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1、第2課向量的數(shù)量積【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義.2. 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.3. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式.4. 能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長(zhǎng)度的問(wèn)題.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.已知均為單位向量,它們的夾角為,那么2.在直角坐標(biāo)系中,分別是與軸,軸平行的單位向量,若直角三角形中,則的可能值個(gè)數(shù)為2個(gè)3. 若,,與的夾角為,若,則的值為4.若,且,則向量與的夾角為 120°【范例導(dǎo)析】例1.已知兩單位向量與的夾角為,若,試求與的夾角的余弦值。分析:利用及求解.解:由題意,且與的夾角為,所以,同理可得 而,設(shè)為與的夾角,則 點(diǎn)評(píng):向量的模的求法
2、和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑。例2.已知平面上三個(gè)向量、的模均為1,它們相互之間的夾角均為120°,(1)求證:;(2)若,求的取值范圍.分析:問(wèn)題(1)通過(guò)證明證明,問(wèn)題(2)可以利用解:(1) ,且、之間的夾角均為120°,(2) ,即 也就是所以 或解:對(duì)于有關(guān)向量的長(zhǎng)度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運(yùn)用平面向量的數(shù)量積解決.例3.如圖,在直角ABC中,已知,若長(zhǎng)為的線(xiàn)段以點(diǎn)為中點(diǎn),問(wèn)的夾角取何值時(shí)的值最大?并求出這個(gè)最大值分析:本題涉及向量較多,可通過(guò)向量的加減法則得,再結(jié)合直角三角形和各線(xiàn)段長(zhǎng)度特征法解決問(wèn)題解:例3 點(diǎn)撥:運(yùn)用向量的方法解決幾何問(wèn)題,充分體現(xiàn)
3、了向量的工具性,對(duì)于大量幾何問(wèn)題,不僅可以用向量語(yǔ)言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的向量運(yùn)算.【反饋練習(xí)】第2題1.已知向量滿(mǎn)足則與的夾角為 2.如圖,在四邊形ABCD中,則的值為43.若向量滿(mǎn)足,的夾角為60°,則=4.若向量,則5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求: a·b ;(2ab) ·(a+3b)解:(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2,(2)(2ab)·(a+3b)=2a2+5a·b3b2=2|a|2+5a·b3|b|2=2×42+5×(10)3×52=93. 6.已知a與b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a4b與7a2b垂直,求a與b的夾角.解:且a+3b與7a-5b垂直,a4b與7a2b垂直,(a+3b)·(7a-5b)=0,(a4b)·(7a2b)=0 7a216 a
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