處理有關(guān)恒成立問題基本方法

1、處理有關(guān)“恒成立”的思路方法與“恒成立”有關(guān)的問題一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是函數(shù)，數(shù)列， 不等式，三角等內(nèi)容交匯處的一個非?；钴S的知識點，特別是導(dǎo)數(shù)的引入，成為我 們更廣泛更深入的研究函數(shù)，不等式的有利工具，更為我們研究恒成立問題提供了 保障。對恒成立問題的考察不僅涉及到函數(shù)，不等式等有關(guān)的傳統(tǒng)知識和方法，而 且考察極限，導(dǎo)數(shù)等新增內(nèi)容的掌握和靈活運用。它常與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合， 體現(xiàn)了能力立意的原則。恒成立問題涉及到一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象滲透 和換元，化歸，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等思想方法，有利于考察學(xué)生的綜合解題能 力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，創(chuàng)造性，所以是歷年高考的熱點。一.恒

2、成立問題的基本類型按區(qū)間分類可分為：在給定區(qū)間某關(guān)系的恒成立問題；在全體實數(shù)集上 某關(guān)系的恒成立問題。二.處理恒成立問題的基本思路處理與恒成立有關(guān)的問題大致可分以下兩種方法變量分離思路處理；利用函數(shù)的性質(zhì)，圖象思路處理。若不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個的范圍為所求, 且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化為 函數(shù)的最值問題求解。在不等式的恒成立問題中，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，性質(zhì)使用1 ,例2：若不等式x2+ax+1之0對一切x w (0,萬成立，則a的取值范圍為(A. 0 B. -2 C. -5D.-32. _1-x2 - 11

3、解析：由于x (0, - , a = X2xx1 115Y f(x) = x十L在(0, 1上單調(diào)遞增，在x=l取得最小值5 x 2225二a之,故選C2方法2:利用函數(shù)的性質(zhì)，圖象其主要體現(xiàn)在：1,利用一次函數(shù)的圖象性質(zhì)若原題可化為一次函數(shù)類型，則由數(shù)形結(jié)合給定一次函數(shù)f(x)=ax+b(a 0 0).若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有 f(x)之 0(或f(x)工 0),則根據(jù)函數(shù)的圖象可得：f(x)之0,x亡m,n恒成立uf(m)-0f(n)一0f(x)w0,x亡m,n恒成立uf(m)-0f(n)<02 ,利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)：a 0右 f(x)=ax +bx+c (a 0 0)大于

4、0怛成立 -:二 0若二次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立則可利用根的分布和韋達(dá)定理求解。例1: 函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在-1,1單調(diào)遞增，又f(-1)=-1 ,若f(x) < t2-2at+1對所有的a w -1,1都成立，求t的取值范圍解析：不等式中有三個變元，通過逐步消元法處理。首先選定主元 x,f (x)在-1,1遞增 *(* f(x) < t2-2at+1a三-1,1恒成立 u t2-2at+1 之 f (x)max： x = -1,1即t2-2at+1 至 1, a 三-1,1 上恒成立 u t2-2at 至 01 .不等式m2f(x)在區(qū)間D上恒成立二 m > f(x)

5、 max,x亡D或f(x)的上確界(若f(x)在x亡D的值域為a,b,則a稱為f(x)的上確界，b稱為f(x)的下確界)2 .不等式mw f(x)在區(qū)間D±恒成立 = m< f(x) min,x亡D或f(x)的下確界注釋：1.不等式m之f(x)在區(qū)間D±有解u m > f(x) min,x亡D 或f(x)的下確界2.不等式mw f(x)在區(qū)間D上有解u m < f(x) max,x w D 或f(x)的上確界那么，如何求函數(shù)g(x)在區(qū)間D上的最大值(上確界)或最小值 (下確界)呢？通?？梢圆扇±煤瘮?shù)的單調(diào)性，圖象，二次函數(shù)在 區(qū)間上的最值，判別式法，三

6、角函數(shù)的有解性，均值定理，函數(shù)求導(dǎo) 例1:若函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),對所有的x >。都有f(x)之a(chǎn)x成立, 求實數(shù)a的取值范圍解析：由f(x)=(x+1)ln(x+1) 一 ax,對所有的x 一。恒成立可得：(1) 當(dāng)x=0時,a亡R(x+1)ln(x+1)(x+1)ln(x+1)(2) 當(dāng)x>0時,a < v，設(shè)g(x)=-xx則問題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)在開區(qū)間(0,“)的最小值(下確界)，又g? (x) =x-ln'x：,要想求由g? (x) = 0困難重重，可換元令x1h(x)=x-ln(x+1),. h'(x)=1- , x > 0,

7、故h'(x) > 0,則函數(shù) h(x)x 1在(0, +與 為增函數(shù)，即h(x) > h(0)=0 ,從而g'(x) > 0,則函數(shù)g(x)在(0, +-)也為增函數(shù)，故g(x)無最小值.此時，由于g(0)無意義，g(x)(x+1)ln(x+1)x的下確界一時也難確定，但運用極限的知識可得g(x)>limg(x)，然而求此極 限又超生了所學(xué)范圍，事實上采用洛比達(dá)法則可得limg(x)=limln(x+1) + 1 = 1,故x > 0時,g(x) > 1,因而a « 1。綜合(1) (2)知a的取值范圍為(-00 ,1-1,1恒成立

8、，即g(a)=-2at+tg(-1) - 0 g- 0- 0,-1,1-2t+t 2 一-2t+t 2 .恒成立00=t ( -二，2 U 0： U2,二)例2：若函數(shù)f(x)= Ja2 - 1)x2 + (a - 1)x + 2的定義域為 R, a 1求實數(shù)a的取值范圍.2解析：該題就轉(zhuǎn)化為被開萬數(shù)(a2 - 1)x2 + (a - 1)x + a 1一 0在R±恒成立，注意對二次系數(shù)的討論。解：依題意，當(dāng)x R寸，。2 一 ,、(a2 - 1)x2 (a - 1)x 0恒成立，a 1a2 - 1 = 0T當(dāng)a2 - 1 = 0時，即當(dāng)時=a=1,此時a 1 = 0cc2(a2 -

9、 1)x2 (a - 1)xa2。當(dāng) a2a2一 1=0B寸，即當(dāng)a>1- 1 <0a=1成立a21=1 a- 10a 90綜上可得，f (x)的定義域為R寸,a1,9方法三：直接根據(jù)函數(shù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后,能非常容易地畫由等式 或不等式兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得由結(jié)果例：設(shè)x w (0,4,若不等式 Jx(4 x) >ax 恒成立，求a的取值范圍 解析：若設(shè)y1=Jx(4 一 x)則其圖象為上半圓,設(shè)y 2=ax為過原點且斜 率為a的直線.在同一坐 標(biāo)系中作出函數(shù)圖象,如下右依題意,半圓恒在直線上時，只有a<0,即其取值范圍為 a&

10、lt;0三.在恒成立問題中,主要是求函數(shù)的取值范圍問題，其處理方法有以下幾種1, 換元處理法例：對于所有實數(shù)x,不等式22, 4( a 1) ci2a,(a 1)x log 2 + 2xlog 2 + log 2 2 > 0恒成立,求 aaa 14a2的取值范圍.2a2a解析：因為log 2 的值隨a的變化而變化,t=log 2 -2a-,則a 1a 1上述問題實質(zhì)是當(dāng) t取何值時，不等式(3-t)x2 +2tx-2t>0 恒成立它等價于，求解關(guān)于t的不等式組3一,° = t <0,0即 log 22a2選定主元法例:對滿足不等式爐<23疹的一切實數(shù)a,不等式

11、(a-3)x<4a-2 都成立,求實數(shù)的取值范圍.解析:按常規(guī)理解要解以x為主元,為a常數(shù)的一元一次不等式但比較煩瑣,若選a為主變元則可利用函數(shù)的性質(zhì)解由x的取值范圍.由爐<2出5#:0<a<5設(shè)f(a)=(x-4)a-(3x-2),則由題意知，對任意的aw (0,5),都有f(a)<0恒成立,由一次函數(shù)的性質(zhì)得f(0) ' 0f(5) < 0一、，i 2解之得 從而可知:a>- (n-1), < x < 933 .構(gòu)造法ix2x3x(n - i)xnxa f例：設(shè)f(x)=lg 123I"(n1nf其中a為實數(shù)n為n任意

12、給定白自然數(shù)且n至2,若x亡(-0°,1時有意義，求a的取值范圍.解析:本題即為對于x總(fl,1 x2x3x| (n - 1)"nxa0叵成立先變量分離得對a>-( 1 )x+( 2 )x+| +(上)x, (n之2) n nn對于x亡(-巴1恒成立1 、.2 、. n - 1 、.構(gòu)造函數(shù)g(x)=-( )x+( )x+|l| +()x, (n . 2)n nn則問題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)次-0°,1上的值域由于函數(shù)k vu(x)=-( 一)( k = 1,2| n - 1),x 乏(-0°,1上是單倜遞增的， n1則g(x)在-巴1為單倜遞增函數(shù)于是g(x)的取大值為g(1)=- -(n-1), 24.分類討論若函數(shù)f(x)=Jkx 2 6kx + (k + 8)的定義域為取值范圍是()由題意kx2 6kx +(k + 8)之0恒成立R,則的.若，符合題意若，kx 2 - 6kx + (k + 8)之