三角形的各個心總結(jié)與歸納

1、三角形的心三角形只有五種心重心：三中線的交點(diǎn)，三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的 2 倍；垂心：三高的交點(diǎn)；內(nèi)心：三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，是三角形的內(nèi)切圓的圓心的簡稱；外心：三中垂線的交點(diǎn)；旁心：一條內(nèi)角平分線與其它二外角平分線的交點(diǎn).(共有三個.)是三角形的旁切圓的圓心的簡稱.當(dāng)且僅當(dāng)三角形是正三角形的時候，四心合一心，稱做正三角形的中心.1 三角形重心重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，三線交一可用燕尾定理證明,十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。已知：ABC 中，D 為 BC 中點(diǎn)，E 為 AC 中點(diǎn)，AD 與 BE 交于 O,CO 延長線交 AB 于 F。求證：F 為

2、 AB 中點(diǎn)。證明：根據(jù)燕尾定理，SAAOB=SAOC,又 SAAOB=SBOC，.二 SAOC=SABOC,再應(yīng)用燕尾定理即得 AF=BF,命題得證。重心的幾條性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為 2:1。2、重心和三角形 3 個頂點(diǎn)組成的 3 個三角形面積相等。3、重心到三角形 3 個頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3):空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：(z1+z2+z3)/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

3、重心三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧，交點(diǎn)命名為重心”，重心性質(zhì)要明了，重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉；長短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好.2 三角形垂心的性質(zhì)設(shè)ABC 的三條高為 AD、BE、CF,其中 D、E、F 為垂足，垂心為 H,角 A、B、C 的對邊分別為a、b、c,p=(a+b+c)/2.1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角豚的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；3、垂心 H 關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在ABC 的外接圓上。4、ABC 中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且 AHH

4、D=BHHE=CHHF。5、H、A、B、C 四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一一垂心組)。6、ABC,ABH,BCH,ACH 的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過 H 的直線交 AB、AC 所在直線分別于 P、Q,則 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的 2 倍。9、設(shè) O,H 分別為ABC 的外心和垂心，則/BAO=/HAC,/ABH=/OBC,/BCO=/HCA。10、 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2 倍。11、 銳角三角形的垂心是垂足

5、三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。12、西姆松(Simson)定理(西姆松線)從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。3 三角形內(nèi)心囪定義在三角形中，三個角的角平分線的交點(diǎn)是這個三角形內(nèi)切圓的圓心而三角形內(nèi)切畫的圓心就叫做三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心的性質(zhì)I(r)，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,p=(a+b+c)/21、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心.2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑 r.設(shè)ABC 的內(nèi)切圓為。3、r=S/p.4、在 RtABC 中，/C=90

6、,r=(a+b-c)/2.5、/BIC=90+A/2.6、點(diǎn) O 是平面 ABC 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) I 是ABC 內(nèi)心的充要條件是:a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC 尸向量 0.7、點(diǎn) O 是平面 ABC 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) I 是ABC 內(nèi)心的充要條件是：向量 OI=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c).8、/ABC 中，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么ABC 內(nèi)心 I 的坐標(biāo)是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)

7、.9、(歐拉定理)2ABC 中，R 和 r 分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內(nèi)心，則 OIA2=RA2-2Rr.10、(內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系)/ABC 中，0 為內(nèi)心，/A、/B、ZC 的內(nèi)角平分線分別交 BC、AC、AB 于Q、P、R,貝 UBQ/QA=a/b,CP/PA=a/c,BR/RC=c/b.三角形外心定義三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形外心的性質(zhì)設(shè)ABC 的外接圓為。G(R),角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,p=(a+b+c)/2.1、三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2、銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角

8、三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合.3、GA=GB=GC=R.3、/BGC=2/A,或/BGC=2(180-/A).4、R=abc/4S 力 ABC.5、點(diǎn) G 是平面 ABC 上一點(diǎn)，那么點(diǎn) G 是力 ABC 外心的充要條件是：(向量 GA+向量 GB)向量 AB=(向量 GB+向量 GC)向量 BC=(向量 GC+向量 GA)向量 CA=向量 0.6、點(diǎn) G 是平面 ABC 上一點(diǎn)，點(diǎn) P 是平面 ABC 上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn) G 是力 ABC 外心的充要條件是：向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC).7、點(diǎn) G 是平面 ABC 上一點(diǎn)，點(diǎn) P 是平面 ABC 上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn) G 是力 ABC 外心的充要條件是：向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+