第一章1.4.1充分條件與必要條件

1、1. 4充分條件與必要條件1. 4.1充分條件與必要條件【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解充分條件、必要條件的概念.2.了解充分條件與判定定理，必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系.3.能通過充分性、必要性解決簡單的問題.知識梳理梳理控材夯實(shí)基礎(chǔ)知識點(diǎn)充分條件與必要條件“若p,則q"為真命題“若p,則q”為假命題推出關(guān)系p?_qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件 q是p的必要條件p不是q的充分條件 q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件思考 若p是q的充分條件，這樣的條件 p唯一嗎？答案 不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分條件，

2、p可以是“ x>2” “x>3”或“2<x<3”等.預(yù)習(xí)小測自我檢驗(yàn)1 .若條件p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等，則 p是q的 條件.答案必要2 .已知A? B,則“xCA”是“xCB”的 條件.答案充分3 . p： |x|=|y|, q： x=y,則 p 是 q 的 條件.答案必要解析. x= y? |x|=|y|,即 q? p,，p是q的必要條件.4 . p： a=0, q： ab=0,則 p 是 q 的 條件.答案充分題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升%一、充分條件的判斷例 1 (1) 下列命題中， p 是 q 的充分條件的是p： (x 2)(x3) = 0, q：

3、x2=0; p ：兩個(gè)三角形面積相等， q ：兩個(gè)三角形全等；p： m<2, q：方程x2x m=0無實(shí)根.答案 解析 .(x 2)(x- 3)=0,，x=2或x=3,不能推出x2=0.p不是q的充分條件.兩個(gè)三角形面積相等，不能推出兩個(gè)三角形全等，p不是q的充分條件.: m< 2，12+4m<0 ,，方程x2xm= 0無實(shí)根，p是q的充分條件.(2) “ a>2 且 b>2 ”是“ a b>4， ab>4 ”的 條件答案 充分解析 由 a>2 且 b>2? a b>4 ， ab>4 ，是充分條件.反思感悟充分條件的判斷方法(1

4、)判定p是q的充分條件要先分清什么是p,什么是q,即轉(zhuǎn)化成p? q問題.(2) 除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關(guān)系判斷，若p 構(gòu)成的集合為 A， q 構(gòu)成的集合為 B， A? B ，則p 是 q 的充分條件跟蹤訓(xùn)練1“x>2”是“x2>4”的 條件.答案 充分解析 x>2? x2>4 ，故x>2 是 x2>4 的充分條件二、必要條件的判斷例 2 在以下各題中，分析p 與 q 的關(guān)系：(1)p ： x>2 且 y>3 ， q ： x y>5 ；(2)p ：一個(gè)四邊形的四個(gè)角都相等，q ：四邊形是正方形解(1)由于p? q,故p是q的

5、充分條件，q是p的必要條件.(2) 由于q? p ，故 q 是 p 的充分條件， p 是 q 的必要條件反思感悟(1) 判斷 p 是 q 的什么條件，主要判斷若 p 成立時(shí)，能否推出 q 成立，反過來，若q 成立時(shí)，能否推出 p 成立；若 p? q 為真，則 p 是 q 的充分條件，若 q? p 為真，則 p 是 q 的必要條件.(2)也可利用集合的關(guān)系判斷，如條件甲“xCA”，條件乙“xCB”，若A? B,則甲是乙的必要條件.跟蹤訓(xùn)練2 分析下列各項(xiàng)中p與q的關(guān)系.(1)p： a 為銳角，q: a= 45°.(2)p： (x+ 1)(x-2)=0, q： x+ 1 = 0.解(1)

6、由于q? p,故p是q的必要條件，q是p的充分條件.(2)由于q? p,故p是q的必要條件，q是p的充分條件.三、充分條件與必要條件的應(yīng)用例3 已知p：實(shí)數(shù)x滿足3a<x<a,其中a<0 ; q：實(shí)數(shù)x滿足一2w xw 3.若p是q的充分條 件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 p： 3a<x<a,即集合 A= x|3a<x<a.q： 2WxW 3,即集合 B=x|-2<x< 3.因?yàn)閜? q,所以A?B,3a> 2,所以aw 3,? -|<a<0，3a<0所以a的取值范圍是一|< a<0.3延伸探究1 .將本例中

7、條件p改為“實(shí)數(shù)x滿足a<x<3a,其中a>0"，若p是q的必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.解 p： a<x<3a,即集合 A = x|a<x<3a.q： 2WxW 3,即集合 B=x|-2<x< 3.因?yàn)閝? p,所以B?A,33a>3,所以<a< 2,?aC?.a>02 .將例題中的條件 “q：實(shí)數(shù)x滿足一2WxW3”改為“q：實(shí)數(shù)x滿足一3WxW0”其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 p： 3a<x<a,其中 a<0,即集合 A= x|3a<x<a.q： - 3<

8、 x< 0,即集合 B=x|-3<x< 0.因?yàn)閜是q的充分條件，所以p? q,所以A? B,"3a> -3,所以 aw 0,? 1 w a<0.a<0所以a的取值范圍是一1wa<0.反思感悟充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧（1）應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題.（2）求解步驟：先把 p, q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）進(jìn)行求解.隨堂演練感軸鞏固學(xué)以致用1 .若p是q的充分條件，則q是p的（）A.充分條件B.必要條件C.既不是充分條件也不是必要條件D.既

9、是充分條件又是必要條件答案 B解析 因?yàn)閜是q的充分條件，所以p? q,所以q是p的必要條件.2 .下列命題中，p是q的充分條件的是（）A. p: abw0, q： aw 0B . p： a2+ b2>0, q： a>0H b>0C. p： x2>1, q: x>1D. p： a>b, q： Va>Vb答案 A解析 根據(jù)充分條件的概念逐一判斷.3. “同位角相等”是“兩直線平行”的（）A.充分條件B.必要條件C.既是充分條件，也是必要條件D.既不充分又不必要條件答案 C4 .若“x>1”是“x>a”的充分條件，則 a的取值范圍是 .答案 a

10、<1解析因?yàn)閤>1? x>a,所以a< 1.5 , " x2 = 2x” 是 “ x= 0” 的 條件，“ x= 0” 是 “ x2= 2x” 的 條件(用“充分” “必要”填空).答案必要充分解析 由于x=0? x2=2x,所以“x2=2x”是“x= 0”的必要條件，“x= 0”是“x2=2x”的 充分條件.課堂小結(jié)1 .知識清單：(1)充分條件、必要條件的概念.(2)充分性、必要性的判斷.(3)充分條件與判定定理，必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系.(4)充分條件與必要條件的應(yīng)用.2 .常見誤區(qū)：充分條件、必要條件不唯一；求參數(shù)范圍能否取到端點(diǎn)值.課時(shí)對點(diǎn)練注重雙基

11、強(qiáng)化落實(shí)z守基礎(chǔ)鞏固1 .使x>3成立的一個(gè)充分條件是()A. x>4 B. x>0 C. x>2 D. x<2答案 A解析 只有x>4? x>3,其他選項(xiàng)均不可推出x>3.2 .使x>1成立的一個(gè)必要條件是()A. x>0 B. x>3 C. x>2 D. x<2答案 A解析 只有x>1? x>0,其他選項(xiàng)均不可由 x>1推出，故選 A.3 .下列p是q的必要條件的是（）A . p ： a=1, q: |a|= 1B. p： 1<a<1, q: a<1C. p： a<b,

12、q： a<b+1D. p： a>b, q： a>b+ 1答案 D解析 要滿足p是q的必要條件，即 q? p,只有q： a>b+1? q： ab>1? p： a>b,故選D.4 .下列“若p,則q”形式的命題中，p是q的充分條件的是（）A.若 1=1,則 x=yB.若 x2 = 1,則 x=1x yC.若 x=y,則 xx= VyD.若 x<y,則 x2<y2答案 A解析 B項(xiàng)中，x2 = l? x= 1或x= 1 ; C項(xiàng)中，當(dāng)x=y<0時(shí)，取 5無意義;D項(xiàng)中，當(dāng)x<y<0? x2>y2,所以B, C, D中p不是q的充

13、分條件.5 .下列命題中，p是q的充分條件的是（）A . p ： a是無理數(shù)，q: a2是無理數(shù)B. p：四邊形為等腰梯形，q：四邊形對角線相等C. p: x>0, q： x> 1D. p： a>b, q： ac2>bc2答案 B6 .下列說法不正確的是 .（只填序號）“x>5”是“ x>4”的充分條件；" xy= 0”是“ x= 0且y= 0”的充分條件；“2Vx<2 ”是“ x<2”的充分條件.答案 解析中由xy= 0不能推出x=0且y=0,則不正確；正確.7 .條件p： 5-x<0 ,條件q： x>a,若p是q的充分條

14、件，則 a的取值范圍是 .答案a|aW5解析 p： x>5,若p是q的充分條件，則 p? q,也就是說，p對應(yīng)集合是q對應(yīng)集合的子集，所以a< 5.8 .下列式子:a<0<b; b<a<0;b<0<a;0<b<a.其中能使1<1成立的充分條件有 .(只填序號)a b答案1.11解析 當(dāng)a<0<b時(shí)，1<0<1； a b'當(dāng) b<a<0 時(shí)，1<1<0; a b當(dāng) b<0<a 時(shí)，!<0； ，ba，當(dāng) 0<b<a 時(shí)，0<<?， a

15、b所以能使1<1成立的充分條件有 . a b9 .指出下列各組命題中，p是q的什么條件：在 ABC 中，p： A>B, q： BC>AC;(2)p： a=3, q: (a+2)(a3)= 0; a ,(3)p： a<b, q： b<1.解 在中，由大角對大邊，且 A>B知BC>AC,反之也正確，所以 p既是q的充分條件，也是q的必要條件；在(2)中，若 a=3,則(a + 2)(a3)=0,但(a + 2)(a 3)=0 不一定 a=3,所以 p 是 q 的充分條件但不是必要條件；,， a，, a 一 一在(3)中，當(dāng) a=2, b=- 1 時(shí)，b=2

16、>1;當(dāng) a=2, b=- 1 時(shí)，b=- 2<1,所以 p 既不是 q的充分條件，也不是必要條件.10 . (1)是否存在實(shí)數(shù) m,使2x+ m<0是x< 1或x>3的充分條件？(2)是否存在實(shí)數(shù) m,使2x+ m<0是x<1或x>3的必要條件？解 欲使2x+ m<0是x< 1或x>3的充分條件，則只要 ix x< m2 I? x|x< - 1 或 x>3,即只需一m< -1,所以m>2.故存在實(shí)數(shù) m>2,使2x+ m<0是x<- 1或x>3的充分條件.(2)欲使2x+m

17、<0是x< 1或x>3的必要條件，則只要 x|x< 1或x>3 ?伙x<-m r,這是不可能的.故不存在實(shí)數(shù) m,使2x+ m<0是x< 1或x>3的必要條件.彳綜合運(yùn)用11 .對任意實(shí)數(shù)a, b, c,下列命題中，真命題是()A. " ac>bc"是"a>b”的必要條件B . " ac= bc"是"a= b"的必要條件C. "ac>bc”是“ a>b”的充分條件D. " ac= bc”是“ a = b”的充分條件答案 B解析&

18、quot;a=b" ?"ab=0"?"(ab)c= 0"?"ac=bc"," ac= bc"是"a=b"的必要條件.12 .已知集合 A=xC R|1<x<3, B=xC R|1<x<m+1,若xC B成立的一個(gè)充分條件 是xCA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A . m> 2B. mW 2C. m>2D, - 2<m<2答案 A解析 因?yàn)閤 e B成立的一個(gè)充分條件是 x e A,所以A? B,所以3<m+1,即m>2.13 .若

19、A=xa<x<a+2, B = x|x<1或x>3,且A是B的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 為.答案a|aw3,或 a> 3解析 因?yàn)锳是B的充分條件，所以A? B,又 A= xa<x<a+2 , B = x|x<1 或 x>3.因此 a+ 2w 1 或 a>3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|aw 3,或a>3.14 .已知條件p： x<1或x>3,條件q： x<m+ 1或x>m+1(m>0),若條件p是條件q的充 分不必要條件，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 .答案m|0<m<2B= x|< m + 1 或 x>m+ 1,解析 由題意，設(shè)集合 A= x|x< 1或x>3,因?yàn)闂l件p是條件q的充分不必要條件，