導(dǎo)數(shù)中的二次求導(dǎo)問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2019高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧第03講：導(dǎo)數(shù)中的二次求導(dǎo)問題【知識(shí)要點(diǎn)】1、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用提出了明確的要求，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，既是高考考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)和必考點(diǎn). 利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等問題是高考考查導(dǎo)數(shù)問題的主要內(nèi)容和形式，并多以壓軸題的形式出現(xiàn). 常?？疾檫\(yùn)算求解能力、概括抽象能力、推理論證能力和函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想的滲透和綜合運(yùn)用，難度較大.2、在解決有關(guān)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的試題時(shí)，有些題目利用“一次求導(dǎo)”就可以解決，但是有些問題“一次求導(dǎo)”，不能求出原函數(shù)的單調(diào)性，還不能解決問題，需要利用“二

2、次求導(dǎo)”才能找到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，找到原函數(shù)的單調(diào)性，才能解決問題. “再構(gòu)造，再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的有效工具，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了數(shù)學(xué)建模的新思路和“用數(shù)學(xué)”的新意識(shí)和新途徑.【方法講評(píng)】方法二次求導(dǎo)使用情景對(duì)函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.解題步驟設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.【例1】(理2010全國(guó)卷第20題)已知函數(shù).（）若，求的取值范圍；（）證明： 化簡(jiǎn)得，所以兩邊同乘可得，所以有，在對(duì)求導(dǎo)有，即當(dāng)時(shí)，0，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，0，在區(qū)間上為減函數(shù).所以在時(shí)有最大值，即.又因?yàn)椋?

3、當(dāng)時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間上為增函數(shù)，則，此時(shí)，為增函數(shù)，所以，易得也成立.綜上，得證.方法二：（），則題設(shè)等價(jià)于. 令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，是的最大值點(diǎn)，所以 .綜上，的取值范圍是.（）由（）知，即.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí).當(dāng)時(shí)，. 所以【點(diǎn)評(píng)】（1）比較上述兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)用二次求導(dǎo)的方法解題過程簡(jiǎn)便易懂，思路來得自然流暢，難度降低，否則，另外一種解法在解第二問時(shí)用到第一問的結(jié)論，而且運(yùn)用了一些代數(shù)變形的技巧，解法顯得偏而怪，同學(xué)們不易想出.（2）大家一定要理解二次求導(dǎo)的使用情景，是一次求導(dǎo)得到之后，解答難度較大甚至解不出來. （3）二次求導(dǎo)之后，設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得

4、到函數(shù)的最值，即可得到的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性. 【例2】設(shè)函數(shù) （）若在點(diǎn)處的切線為，求的值；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若，求證：在時(shí)，【解析】（），在點(diǎn)處的切線為，即在點(diǎn)的切線的斜率為，切點(diǎn)為，將切點(diǎn)代入切線方程，得，所以，； （），要證：當(dāng)時(shí)，即證：，令，則只需證：，由于，（由于不等式是超越不等式,所以此處解不等式解答不出，所以要構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo).）設(shè)所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，即在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為.【點(diǎn)評(píng)】（1）由于不等式是超越不等式,所以不等式解答不出，所以要構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo).這是要二次求導(dǎo)的起因. （2）僅得到函數(shù)在單調(diào)遞增是不夠的，因?yàn)榇?/p>

5、時(shí)，所以，所以的單調(diào)性還是不知道，所以無法求.所以必須找到這個(gè)零點(diǎn)和零點(diǎn)所在區(qū)間，這個(gè)零點(diǎn)和零點(diǎn)的區(qū)間找到很關(guān)鍵很重要，直接關(guān)系到的單調(diào)性和.【反饋檢測(cè)1】【2017課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且.(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【反饋檢測(cè)2】已知函數(shù)R在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：當(dāng)N，且時(shí)，.高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧第03講：導(dǎo)數(shù)中二次求導(dǎo)問題參考答案【反饋檢測(cè)1答案】（1）；（2）證明略.【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解析】（1）的定義域?yàn)樵O(shè)，則等價(jià)于因?yàn)槿?，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，0，單調(diào)遞增.所以是的極小值點(diǎn)，故，綜上，.又，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋允堑奈ㄒ粯O大值點(diǎn).由，由得.因?yàn)槭窃冢?,1）的最大值點(diǎn)，由得，所以. 【反饋檢測(cè)2答案】（1）；（2）；（3）見解析.【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】（1）解：， . 直線的斜率為，且過點(diǎn)， 即解得. 令，則.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故從而，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.因此，當(dāng)時(shí)，恒成立，則.所求的取值范圍是.解法2：由（1）得. 當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立. 令，則.方程（）的判別式.（）當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.由于，則當(dāng)時(shí)，即，與題設(shè)矛盾.（）當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，符合題