高中競賽教程 圓中比例線段根軸學生

1、 第2講 圓中比例線段、根軸本節(jié)主要介紹圓冪定理及其應(yīng)用，介紹根軸的有關(guān)知識.圓冪定理是指相交弦定理、切割線定理及割線定理，它們揭示了與圓有關(guān)的線段的比例關(guān)系，是平面幾何中研究有關(guān)圓的性質(zhì)的一組很重要的定理，應(yīng)用及其廣泛.圓冪定理通常可以通過相似三角形得到，因此研究圓中的比例線段，一般離不開相似三角形. 相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦被交點分成的兩條線段的積相等. 切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 割線定理 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.上述三個定理統(tǒng)稱為圓冪定理，它們的發(fā)現(xiàn)距今已有兩千多年的歷史

2、，它們有下面的同一形式：圓冪定理 過一定點作兩條直線與圓相交，則定點到每條直線與圓的交點的兩條線段的積相等，即它們的積為定值.這里切線可以看作割線的特殊情形，切點看作是兩個重合的交點.若定點到圓心的距離為d，圓半徑為r，則這個定值為|d2-r2|.當定點在圓內(nèi)時，d2-r2<0，|d2-r2|等于過定點的最小弦的一半的平方；當定點在圓上時，d2-r2=0；當定點在圓外時，d2-r2>0，d2-r2等于從定點向圓所引切線長的平方.特別地，我們把d2-r2稱為定點對于圓的冪.一般地我們有如下結(jié)論：到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線；如果此二圓相交，那么該軌跡是此二圓的

3、公共弦所在直線這條直線稱為兩圓的“根軸”對于根軸我們有如下結(jié)論：三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，那么它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”三個圓的根心對于三個圓等冪當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點A類例題例1 試證明圓冪定理. 設(shè)PA=d，則PA·PB=|d2-r2|.例2 利用圓冪定理證明：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項；每一直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.例3 已知AB切O于B，M為AB的中點，過M作O的割線MD交O于C、D兩點，連AC并延長交O于E，連AD交O于F. 求證：EFAB.情景再現(xiàn)1AD是RtA

4、BC斜邊BC上的高,B的平分線交AD于M,交AC于N.求證：AB2AN2BM·BN.2如圖，O內(nèi)的兩條弦AB、CD的延長線相交于圓外一點E，由E引AD的平行線與直線BC交于F，作切線FG，G為切點.求證：EF=FG.3已知如圖，兩圓相交于M、N，點C為公共弦MN上任意一點，過C任意作直線與兩圓的交點順次為A、B、D、E.求證：=.B類例題例4 如圖,ABCD是O的內(nèi)接四邊形,延長AB和DC相交于E,延長AB和DC相交于E,延長AD和BC相交于F,EP和FQ分別切O于P、Q. 求證：EP2FQ2EF2.例5 AB是O的直徑，MEAB于E，C為O上任一點，AC、EM交于點D，BC交DE于

5、F求證：EM2=ED·EFFOPECBAD例6 (1997年全國高中理科實驗班招生考試)如圖所示，PA、PB是O的兩條切線，PEC是O的一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2，CD=1，求DE的長.情景再現(xiàn)4如圖，P為兩圓公共弦AB上一點，過點P分別作兩圓的弦CD、EF，求證：C、D、E、F四點共圓.ABCMNDPO5正ABC內(nèi)接于O，M、N分別是AB、AC的中點，延長MN交O于點D，連結(jié)BD交AC于P，求6如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的O，對角線AC是直徑，AC、BD交于點P，AB=BD，且PC=0.6.求此四邊形的周長(1999年全國初中數(shù)學聯(lián)賽)C類例題例7 如圖

6、，自圓外一點P向O引割線交圓于R、S兩點，又作切線 PA、PB，A、B為切點，AB與PR相交于Q求證：+= ABDEFM1234OPQ例8 AB是O的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QMABCKMNPQB'C'例9 給出銳角ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC'及其延長線交于M，N.以AC為直徑的圓與AC邊的高BB'及其延長線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點共圓.(第19屆美國數(shù)學奧林匹克)情景再現(xiàn)7O1與O2相交于M、N，AB、CD為公切線，A、B、C、D為切點，直線MN交AB于P，交CD于Q，求證：PQ2=

7、AB2+MN2.8以O(shè)為圓心的圓通過ABC的兩個頂點A、C，且與AB、BC兩邊分別相交于K、N兩點，ABC和KBN的兩外接圓交于B、M兩點證明：OMB為直角(1985年第26屆國際數(shù)學競賽）9如圖，自圓外一點P向O作切線，PA、PB，A、B為切點，AB與PO相交于C，弦EF過點C求證：ÐAPE=ÐBPF習題16 1已知，AD是O的直徑，AD'BC，AB、AC分別與圓交于E、F，那么下列等式中一定成立的是( )AAEBE=AFCF BAEAB=AOAD' CAEAB=AFAC DAEAF=AOAD2設(shè)A的直徑等于等邊三角形ABC的邊長，等腰三角形AB'

8、C'的周長與ABC的周長相同，且B'C'與A相切，那么( )AB'AC'>120° BB'AC'=120° CB'AC'<120° DB'AC'與120°的大小關(guān)系不確定3PM切O于M，PO交O于N，若PM=12，PN=8，則O的直徑為( ) A5 B4 C10 D124如圖，AB切O于B，ADFC交O于D、F，BC交O于E，若A=28°，C=30°，BDF=60°，則FBE的度數(shù)為( )A3° B2° C

9、1° D0.5°5如圖，PT切O于T，M為PT的中點，AM交O于B，PA交O于C，PB延長線交O于D，圖中與MPB相似的三角形有( )A1個 B2個 C3個 D4個6如圖，D為O內(nèi)一點，BD交O于點C，BA切O于A，若AB=6，OD=2，DC=CB=3，則O的半徑等于( )A3+ B2 C D7PT切O于點T，PAB、PCD是割線，弦AB=35 ，弦CD=50，ACDB=12，求PT的長8在ABC中，已知CM是ACB的平分線，AMC的外接圓交BC于N，若AC=AB，求證：BN=2AM.9過O外一點P作O的兩條切線PA、PB，連OP與O交于點C，過C作AP的垂線，垂足為E.若PA=12，PC=6，求CE的長.10O與O¢外切于點P，一條外公切線分別切兩圓于點A、B，AC為O的直徑，從C引O¢的切線CT，切點為T求證：CT=ABD11O1與O2的半半徑為r1、r2(r1>r2)，連心線O1O2的中點為D，且O1O2上有一點H，滿足2DH·O1O2=r