一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及其典型例題

1、一次函數(shù)基本概念1、變量：在一個(gè)變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個(gè)變化過(guò)程中只能取同一數(shù)值的量。例題：在勻速運(yùn)動(dòng)公式s = vt中，v表示速度,t表示時(shí)間,s表不在時(shí)間t內(nèi)所走 的路程，則變量是，常量是。在圓的周長(zhǎng)公式 C=2兀r中，變量 是,常量是.2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。*判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時(shí)候，Y是否有唯一確定的值 與之對(duì)應(yīng)例題：下列函數(shù)(1) y= % x (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x

2、(5)y=x2-1x中，是一次函數(shù)的有()(A) 4 個(gè)(B) 3 個(gè)(C) 2 個(gè)(D) 1 個(gè)3、函數(shù)的圖像一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的 橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.4、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析 式。5、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大 的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。6、函數(shù)的表示

3、方法列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。7、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k乎0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx （k不為零）k不為零 x指數(shù)為1b 取零當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨 x的增大y也 增大；當(dāng)k<0時(shí)，？直線y=kx經(jīng)過(guò)二、四象限，從左向右下降，

4、即隨 x增大y 反而減小.（1）解析式：y=kx （k是常數(shù)，k*0）（2）必過(guò)點(diǎn)：（0, 0）、（1, k）（3）走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限；k<0時(shí)，？圖像經(jīng)過(guò)二、四象限（4）增減性：k>0, y隨x的增大而增大；k<0, y隨x增大而減小傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸例題：.正比例函數(shù)y=（3m+5）x,當(dāng)m 時(shí)，y隨x的增大而增大.若y=x+23b是正比例函數(shù)，則 b的值是 （）A.0 B. 2 C. _2 D. -332.函數(shù)y=（k-1）x, y隨x增大而減小，則k的范圍是（）A. k ：二 0 B. k 1 C. k <

5、;1 D. k ： 1東方超市鮮雞蛋每個(gè)0.4元，那么所付款y元與買鮮雞蛋個(gè)數(shù)x （個(gè)）之間的函 數(shù)關(guān)系式是.平行四邊形相鄰的兩邊長(zhǎng)為x、y,周長(zhǎng)是30,則y與x的函數(shù)關(guān)系式是8、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，k才0）,那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx + b即y=kx ,所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b （k不為零）k不為零 x指數(shù)為1b取任意實(shí)數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)（0, b）和（-b, 0）兩點(diǎn)的一條直線，我 k們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.（當(dāng)b>0時(shí)

6、，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）（1）解析式：y=kx+b（k、b 是常數(shù)，k/0）（2）必過(guò)點(diǎn)：（0, b）和（-P, 0）k（3）走向：k>0 ,圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；k<0,圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限b>0,圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限；b<0,圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限k0一直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限k>0u直線經(jīng)過(guò)第一、三、四b <0象限卜<°=直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限b >0k< 0y直線經(jīng)過(guò)第二、三、四b :二 0象限(4)增減性：k>0 , y隨x的增大而增大；k<0, y隨x增大而減小.(5)傾斜度：|k|越大，圖

7、象越接近于 y軸；|k|越小，圖象越接近于 x軸.(6)圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.例題：若關(guān)于x的函數(shù)y =(n+l)xm是一次函數(shù)，則 m, n .函數(shù)y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致位置正確的是()將直線y = 3x向下平移5個(gè)單位，得到直線 ;將直線y = -x-5向上平移5個(gè)單位，得到直線若直線y = -x +a和直線y = x + b的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m,8),則a + b =.已知函數(shù)y=3x+1,當(dāng)自變量增加 m時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值增加()A. 3m+1B. 3mC. m

8、9、一次函數(shù)y=kx + b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn) 確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可(b7一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：(0, b), I七 人即橫坐標(biāo)或縱坐 標(biāo)為0的點(diǎn).b>0b<0b=0k>0經(jīng)過(guò)第一、二、三象限經(jīng)過(guò)第一、三、四象限經(jīng)過(guò)第一、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k<0經(jīng)過(guò)第一、二、四象限經(jīng)過(guò)第二、三、四象限經(jīng)過(guò)第二、四象限圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小若mx 0, n >0,則一次函數(shù)y=mx+n的圖象不經(jīng)過(guò)()A.第一象限 B.

9、 第二象限 C.第三象限D(zhuǎn). 第四象限10、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx +b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線 y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到(當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移).11、直線y=kix+bi與y=k2x+b2的位置關(guān)系(1)兩直線平行：ki=k2且bi b b2(2)兩直線相交：k#k2(3)兩直線重合：k尸k2且b尸b212、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;(3)解方程得出未知系

10、數(shù)的值；(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.13、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為 ax+b=0 (a, b為常數(shù)，a乎0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值. 14、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0 (a, b為常數(shù)，a手0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于 0時(shí)， 求自變量的取值范圍.15、一次函數(shù)與二元一次方程組(1)以二

11、元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=-ax-c的圖象相同.b b(2)二元一次方程組產(chǎn)x+b1y的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)a2x +b2y = c2y=-a1x 色和y=一包x -c2的圖象交點(diǎn). b1b1b2b2題型一、點(diǎn)的坐標(biāo)方法：x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0, y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0;若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則他們的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則它們的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)；1、若點(diǎn)A (m,n)在第二象限，則點(diǎn)(|m|,-n )在第 象限；2、若點(diǎn) P ( 2a-1,2-3b

12、 )是第二象限的點(diǎn)，則 a,b 的范圍為 ；3、已知 A(4, b), B(a,-2 )，若 A B關(guān)于 x 軸對(duì)稱，貝a=,b=; 若A,B關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=,b=;若若A, B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 貝U a=,b=;4、若點(diǎn)M (1-x,1-y )在第二象限，那么點(diǎn) N (1-x,y-1 )關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在 第 象限。題型二、關(guān)于點(diǎn)的距離的問(wèn)題方法：點(diǎn)到x軸的距離用縱坐標(biāo)的絕對(duì)值表示，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離用橫坐標(biāo)的絕對(duì)值表示；任意兩點(diǎn) a(xa，yA，B(xb，yB)的距離為 J(xa -獨(dú))2 +(yA - yB)2 ；若 AB/ x 軸,則 A(xa，0), B(xb，0)的距離為 xA-xB

13、 ;若 AB/ y 軸，貝U A(0,yA),B(0,yB)的距離為卜a - Yb ；點(diǎn)A(xa，Ya)到原點(diǎn)之間的距離為 Jxa2 + vA1、點(diǎn)B (2, -2)至J x軸的距離是 ;至J y軸的距離是 ;2、點(diǎn)C (0, -5)到x軸的距離是 ;到y(tǒng)軸的距離是 ; 到原點(diǎn)的距離是;3、點(diǎn)D (a,b )到x軸的距離是;至J y軸的距離是 ;到 原點(diǎn)的距離是;4、已知點(diǎn) P (3,0), Q(-2,0),則 PQ=，已知點(diǎn) M ,0,1 j,N0,-工 j,則,22MQ=； E(2,-1 ),F (2,8),則EF兩點(diǎn)之間的距離是 ；已知點(diǎn)G (2,-3)、H (3,4 )，則G H兩點(diǎn)之

14、間的距離是 ;5、兩點(diǎn)(3, -4)、(5, a)間的距離是2,則a的值為;6、已知點(diǎn) A (0,2)、B (-3, -2)、C (a,b ),若 C點(diǎn)在 x 軸上，且/ ACB=90 ,則C點(diǎn)坐標(biāo)為.題型三、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的識(shí)別方法：若y=kx+b(k,b是常數(shù)，k才0),那么y叫做x的一次函數(shù)，特別的，當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就成為 y=kx(k是常數(shù)，k乎0),這時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)，當(dāng)k=0時(shí)，一次函數(shù)就成為若 y=b,這時(shí)，y叫做常函數(shù)。 A與B成正比例 A=kB(k才0)1、當(dāng) k時(shí)，y = (k3)x2+2x3是一次函數(shù)；2、當(dāng) m時(shí)，y = (m-3)x2m4+4x-5是

15、一次函數(shù)；3、當(dāng) m = (m_4 )x2m書+4x5是一次函數(shù)；4、2y-3與3x+1成正比例，且x=2,y=12,則函數(shù)解析式為 ;題型四、函數(shù)圖像及其性質(zhì)方法：函數(shù)圖象性質(zhì)經(jīng)過(guò)象限變化規(guī)律y=kx+b(k、b為常k>0b>0b=0數(shù),bv0kv0b>0b=0bv0且k才0)一次函數(shù)y=kx+b (k才0)中k、b的意義:k(稱為斜率)表示直線y=kx+b (k*0)的傾斜程度;b (稱為截距)表示直線 y=kx+b (k*0)與y軸交點(diǎn)的示直線在y軸上的同一平面內(nèi)，不重合的兩直線y=k ix+bi（ki乎0）與y=k 2x+b2 （k2乎0）的位置關(guān)系:時(shí)，兩直線平行時(shí)

16、，兩直線垂直。軸上同一點(diǎn)。特殊直線方程:X軸： 直線與X軸平行的直線時(shí)，兩直線相交時(shí)，兩直線交于 y軸： 直線與Y軸平行的直線、三象限角平分線二、四象限角平分線1、對(duì)于函數(shù)y=5x+6,y的值隨x值的減小而2、對(duì)于函數(shù)y =-x，2 3y的值隨x值的而增大。3、一次函數(shù) y=(6-3m)x+ (2n 4)不經(jīng)過(guò)第三象限，則m n的范圍是 4、直線y=(6-3m)x + (2n4)不經(jīng)過(guò)第三象限，則 m n的范圍是 5、已知直線y=kx+b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，那么直線 y=-bx+k經(jīng)過(guò)第象限。6、無(wú)論m為何值，直線y=x+2m與直線y=-x+4的交點(diǎn)不可能在第 象限。7、已知一次函數(shù):一3I

17、'? （1）當(dāng)m取何值時(shí)，y隨x的增大而減小？? （2）當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)？題型五、待定系數(shù)法求解析式方法：依據(jù)兩個(gè)獨(dú)立的條件確定 k,b的值，即可求解出一次函數(shù) y=kx+b （k0）的解析式。已知是直線或一次函數(shù)可以設(shè)y=kx+b （k0）;若點(diǎn)在直線上，則可以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式構(gòu)建方程x的取值范圍。1、若函數(shù)y=3x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-6）,求函數(shù)的解析式。2、直線y=kx+b的圖像經(jīng)過(guò) A （3, 4）和點(diǎn)B （2, 7）,3、如圖1表示一輛汽車油箱里剩余油量 y （升）與行 駛時(shí)間x （小時(shí)）之間的關(guān)系.求油箱里所剩油y （升） 與行駛時(shí)間x （小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)

18、系式，并且確定自變量4、一次函數(shù)的圖像與y=2x-5平行且與x軸交于點(diǎn)（-2,0 ）求解析式5、若一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-2 &x&6,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11 <y<9,求此函數(shù)的解析式。6、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7關(guān)于y軸對(duì)稱，求k、b的值。7、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7關(guān)于x軸對(duì)稱，求k、b的值。8、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k、b的值。題型六、平移 方法：直線y=kx+b與y軸交點(diǎn)為（0, b）,直線平移則直線上的點(diǎn)（0, b）也會(huì)同樣的平移，平移不改變斜率 k,則將平移

19、后的點(diǎn)代入解析式求出b即可。直線y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k（x+2）+b+3;（“左加右減，上加 下減”）。1 .直線y=5x-3向左平移2個(gè)單位得到直線 。2 .直線y=-x-2向右平移2個(gè)單位得到直線 3 .直線y=1x向右平移2個(gè)單位得到直線24 .直線y=x+2向左平移2個(gè)單位得到直線25 .直線y=2x+1向上平移4個(gè)單位得到直線 6 .直線y=-3x+5向下平移6個(gè)單位得到直線 7 .直線y=1x向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到直線。38 .直線y = 3x+1向下平移2個(gè)單位、再向左平移1個(gè)單位得到直線 49 .過(guò)點(diǎn)（2,-3）且平行于直線y=2x的直線是。10 .過(guò)點(diǎn)（2,-3）且平行于直線y=-3x+1的直線是.11 .把函數(shù)y=3x+1的圖像向右平移2個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位，可得到的圖 像表示的函數(shù)是;12 .直線m:y=2x+2是直線n向右平移2個(gè)單位再向下平移 5個(gè)單位得到的，而 （2a,7 ） 在直線 n上，貝U a=;題型七、交點(diǎn)問(wèn)題及直線圍成的面積問(wèn)題方法：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)