(大標(biāo)題)教你如何學(xué)好微積分

1、大標(biāo)題教你如何學(xué)好微積分4月高數(shù)一考題重點(diǎn)內(nèi)容分析文/機(jī)械工程師大學(xué)林士中很多經(jīng)歷了 2005年高等教育自學(xué)測(cè)試?高數(shù)一?的考生,都留意到了這次考題內(nèi)容全面,根本上覆蓋了測(cè)試大綱的全部?jī)?nèi)容；同時(shí)考題重點(diǎn)突出, 一元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)內(nèi)容占全部考分 70%,考題有一定難度.因此,要想順利通過(guò)測(cè)試,考生必須熟練掌握教材主 要內(nèi)容,必須按測(cè)試要求進(jìn)行學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí),力求做到以下三點(diǎn)：第一,學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)全面,不 要存僥幸心理,數(shù)學(xué)課程指望期末突擊、沖刺是沒(méi)有出路的；第二,主要內(nèi)容要反復(fù)練習(xí), 熟練掌握；第三,要學(xué)會(huì)總結(jié),使學(xué)過(guò)的知識(shí)系統(tǒng)化.為使考生順利通過(guò)十月測(cè)試,現(xiàn)針對(duì)以上問(wèn)題作具體分析.小標(biāo)題重根底,全

2、面學(xué)習(xí)首先,數(shù)學(xué)課是一門邏輯關(guān)系很強(qiáng)的課程,前后緊密聯(lián)系,前面章節(jié)掌握的熟練程度,往往對(duì)后面章節(jié)的學(xué)習(xí)有很大影響.例如一元函數(shù)微積分沒(méi)有掌握好,多元函數(shù)微積分就很難學(xué)好；一元函數(shù)微分學(xué)掌握的熟練程度,還直接影響微分學(xué)的應(yīng)用和一元函數(shù)積分學(xué)的學(xué)習(xí).因此,無(wú)論是為了學(xué)好還是為在測(cè)試中取得理想成績(jī),都應(yīng)當(dāng)全面學(xué)習(xí)、全面復(fù)習(xí),這一點(diǎn)對(duì)文科學(xué)生特別重要.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程,而非期末突擊、沖刺就能僥幸過(guò)關(guān).下面就2005年4月高數(shù)一微積分的主要測(cè)試題目進(jìn)行分析：【例一】 考題一5 f x3sinx2 +2?1 x2dx= - JA . b B. 2n C. 3冗 D. 4元1 QC分析：學(xué)員需要知

3、道 x sin x是奇函數(shù),所以有： x sin x dx = 01要求學(xué)員根據(jù)定積分的幾何意義知道:Fdx是半徑為R的上半圓的面積,所以有:R2212.R2 -x2dxR2_R21 .2 .1 1 f dx = ：,21.cc1.c1c(x3sin x2 21-x2)dx= x3 sin x2dx 2 j ：；1-x2dxj1= 0+ 2 應(yīng)選 A.21 x - (1 t)tdt 【例二】 考題(一)(3) lim -=()x >°tan xA. 0B. 1 C. e D.不存在分析：首先,要求學(xué)員知道 x-0時(shí),tanxx. 要求學(xué)員掌握微積分根本定理：d x,f (t)d

4、t = f (x) dx a要求學(xué)員掌握第二個(gè)重要極限1lim (1 ax)x = eax )0要求學(xué)員掌握羅必達(dá)法那么limx.01 x - 0(1 t)tdttan x=limx 01 x - 0(1 t)tdt1 tanx x0【例三】 考題三=lim (1 x)x =e x.0選Co(18)計(jì)算f4dx2. x一 x arcsin 2分析：要求學(xué)員熟記積分表:.a* 2 -x2.x -dx = arcsin- Ca,. xd arcsin 二aa2 - x2dx要求學(xué)員熟記積分表:1-du =ln |u | C u1一x一d a rc s+n4 -x2 arcsxn2一 一 x一a r

5、c s+n2 x ,一=In | arcsin - | C 2【例四】 考題三22計(jì)算dx分析：需要學(xué)員掌握三角函數(shù)的倍角公式:2,cos2x=2cos x -12 x1 cox=2cos2需要學(xué)員熟記微分公式:1d tan x = 2 dx cos x需要學(xué)員掌握分部積分公式:u dv =uv - vdu需要學(xué)員熟記積分表:tanxdx - -In |cosx| Cji20 1coscdx = 20dx-2 x2 co s -2JI二x2 xd tan02x= xtan 2xtan - dx2JIJIJl , c二ln 22(小標(biāo)題)主要內(nèi)容反復(fù)練習(xí)高數(shù)(一)微積分無(wú)論從學(xué)習(xí)還是從測(cè)試的角度

6、看, 最主要也是最核心的內(nèi)容是一元函 數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)及其應(yīng)用：一方面是這局部?jī)?nèi)容占考分的 70%;另一方面是這一局部 內(nèi)容掌握好了,其他內(nèi)容特別是多元微積分局部就迎刃而解了.【例五】考題三(17) y=ln arctan(1+x2)2分析：這是一道屢次復(fù)合而成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,練,經(jīng)過(guò)屢次復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式便可容易得到結(jié)果,請(qǐng)看:.2 .2 一.y =2ln arctan(1 x )ln arctan(1 x ),求y只要關(guān)于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)過(guò)反復(fù)訓(xùn)2、=2lnarctan(1 x )1：； 二. 27arctan(1 x )2 一 .arctan(1 x )2、2 ln arctan(1

7、x )2arctan(1 x )4x In arctan(112.2T(1x2)1 (1x2)2x2),4_ 2一 2、(x 2x 2)arctan(1 x )【例六】計(jì)算分析:考題三(16).4 -2x - ： 4 x lim x >0 , 1 x - .1 - x0t E此題雖然是未定式3,但不宜用羅必達(dá)法那么,但在教材的例題和作業(yè)中,經(jīng)常利用公式22ab=a -b變形后計(jì)算,所以有: a b-3x.4 - 2x - . 4 xlimlimx0 ,1 x ,1 xx一；02x,1 x . 1 - x-3( . 1 x 1 -x)二 lim x >02( 4 -2x .4 x)計(jì)

8、算定積分2_dx0 x 4x 3分析：解法一:D需要學(xué)員熟記積分公式:122a - x122x -a1dx = In2adx一 21a1na_xca -x需要學(xué)員知道完全平方公式：(x - a)2 =x _2ax a24x 32dx= 02(x 2)2 -1d(x 2)1-In1 (x 2)21(x+2)15 19-In - = In29 2 5解法二：局部分式需要學(xué)員知道:a -bab學(xué)員應(yīng)熟記積分公式：.高,1 .dx =In |ax b | C a221 dx = 21(x 3)-(x d)dx0x2 4x 302 (x 3)(x 1)11)dx = - Inx 32119x +1x +

9、3=一In In =In 25325【例八】 考題三21y=jx+jx 求dy分析：此題是只有一次復(fù)合而生成的函數(shù),直接用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式即可dy = y dx =(x - Jx)dx-(1 一)dx 二2.x . x 2 x2.x 1 dx4 v x x x【例九】 考題四24y =x2 +ax a>0, y=0, x=1所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為一,求 a.51 2 .Oy dx1=二.1二二ax)2dx-二(lx552ax3 a2x2)dx?ax4a2x3)43111 2二二(aa )=一a =05235D是x=1 , y=2 , y=x-1所圍區(qū)域求 sin y2d

10、:D2x積分解：由于sin y對(duì)y積分原函數(shù)不是初等函數(shù),所以應(yīng)先對(duì)D:0WyW2, K x< 1+y221y 211 sin y d；二- dy sin y dxD221旬 22=0(sin y )x1 dy = gysin y dy= cosy21=-(1 - cos4)【例十一】考題三(20) ez -xy2 +sin(xz)=0 確定 z；,zy解：,/ F =ez -xy2 +sin(xz)._ .2,、 Fx - -y zcos(x z)Fy = -2xyFz =ezx cos(x z) F zxFx _ - y2 z cos(x z)Fz ez xcos(x z)zyFy2

11、xyFz ez xcos(x z)上面所列考題,都是教材和作業(yè)中常見(jiàn)的練習(xí)題和例題的類型題,只要考生在學(xué)習(xí)過(guò)程中反復(fù)練習(xí),就不會(huì)感到生疏或困難. 建議考生將教材中的練習(xí)做過(guò)一遍以后, 過(guò)兩周再重 做一遍,考前再做一遍,通過(guò)測(cè)試就會(huì)有較大把握.如今社會(huì)上的輔導(dǎo)材料太多,有的并不完全符合測(cè)試要求,建議考生還應(yīng)以教材為主,學(xué)習(xí)之余感到教材練習(xí)已做得很熟練后,再考慮看參考輔導(dǎo)材料.有個(gè)別考題,未見(jiàn)得在教材或習(xí)題中見(jiàn)過(guò),不要由于試卷中有個(gè)別偏題,就盲目到處找輔導(dǎo)材料.其實(shí)任何一份測(cè)試題都會(huì)有個(gè)別題目難度偏大,并不為怪,例如在 1995年4月高數(shù)(一)的考題中的證實(shí)題 五(25)就比擬困難.例如考題五(2

12、5)f(x)在0, 1上連續(xù),在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0 ,證實(shí)存在CC(0, 1),使得 Cf (C) f (C)= f (C)此題明顯和微分中值定理有關(guān)系,需要用微分中值定理證實(shí),如果直接做,那么有f(1)-f(0) = f (C)(1-0)f(0)=0,但f(1)不知道,立即就出現(xiàn)問(wèn)題和困難,習(xí)慣是引入一個(gè)新函數(shù),對(duì)于大多數(shù)學(xué)員來(lái)說(shuō),如何引進(jìn)新函數(shù)是比擬困難的,在此題中,由于f(1)不知道,因此新函數(shù)中不應(yīng)出現(xiàn)f(1),因此,令F(x)=(1-x)f(x)F(x)在0, 1上連續(xù),且在(0 , 1)內(nèi)有 F'(x)=f (x)十(1 + x)f'(x)由于 F(

13、1)=0, F(1)=0由羅爾中值定理,存在 ce(0, 1),使F (C) =0 ,即 -f (C)十(1 C)f '(C) =0 . f(C) =(1 C)f (C)Cf (C) f (C) =f (C)小標(biāo)題隨時(shí)總結(jié)知識(shí),記憶積分表考生一定要對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行總結(jié),使知識(shí)系統(tǒng)化并掌握其中的要點(diǎn). 例如,學(xué)過(guò)不定積分的概念和計(jì)算方法以后,可以小結(jié)如下：(I)不定積分的概念f (x)dx =F(x) Cm f(x) =F (x)(n)不定積分的性質(zhì)(1) f (x)dx = f (x) +C 或 Jdf (x) = f(x)+Cd(2) f(x)dx = f(x) 或 d f(x)dx

14、=df(x) dx(3) kf(x)dx=k f (x)dx(4) f1(x) f2(x)dx= f1(x)dxf2(x)dx(出)根本積分表(1) kdx =kx C(2)fxadx= xaH4 +C(a01)a 11(3) dx=ln|x| Cx1 1-(4) dx = In | ax b | Cax b ax(5) axdx = CIn a(6) exdx =ex ' Cax 1axe(7) e dx = - e C a(8) sin xdx - - cosx C1一(9) sin(ax b)dx = - cos(ax b) Ca(10) cos xdx =sin x C1一(1

15、1) cos(ax b)dx= -sin(ax b) Ca2.1(12) sec xdx = 2- dx =tanx Ccos x2.1(13) csc xdx = 2 dx = - cot x Csin x(14) secxtan xdx =secx C(15) csccot xdx - -cscx C(16) tan xdx - - In |cosx | C(17) cot xdx = In | sin x | C(18) secxdx =ln |secx tan x| C(19) cscxdx = In |cscx - cot x| C1(20) 2 dx =arctanx C1 x21

16、1 x(21) p2 dx = arctan Ca x a a11a,x(22) -2-2=丁小| | C a2 -x22aa -x,1,(23) dx = arcsin x C.1 -x2(24)1,. x _dx = arcsin Ca2 -x2a(25)(26)f , 1- dx = ln |a2 +x2 +x|+Ca2 x2P (x)_尊 dx=ln |P(x)| C- P(x)特別情形:2x .99.2 dx =ln |x2 士 a2 | Cx2 ,a2P (x)(27)')dx =2. P(x) C,P(x)特別情形：2x-dx =2 . x2 _a2 C22.x 二 a由

17、于不定積分難度較大,最好多記一些積分表大有好處. 例如,根據(jù)公式20和26便有：x 1x12 dx :2 dx 2 dx1 x 1 x 1 x12、二一 ln(1 x ) arctanx C 2dxx x(1 e ) -e1 exdx二 .(11 ex)dx = x-ln(1 ex) C根據(jù)公式25和27便有:x 1. x1.dx =dx dx.x2 1, x2 1,x2 1-x2 1 ln | x2 1 x| C根據(jù)公式(23)和(27)便有：r x +1 dx = r x dx + r 1 dx,1 - x2.1 - x2. 1 - x2=- .1 - x2 arcsin x C(IV)換

18、元積分公式(一)湊微分法fg(x)g (x)dx = fg(x)dg(x)=f f (u)du 令u = g(x)常見(jiàn)情形有：,1,(1) f (ax b)dx= f (ax b)d(ax b) a“xDxn'dxf (xn)dxn n,1,(3) f (In x) dx = f (In x)d In x x(4) f(ex)exdx= f(ex)dex(5) f (sin x)cosxdx = f (sin x)d sin x(6) f (cosx)sin xdx = - f (cosx)d cosx,、.,、2 .,、1,(7) f (tan x)sec xdx = f (tan

19、x)2 dx cos x= f (tan x)d tan x2(8) f (cot x)csc xdx - - f (cot x) d cot x 1.(9) f (arcsin x)dx = f (arcsin x)d arcsin x,1 -x21.(10) f (arctan x)2 dx = f (arctan x)d arctan x1 x此外,還需注意：,22x22xd x a =dxd a f =-dx2222.x 二 a. a fd ln(4x2 ±a2 +x) = , 1 = dx,x2 二 a2(V)換元積分法(二)令 x = g(t)= dx = g (t)dt

20、f(x)dx= fg(t)g (t)dt常見(jiàn)情形有：f (x)中含有 Kax + b時(shí),令v ax + b =tf (x)中含有va2 -x2時(shí),令x=a sintf (x)中含有Ja2 +x2時(shí),令x=a tantf (x)中含有x2 -a2時(shí),令x=a sect 均能到達(dá)有理化的目的.(VI)分部積分公式udv = uv - vdu或 uv dx = uv - u v dx常見(jiàn)情形有：(1) xneaxdx = xnd( eax)a一n . n . 1(2) x sin axdx = x d( 一 cosax)an. n 1、(3) x cosaxdx = x d(sin ax)a2(4)

21、 xsec xdx = xd tan x1 n 1 ：x )n 11 n 1x )n 1(5) (ln x)xndx = ln xd xn 1(6) (arctan x)xndx = arctan xd(7) (arcsinx)xndx = arcsin xd (此外,需記住以下結(jié)果：eax sin bxdx =eax cosbxdx =1F- a ba2b2 eax(asin bx - bcosbx) C2 eax(bsin bx acosbx) C小標(biāo)題打好根底練習(xí),做拔高練習(xí)以到達(dá)提升水平的目的.在根本練習(xí)題已經(jīng)比擬熟練的根底上,可以做一些下面的例題,【例一】 計(jì)算x 1.(1) (arcsin )dx3 a-x2x 1xx斛：(arcsin -)dx = (arcsin)d arcsin-3