，抬的方向和a的方向相同，當(dāng)入 0時(shí)，抬的方向和a的方向相反， 當(dāng)入=0時(shí)，入a = 0 o設(shè)入、11是實(shí)數(shù),那么：1)(入檢=乂陽)(2)(入山a = 2a a (3) /(a ± b)= a ± ?b (4) (#a = (?a) = 4 a)。向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a、b,那么|a|b|cos 0叫做a與b的數(shù)量積或

10、內(nèi)積，記作a?b , 8是a與b的夾角，|a|cos 0 (|b|cos 8)叫做向量a在b方向上(b在a方向上) 的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為 00a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 0 的乘積。兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。四、三角函數(shù)1、善于用1 “巧解題2、三角問題的非三角化解題策略3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法4、三角函數(shù)向量綜合題例析5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法象/xx#kn+,kZ 321-1,11-1,11x = 2k 二萬 k 三二 當(dāng) x = 2k兀(k wz )時(shí),，Ymax =1ymax =1 ；當(dāng)

11、X = 2kn + 江既無最大值也無最小nx =2匕一一2(k-Z/寸,ymin = -1(kW Z )時(shí)，yminJT奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)在 2k二-71,2k- -22在12k 二-二,2 k二 1k -(k-Z )上是增函數(shù)；在上是增函數(shù)；k 二，k二一2212k二,2k 二二二 3 二2k 二一，2k 二IL 22(k-Z止是減函數(shù).(k-2 )上是減函數(shù).心對 稱 中 心稱 k-,0 k,性對 稱 軸 ( 式Q I r»,。-無對稱軸k二一，0 k 72nx = k 二 一 k 三二 2對稱軸 x = kn (k wz )必修四角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重

12、合，終邊落在第幾象限，則稱0f為第幾象限角.第一象限角的集合為a|k 360c 久k ,360，'+90',kw Z第二象限角的集合為 ta k 360C+90°k 360C +1800, ke Z）第三象限角的集合為 «|k 360c + 180;a k 360，+270,kw Z第四象限角的集合為 Q|k 360' + 270豆k 36。"+360、kw /終邊在x軸上的角的集合為 回口 =k 180,kw 2終邊在y軸上的角的集合為a|o（=k 180，+90lkWZ終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為小心=k 90，,kW Z3、與角口終邊相

13、同的角的集合為P|P =k 360C +a,k Z）4、已知a是第幾象限角，確定一（nWN ）所在象限的方法：先把各象限均分n等 n份，再從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則 a原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為 巴終邊所落在的區(qū)域. n5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:sin (2k 九 + a ) =sin a cos ( 2k 九 + a ) =cos atan (2k 兀 + a ) 4an acot (2k 九 + a ) wot a公式二：設(shè)a為任意角，兀a的三角函數(shù)值與a的

14、三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (九 + a ) = -sin acos (九 + a ) = -cos atan (九 + a ) Han acot (九 + a ) =cot a公式三：任意角a與- a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin ( a ) = sin acos (a) =cos atan ( a ) = tan acot ( a ) = cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到冗-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (九一a ) win acos (九一a ) = -cos atan （九一a ） = Han a cot （九一a ） = -cot a公式五：利用公式一和公式三可

15、以得到 2九-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin （2 九一a ） = -sin acos （ 2 九一a ） =cos atan （2 九一a ） = Han acot （ 2 九 一 a ） = -cot a公式六：九/2 土 a蛻兀/2 土 a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin （冗/2 + a ） =cos acos （冗/2 + a ） = sin atan （冗/2 + a ） = cot acot （冗/2 + a ） = tan asin （九/2 a ） =cos acos （九/2 a ） =sin atan （九/2 a ） =cot a cot （九/2 a ） =t

16、an asin ( 3 冗/2 + a ) = cos a cos ( 3 冗/2 + a ) =sin atan (3 tt/2 + a ) = cot acot (3 tt/2 + a ) = tan asin ( 3 冗/2 a ) = cos acos (3冗/2a) =sinatan (3 tt/2 a) =cot acot (3 tt/2 a) =tan a(以上k&)其他三角函數(shù)知識(shí)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系 :tan a Got a =1sin a ?csc a =1cos a ?sec a =1商的關(guān)系： sin a/cos a Tan

17、 a =sec oJcsc a cos o/sin a Kot a KSC oJseC a平方關(guān)系：sinA2( o) +8sA2( d)=11 +tanA2( a)=secA2( a)2 +COtA2( a) = CscA2( a)兩角和差公式3 .兩角和與差的三角函數(shù)公式sin ( a + B ) =sin acos B 4cos asin Bsin ( a B ) =sin acos B -cos asin B cos ( a + B ) =cos acos B -sin osin B cos ( a B ) =cos acos 0 4sin osin 0tan a 中an Btan (

18、 a + 0 )=1 tan a Zan 0tan a Han 0tan ( a - 0 )=倍角公式3.二倍角的正弦、余弦和正切公式(開幕縮角公式)sin2 a =2sin ocos acos2 a =c0sA2( a) sinA2( a) = 28sA2( a) 1 =1 2sinA2( a)2tan atan2 -=1 tanA2( a)半角公式4.半角的正弦、余弦和正切公式(降幕擴(kuò)角公式)1 cos asinA2( M2)-1 + cos a8sA2( oJ2)- 21 cos atanA2( a/2)-1 + cos a萬能公式5.萬能公式2tan( gsin -=1 +tanA2( g1 tanA2( g cos -=1 +tanA2( g2tan( gtan -=1 tanA2( g和差化積公式7.三角函數(shù)的和差化積公式a + 0 a 0sin a 4sin 0 =2sin ?cos 2 2a