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文檔簡介
1、高中三角極值問題在物理中的應(yīng)用摘要:本文討論了兩個(gè)常見的三角函數(shù)及的極值在物理解題中的應(yīng)用,總結(jié)了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的基本方法。關(guān)鍵詞:三角函數(shù) 極值 物理解題方法高中三角函數(shù)中,形如及的極值問題在物理題中有著廣泛的應(yīng)用,部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在解物理題中的作用不夠重視,從而無法做到靈活運(yùn)用。本文通過詳細(xì)的推導(dǎo)和配套的例題,展開討論,說明用法。一、的極值應(yīng)用 極值推導(dǎo)在三角函數(shù)中形如的最值求法其理論依據(jù)為兩角和與差的正余弦公式。為求的最值,我們將其變形為設(shè),進(jìn)而有 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)取最大值 范例解析mgFfFFN圖 1例1 一物體質(zhì)量為m,與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,用力拉物體在水平面
2、上勻速滑動(dòng),求最小拉力及最小拉力的條件。解:設(shè)用與水平成角的外力F拉物體,其受力分析如圖1所示.由于物體勻速,則水平:, 豎直: 要討論F的取值,就需要討論的取值,由上可知,當(dāng)時(shí),此時(shí)y有最大,此時(shí),F(xiàn)有最小值例2 如圖2所示,質(zhì)量為m的金屬桿,跨放在相距L的兩水平軌道上,金屬桿與軌道動(dòng)摩擦因數(shù)為?,F(xiàn)由一軌道向另一軌道輸送電流I,使桿向右勻速滑動(dòng),求所需的最小磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。圖 2F安mgFf圖 3解析:設(shè)安培力方向與水平方向成角,如圖3所示,有解得當(dāng)時(shí),此時(shí)y有最大,此時(shí),有最小值例3 有一斜面,其底邊固定且水平,斜面的傾角可在內(nèi)變化,一物體在斜面上以一定的初速度向上運(yùn)動(dòng),問當(dāng)多時(shí),物體沿
3、斜面向上運(yùn)動(dòng)位移有最小值?最小值為多少?設(shè)物體與斜面間的動(dòng)摩擦系數(shù)始終為解:假設(shè)物體在如圖4所示傾角為的斜面上運(yùn)動(dòng),mgFNFf圖 4受力分析,建立坐標(biāo)系由于物體勻速,則x軸: y軸: 因此根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有由前面結(jié)論可得,二、的極值應(yīng)用 極值推導(dǎo)在三角函數(shù)中形如的最值求法其理論依據(jù)三角最基本的公式和代數(shù)中一基本定理:若干個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。為求的極值,我們將其兩邊平方得,進(jìn)而有 上式中等號(hào)成立的條件是,即時(shí),有最大值,就有y的最大值,即的最大值。 范例解析例4 一小球用輕繩懸掛在某固定點(diǎn),現(xiàn)將輕繩水平拉直,然后由靜止開始釋放小球??紤]小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)到最低位置
4、的過程中( )A. 小球在水平方向的速度逐漸增大B. 小球在豎直方向的速度逐漸增大C. 到達(dá)最低位置時(shí)小球線速度最大D. 到達(dá)最低位置時(shí)繩中的拉力等于小球重力解:因輕繩對(duì)小球拉力的水平方向分量始終沒反向,故小球在水平方向的加速度沒反向,使小球在水平方向的速度逐漸增大,以致小球到達(dá)最低點(diǎn)位置時(shí)的線速度最大。選A、C。由小球到達(dá)最低位置時(shí)的受力情況,根據(jù)向心力的計(jì)算易得拉力應(yīng)大于小球重力,故D錯(cuò)。對(duì)于選擇項(xiàng)B,因小球到達(dá)最低位置時(shí),在豎直方向的速度為零,故B錯(cuò)。現(xiàn)在需要探討的是,小球落到什么位置時(shí),在豎直方向的速度最大?最大值是多少?如圖5,設(shè)質(zhì)量為的小球被長為的輕繩系住,懸掛在固定點(diǎn)。將輕繩拉直
5、至水平位置,把小球從靜止釋放。設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到使輕繩與水平方向成角時(shí),小球的速度為。由機(jī)械能守恒定律,有即得等式Oy圖 5我們將速度正交分解為豎直方向的和水平方向的,易得,兩邊平方后將式代入有因時(shí),有最大值,由式得豎直方向速度的最大值為,且豎直方向速度的最大值在時(shí)取得。對(duì)于本題,我們還可導(dǎo)出小球擺動(dòng)過程中豎直方向和水平方向加速度的變化情況。小球下落至A點(diǎn)時(shí)的受力情況如圖6所示。Omg圖 6FT由機(jī)械能守恒定律和向心力公式,有由、得。我們規(guī)定向下為正方向,有 當(dāng),即時(shí),小球在豎直方向的加速度,此時(shí)正好正好達(dá)到最大值。事實(shí)上,達(dá)到最大值的條件與達(dá)到的條件是相同的。我們?cè)僖?guī)定向左為正方向,有很顯示,當(dāng)時(shí)
6、,達(dá)到最大值PQABO圖 7例5 如圖7所示,P、Q是兩個(gè)電量(數(shù)值為)相等的正點(diǎn)電荷,它們連線的中點(diǎn)是O,A、B是中垂線垂線上的兩點(diǎn),用、分別表示A、B兩點(diǎn)的場強(qiáng)和電勢,則( )A. 一定大于,一定大于B. 不一定大于,一定大于C. 一定大于,不一定大于D. 不一定大于,不一定大于解 因P、Q是兩個(gè)等量的正的點(diǎn)電荷,故距它們較近的A點(diǎn)的電勢大于距它們較遠(yuǎn)的B點(diǎn)的電勢,即。PQO圖 8ME1EE2對(duì)于A、B兩點(diǎn)場強(qiáng)大小的比較,我們利用點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式,其中是到點(diǎn)電荷Q的距離,如圖8。點(diǎn)電荷P在點(diǎn)M處的場強(qiáng)為,點(diǎn)電荷Q在點(diǎn)M處的場強(qiáng)為。因P、Q兩個(gè)正的點(diǎn)電荷電量相等,即設(shè),由場強(qiáng)的矢量和得出點(diǎn)M處的合場強(qiáng)為因,有最大值,此時(shí)兩個(gè)點(diǎn)電荷的合場強(qiáng)取得最大值由易得到圖7或圖8兩個(gè)點(diǎn)電荷在中垂線上合場強(qiáng)最大的點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為。而圖7中的A、B兩點(diǎn)分別在合場強(qiáng)的最大值點(diǎn)兩側(cè),故和的大小不能確定。選B。涉及三角函數(shù)極值的物理問題求解不
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