高中數(shù)學論文：巧解外接球的問題

1、巧解外接球問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的接多面 體，這個球稱為多面體的外接球.有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是 高考考查的一個熱點.考查學生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球 問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關幾何元 素與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作 用.一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關問題例1 （2006年高考題）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積 為 .解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑即可.因為正方

2、體接于球，所以它的體對角 線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對角線長，再計算半徑.故 表面積為27乃.例2 一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球 的體積為.解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對角線, 因此，由正方體表面積可求出棱長，從而求出正方體的體對角線是2g所以球的半徑為小. 故該球的體積為46r.2、求長方體的外接球的有關問題例3 （2007年高考題）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱 長分別為L2,3,則此球的表面積為解析：關鍵是求出球的半徑，因為長方體接于球，所以它的體對角線

3、正好為球的直徑。 長方體體對角線長為故球的表面積為14尸.例4、（2006年全國卷I）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為（A. 16加D. 327r解析：正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為 2,因此，長方體的長、寬、高分別為2, 2, 4,于是等同于例3,故選C.3.求多面體的外接球的有關問題例5. 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同9一個球面上，且該六棱柱的體積為底面周長為3,則這個球的體積為解設正六棱柱的底面邊長為X,6x = 3,9人也九-=6x x h,高為力，則有1841&#

4、39; - 25h = 5/3.1, W正六棱柱的底面圓的半徑5,球心到底面的距離 2 .，外接球的半徑1/44R = F不= ?小結(jié) 本題是運用公式店=/+/求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、構造法(補形法)1、構造正方體例5 (2008年高考題)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為則其外接 球的表面積是.解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設出球心，利用直角三角形計算球 的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很 快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構造長方體，且側(cè)棱長均相等，所以可構造正方體模型，如 圖1,則AC=BC=CD =

5、J§,那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求表面積是9%.(如圖1)例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為正，則其外接球的表面積是.解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個三棱卷可以補成一個棱長為 、存的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.)9口 (2R=(一 +(一 + (.=9 R-設其外接球的半徑為R,則有' f J /.4.故其外接球的表面積5=4乃=9%.小結(jié) 一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為。、區(qū)。，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直 徑.設其外接球的半徑

6、為R,則有2/? =，？+?+?.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構利用補形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，則體對角線長為，幾何體的外 接球直徑為體對角線長即【例題】：在四面體中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個 頂點在一個球面上，求這個球的表面積。解：因為：長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長由于所有棱長都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構造一個正方體,再尋找棱長相等的四面體，如圖2,四面體4一8£應滿足條件，即AB二AD=AE=BD=DE = BE = J凌，由此可求得正方體的棱長為1,體對角線為6,從 而外接球的直徑也

7、為近，所以此球的表面積便可求得，故選A.（如圖2）例7 （2006年高考題）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2, NDAB=60。，E為AB的中點，將AADE與ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）A.27B. 2瓜兀 TCC. 8D. 24解析：（如圖 3）因為 AE=EB=DC=1, ZDAB=ZCBE=ZDEA=60° t 所以AD = AE=EB=BC=DC=DE=CE= 11即三棱錐P-DCE為正四面體，至此，這與例6就完全相同了，故選C例 8 （2008 年高考題）已知球。的面一、B、C、D, DAJHhlABC,

8、 AB_L8C, 圖3DA二AB=BC=JJ,則球0的體積等于解析：本就同樣用一般方法時，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA_L平面ABC, ABXBC,聯(lián)想長方體中的相應線段關系，構造如圖4所示的長方體，又因為DA=AB=BC二,則此長方體為正方體，所以CD長9一71即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球。的體積等于2 .（如圖4）解析：首先可聯(lián)想到例8,構造下面的長方體，于是AD為球的直徑，。為球心,OB=OC=4為半徑，要求七C兩點間的球面距離，只要求出N3OC即可，在用中,三.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱

9、的高為4,體積為16,則這個球的表面 積是A. 167r b. 20% C. 24/ d. 32笈解 設正四棱柱的底面邊長為x,外接球的半徑為R,則有4/=16,解得x = 2.2R = V22 +22 +4- = 2>/6,=亞.這個球的表面積是44店=24萬.選c.小結(jié)本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S-A38的底面邊長和各側(cè)棱長都為衣,點S、A、B、C、。都 在同一球面上，則此球的體積為解 設正四棱錐的底面中心為°外接球的球心為°,如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得°。1，平面A

10、8C°又SOi _L平面A8C。，.球心O必在SOi所在的直線上./. MSC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 A4SC 中，由 SA = SC = " AC = 29 得以2+5。2=4。2 AASC是以AC為余|邊的RtA AC t1Z 4 乃=1V球=二. 2是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故3 .小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截 面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球 半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題

11、 轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法值得我們學習.五.確定球心位置法例5在矩形48。中，AB = 4,BC = 3沿AC將矩形A8CO折成一個直二面角B-AC-D,則四面體A88的外接球的體積為125125125125萬乃冗A. 12B. 9C. 6D. 3解 設短形對角線的交點為0,則由矩形對角線互相平分，可知0A = 08 = = 8.點0到四面體的四個頂點A、B、C、。的距離相等，即點°為四面體的外接球的球心，R = OA = 球=± 冗 R =冗如圖2所示. 外接球的半徑2 .故 36 .選c.出現(xiàn)兩個垂直關系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點?！纠}】：已知三棱