數(shù)列經(jīng)典例題(裂項(xiàng)相消法)

1、數(shù)列裂項(xiàng)相消求和的典型題型11.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a5 5, S515,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()anan 11009999101A而B ioT C 100 D 1001 ，一 一、. 9 .y軸上的截距2 .數(shù)列an ，其刖n項(xiàng)之和為 一，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線 (n 1)x y n 0在n(n 1)10為()A. 10 B. -9 C. 10 D. 93 .等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2a1 3a2 1,a2 9a2a6.(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;1 ，,、,一(n)設(shè) bnlog3 a1 log3a2 log3an，求數(shù)列一的刖 n 項(xiàng)和bn4 .正項(xiàng)數(shù)列a

2、n滿足 a2 (2n 1)an 2n 0.(I )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an ；- .1(n )令bn ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn .(n 1)an5.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,且S44s2,a2n 2an 1 .精選(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(n)設(shè)數(shù)列bn滿足風(fēng)也 a1 a2bn1*1 ,n N，求bn的前n項(xiàng)和Tn.an226 . an的前n項(xiàng)和為Sn .6 .已知等差數(shù)列an滿足：a3 7,a5 a7(I )求七及Sn ；1(n)令bn(n N ),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.a 11、27 .在數(shù)列an中，a11,2an 1(1 -) an .n(I )求an的通項(xiàng)公式；.

3、1(n)令bn an 1 an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn ；2(出)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn.8 .已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6,前8項(xiàng)和為-4.(I )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè) bn (4 an)qn1(q 0, n N *),求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn . 29 .已知數(shù)列an滿足 a10,a2 2,且對(duì) m,n N 都有 a?m 1 a2n 1 2am n 1 2(m n) .(i )求 a3,a5 ；(n)設(shè)bn a2n 1 a2n 1(n N ),證明：bn是等差數(shù)列； n 1*(出)設(shè)Cn(an 1 an)q (q 0,n N力求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Sn .10 .已知

4、數(shù)列an是一個(gè)公差大于 0的等差數(shù)列，且滿足 a3a655,a2 a7 16 .(i )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；b1b2b3b*(n)數(shù)列an和數(shù)列bn滿足等式an 當(dāng)當(dāng) -4(n N ),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn . 222211 .已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； n 1 4n(2)令b2 ( 1)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.anan 112 .正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S： (n2 n 1電 (n2 n) 0.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；,n 1 一一,* ，一 5(2)令bn 2方,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,證明：

5、對(duì)于 n NW有Tn .(n 2)2a264答案：1. A; 2. B3.解：(I )設(shè)數(shù)列an的公比為 q,由 a32=9a2a6有 a32=9a42, 1- q2=r. y由條件可知各項(xiàng)均為正數(shù)，故q.有由 2a1+3a2=1 有 2a1+3a1q=1 ,a1=.故數(shù)列an的通項(xiàng)式為an=.(n) bn=(1+2+ -n)=一n n+1)2-故工- % 則-L 如2n (n+1)n n+1+- +b2=2b1t，數(shù)歹U 的前n項(xiàng)和為一二)+22n1- 1n+14.解：（I ）由正項(xiàng)數(shù)列an滿足:3： - ( 2nT ) an - 2n=0,可有(an 2n) (an+1) =0 an=2n

6、.(n ) an=2n , bn=(n+1)一=二4一(n+1) 2n (n+1)2 n. n+1Tn=2二二一 " 7 - j +丁數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn為二.2n+2d,由 S4=4S2, a2n=2an+1 有:5.解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為 8a+4d:%+ C2n-1) d= 2%+2 (n-l) #1 '解有 ai=i, d=2.an=2n - 1, n CN . b?i _* .(n )由 已知+-+ , +=1 , n CN , 有：a】a2 an 2K當(dāng) n=1 時(shí)，-=一 * nCN)1 一12n,n=1時(shí)符合.屋 1an *由(I )知

7、，an=2n - 1, n CN .nCN .又Tn+工工-+1,2 22 23 2n.1T 1 ",2n-3 2n-lTn=+-+ +2兩式相減有：T n=+ (222222rL2出2n 1 Tn=32n+36.解：a3=7(I)設(shè)等差數(shù)列a n的公差為d , a5+a7=26,，有ai42d=7211+103=26i 1解有 ai=3, d=2,1. an=3+2 (n-1) =2n+1 ;Sn= 3門+口(門口 1)，X 2=n2+2n；(n )由(I )知 an=2n+112an-1 (2n+l ) 2 - 1(1 nn+1n=4 Cn+1)，Tn=L (1 - J一工!,

8、J一)42 2 3 n n+1即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=4 (n+1)7.解：(I )由條件有0皿 1/又 n=1 時(shí),(n+1) 2 2 /故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為1,公式為3的等比數(shù)列.an等言即(n)由bn二(n+1) 2/ 2n+l兩式相減，有:2111+2 (2n有S舄.a2n352S7+P2rLi2”?(ni)由 Sn=江2+03十一+0什12rd-l聲I| (瓦1+%十+ %)有Tn ©1十日rrM 可丁1'口.9 i n n +4n+6 . Tn=2&+2a1 2an+1=lZ -d-18 .解：(I )設(shè)an的公差為d,3 53d= 8由已知有48at+28

9、<t= - 4UA解有 ai=3, d=- 1故 an=3+ (nT) (T) =4- n；(n )由(I )的解答有，bn=n?qn 1,于是Sn=1 ?q0+2 ?q+3?q2+ +n?qn 1 .若q月，將上式兩邊同乘以 q,有qSn=1 ?q1+2?q2+3?q3+-+n?qn.上面兩式相減，有(qT) Sn=nqn_ ( 1+q+q2+-+qn1)=nqn -q-17 Sn=(qT) 口若 q=1 ,貝U Sn=1+2+3+ +n="("】) 2Sn =(q-D 29 .解：(I )由題意，令 m=2, n=1,可有 a3=2a2 - a1 +2=6 再令

10、m=3, n=1 ,可有 a5=2a3- a1+8=20(n )當(dāng) n CN 時(shí)，由已知(以 n+2 代替 m)可有 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是a2(n+1)+1 a2(n+1)-1 ( a2n+1 - 32n-1)=8即 bn+1 bn=8bn是公差為8的等差數(shù)列(出)由(1)( n)解答可知bn是首項(xiàng)為b1=a3-a1=6,公差為8的等差數(shù)列貝U bn=8n 2,即 a2n+1 a2n 1=8n 2另由已知(令m=1)可有an=色上士(n1)2.20aHi - a2n- 1 8n - 2 an+1 an=2n+1=- 2n+1=2n于是 cn=2nqn 1 .當(dāng) q=1

11、 時(shí)，Sn=2+4+6+2n=n (n+1)當(dāng) q用時(shí)，Sn=2?q0+4?q1+6?q2+- +2n?qn V兩邊同乘以q,可有qSn=2 ?q1+4 ?q2+6 ?q3+2n?qn.上述兩式相減，有(1-q) Sn=2 (1+q+q2+ +qn1)i -2nqn=2?r- 2nqn=2?1 - Q. W量上嗎此1 (q-1) 2% (n-M)(q=l)g)綜上所述，Sn=門產(chǎn)】一(n+15 q'l2710.解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則依題意可知d>0由32+37=16,有，2ai+7d=16 由 a3a6=55,有(ai+2d) (ai+5d) =55由 聯(lián)立方程求

12、，有d=2, ai=i/d= - 2, (排除)an=1+ ( n - 1) ?2=2n - 1.lb J(n )令 Cn=,貝u有 an=C1+C2+ -+Cn2nan+1=c1 +c2+ +cn+1兩式相減，有an+1 - an=cn+1,由(1) 有 ai = 1 , an+1 - an=2cn+1=2 ,即 cn=2 ( n冽，即當(dāng)n及時(shí),bn=2n+1,又當(dāng) n=1 時(shí)，bi=2ai=2f2,(11)- bn= , 42 y (n>2)于是 Sn=bi+b2+b3+ - +bn=2+23+24+ -2n+1=2n+2 - 6, ngf2 n=l12k2-6 n>22X 1

13、11 .解 (1)因?yàn)?Si = ai, S2 = 2a +* 2= 2a + 2,4X3S+= 4ai + 2 X2=4a1+12,由題意得(2ai+2)2= ai(4ai+ 12),解得 ai = 1,所以 an= 2n 1.n 1 4nn 1 4nn 111(2)bn= (- 1)n 1= (-1)n 1-一-=(-1)n 1(-一- + -一-)anan+12n 1 2n+ 12n 1 2n+1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2n2n+ 111111111Tn=(1 +?)-(-+,：)+- + (+)-(+)=1-='3，'35，v2n-32n-12n-12n+12n+1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),2n+22n+ 12n+2,n為奇數(shù),2n+ 1所以Tn2n1,一, n為偶數(shù).2n+ 12n+ 1 + 1(或 Tn =2n+ 1Tn=(1+3)飛 + /一仁+2n)+)=1+ 12 . (1)解 由*一(n2+n 1)Sn (n2+n) = 0,得Sn (n2+ n) (Sn+ 1)=0,由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以 Sn+1>0.所以 Sn= n2+ n(n C N ).n>2 時(shí)，an= Sn Sn 1 = 2n,