正方形—培優(yōu)拔高(奧數(shù))專題講義

1、正方形一培優(yōu)拔高（奧數(shù)）專題講義閱讀與思考矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形，正方形不僅是特殊的 平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的菱形，因此，我們可以利用矩形、菱 形的性質來研究正方形的有關問題.正方形問題常常轉化為三角形問題解決，在正方形中，我們最容易得到特殊三角形、全等三角形, 熟悉以下基本圖形.例題與求解例1如圖，在正方形紙片 ABCD中，對角線 AC , BD交于點O ,折疊 正方形紙片 ABCD,使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開 后，折痕DE分別交AB , AC于點E , G .下列結論： ZAGD =112

2、,50 ；AD=2;S幽GD =S#GD ;四邊形AEFG是麥形；BE=2OG.AE其中，正確結論的序號是 .解題思路：本題需綜合運用軸對稱、菱形判定、數(shù)形結合等知識方法.（重慶市中考試題）【例2】如圖1,操作：把正方形 CGEF的對角線CE放在正方形 ABCD的邊BC的延長線上（CG >BC）,取線段AE的中點M .連MD , MF .（1）探究線段MD , MF的關系，并加以證明.（2）將正方形CGEF繞點C旋轉任意角后（如圖 2）,其他條件不變.探究線段MD , MF的關系，并加以證明.（大連市中考題改編）解題思路：由M為AE中點，想到“中線倍長法”再證三角形全等.【例3】如圖，正

3、方形 ABCD中，E, F是AB, BC邊上兩點，且EF = AE + FC , DG _L EFDG = DA.（重慶市競賽試題）解題思路：構造AE +FC的線段是解本例的關鍵.例4GH的交點, 結論.如圖, 若矩形正方形 ABCD被兩條與邊平行的線段 EF、GH分割成四個小矩形， P是EF與PFCH的面積恰是矩形 AGPE面積的2倍，試確定ZHAF的大小，并證明你的（北京市競賽試題）解題思路：先猜測ZHAF的大小，再作出證明，解題的關鍵是由條件及圖形推出隱含的線段間的 關系.【例5如圖，在正方形 ABCD中，E , F分別是邊BC ,AE,AF分別與對角線 BD交于點M,N .求證：（1）

4、/EAF =450 ；(2)222MN = BM DN（四川省競賽試題）解題思路：對于（1）,可作輔助線，創(chuàng)造條件，再通過三角形全等，即可解答；對于（2）,很容易聯(lián)想到直角三角形三邊關系.（黑龍江省中考試題）DN -BM是解題的關鍵.圖1【例6】已知：正方形ABCD中，NMAN =450, /MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB , DC （或它們的延長線）于點 M , N .當/MAN繞點A旋轉到BM =DN時（如圖1）,易證BM +DN = MN .（1）當/MAN繞點A旋轉到BM D DN時（如圖2）,線段BM , DN和MN之間有怎樣的數(shù)量 關系？寫出猜想，并加以證明；（2）當/

5、MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM ,DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關系？ 請直接寫出你的猜想.解題思路：對于（2）,構造能力訓練A級1 .如圖，若四邊形ABCD是正方形，&CDE是等邊三角形，則/EAB的度數(shù)為.（北京市競賽試題）2 .四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,給出以下題設條件： AB=BC =CD =DA; AO = BO =CO = DO,AC .L BD ； AO =CO,BO = DO, AC _L BD ； AB =BC,CD =DA .第5題圖第6題圖其中，能判定它是正方形的題設條件是（把你認為正確的序號都填在橫線上）（浙江省中考試題）3.如圖，邊

6、長為1的兩個正方形互相重合,按住一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉300 ,則這兩個正方形重疊部分的面積是（青島市中考試題）第3題圖第4題圖4.如圖,P是正方形ABCD內一點，將 . . 一ABP繞點B順時針方向旋轉至能與 ACBP重合，若PB =3,則PP =（河南省中考試題）n個正12A . -cmc n 2B. cmC.n -12cm1、n 2D. () cm45.將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點A,A2,An分別是正方形的中心，則方形重疊形成的重疊部分的面積和為（晉江市中考試題）6.如圖，以RtABCA的斜邊BC為一邊在ABCA的同側作正方形 BCEF ,設正方形的中心

7、為 O,連接AO ,如果AB =4,AO =6j2 ,則AC的長為（）A.12B. 8C4. 3（浙江省競賽試題）7.如圖，正方形ABCD 中，CE=MN,/MCE =350,那么 ZANM 是(A .450B. 550C. 650D. 7508.如圖，正方形ABCD的面積為256,占八、F在AD上，點E在AB的延長線上,RtACEF的面積為200,則BE的值是（A. 15)B. 12C. 11D. 10第7題圖第8題圖9.如圖，在正方形ABCD 中,E是AD邊的中點,BD 與 CE 交于AF .L BE .F點，求證:10.如圖，在正方形ABCD 中,E是AB邊的中點,1F是AD上的一點，且

8、 AF= AD4求證：CE平分/BCF.BC11 .如圖，已知P是正方形 ABCD對角線BD上一點，PE _L DC,PF _L BC, E, F分別是垂足.求證：AP = EF.(揚州市中考試題)12 .(1)如圖1,已知正方形 ABCD和正方形CGEF (CG >BC) , B,C,G在同一條直線上， M為線段AE的中點.探究：線段 MD,MF的關系.(2)如圖2,若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉450,使得正方形CGEF的對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上， M為AE的中點.試問: 明；若不成立，請說明理由.(1)中探究的結論是否成立？若成立，請證(大連市中考試題)1.

9、如圖，在四邊形 ABCD中，AD =DC/ADC =ABC =90°, DE _L AB于E ,若四邊形ABCD的面積為8,則DE的長為2.如圖，M是邊長為1的正方形2_ 210ABCD 內一點，若 MA2 MB2 = ,NCMD =90°,則/MCD 2第1題圖第2題圖（北京市競賽試題）第3題圖3 .如圖,在RtAABC中,= 900,AC=3,以AB為一邊向三角形外作正方形ABEF ,正方形的中心為O ,且OC =4工2 ,則BC的長為（“希望杯”邀請賽試題）4 .如圖：邊長一定的正方形ABCD, Q是CD上一動點,AQ交BD于M，過M作MN _L AQ交BC于N點，作

10、NP .L BD于點P ,連接NQ ,下列結論： 1 ”AM = MN ; MP= BD ；2_-AB BN BN +DQ =NQ ；AB BN為定值,其中一定成立的是A .BMB.C.D.5.如圖,A . 3ABCD是正方形，BF/AC , AEFC是菱形，則/ ACF與/ F度數(shù)的比值是（B. 4C. 5D.不是整數(shù)第4題圖第5題圖第6題圖第7題圖6 .一個周長為20的正方形內接于一個周長為28的正方形，那么從里面正方形的頂點到外面正方形的頂點的最大距離是（A .58C. 8D. 65E.5 3（美國高中考試題）7 .如圖，正方形 ABCD中，AB=8, Q是CD的中點，設/DAQ =a

11、,在CD上取一點P,使ZBAP = 2一，則CP的長度等于（）A .1B. 2C. 3D. V3（“希望杯”邀請賽試題）8 .已知正方形ABCD中，M是AB中點，E是AB延長線上一點，MN _L DM且交/ CBE平分 線于N （如圖19 1）求證：MD =MN ;10 ）若將上述條件中的“ M是AB中點”改為“ M是AB上任意一點”其余條件不變（如圖2）,（1）中結論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；（3）如圖2,點M是AB的延長線上（除 B點外）的任意一點，其他條件不變，則（1）中結論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；（臨汾市中考試題）9 .已知 0 <a <1,0 <b <1,求證:Ja2 +b2 + J(1-a)2 +b2 + ,a2 +(1-b)2 +,(1 a)2(1 b)2 >2行.10 .如果，點M ,N分別在正方形 ABCD的邊BC,CD上，已知AMCN的周長等于正方形 ABCD周（“祖沖之杯”邀請賽試題）長的一半，求 /MAN的度數(shù).AB11 .如圖，兩張