高中數(shù)學必修四任意角與弧制 知識點匯總教師版

1、 任意角與弧度制知識梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推廣定義：一條射線OA由原來的位置，繞著它的端點O按一定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角，記作：角或 可以簡記成。注意：（1）“旋轉(zhuǎn)”形成角，突出“旋轉(zhuǎn)” （2）“頂點”“始邊”“終邊”“始邊”往往合于軸正半軸 （3）“正角”與“負角”這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。例1、若，求和的范圍。（0,45） （180,270）2、角的分類： 由于用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴大了?？梢詫⒔欠譃檎?、零角和負角。正角：按照逆時針方向轉(zhuǎn)定的角。零角：沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角。負角：按照順時針方向旋轉(zhuǎn)的角。例2、（1）時針走過2小時40分，則分針

2、轉(zhuǎn)過的角度是 -960 （2）將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是 3、 “象限角” 為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角，角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限，稱為軸線角。例1、30° ；390° ；-330°是第 象限角 300° ； -60°是第 象限角585° ； 1180°是第 象限角 -2000°是第 象限角。例2、（1）A=小于90°的角，B=第一象限的角，則AB= （填

3、序號）.小于90°的角 0°90°的角 第一象限的角 以上都不對（2）已知A=第一象限角，B=銳角，C=小于90°的角，那么A、B、C關(guān)系是（B）AB=AC BBC=C CAC DA=B=C例3、寫出各個象限角的集合：例4、若是第二象限的角，試分別確定2, 的終邊所在位置.解 是第二象限的角，k·360°+90°k·360°+180°（kZ）.（1）2k·360°+180°22k·360°+360°（kZ），2是第三或第四象限的角，或角

4、的終邊在y軸的非正半軸上.（2）k·180°+45° k·180°+90°（kZ），當k=2n（nZ）時，n·360°+45°n·360°+90°；當k=2n+1（nZ）時，n·360°+225°n·360°+270°.是第一或第三象限的角.拓展：已知是第三象限角，問是哪個象限的角？是第三象限角，180°+k·360°270°+k·360°（kZ），60&#

5、176;+k·120°90°+k·120°.當k=3m(mZ)時，可得60°+m·360°90°+m·360°（mZ）.故的終邊在第一象限.當k=3m+1 (mZ)時，可得180°+m·360°210°+m·360°（mZ).故的終邊在第三象限.當k=3m+2 （mZ）時，可得300°+m·360°330°+m·360°（mZ）.故的終邊在第四象限.綜上可知，是第一、

6、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法1、終邊相同的角：（1）終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與個周角的和。（2）所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合 即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和注意：1、2、是任意角3、終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍。4、一般的，終邊相同的角的表達形式不唯一。例1、（1）若角的終邊與角的終邊相同，則在上終邊與的角終邊相同的角為 。若角的終邊與8/5的終邊相同則有：=2k+8/5 (k為整數(shù))所以有：/4=(2k

7、+8/5)/4=k/2+2/5當：0k/2+2/52有：k=0 時，有2/5 與/4角的終邊相同的角k=1 時，有9/10 與/4角的終邊相同的角 （2）若是終邊相同的角。那么在 X軸正半軸上 例2、求所有與所給角終邊相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大負角：（1）； （2）例3、求，使與角的終邊相同，且2、終邊在坐標軸上的點：終邊在x軸上的角的集合： 終邊在y軸上的角的集合：終邊在坐標軸上的角的集合： 3、終邊共線且反向的角：終邊在y=x軸上的角的集合： 終邊在軸上的角的集合：4、終邊互相對稱的角：若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系：

8、若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：例1、若，則角與角的中變得位置關(guān)系是（ ）。 A.重合 B.關(guān)于原點對稱 C.關(guān)于x軸對稱 D.有關(guān)于y軸對稱例2、將下列各角化成0到的角加上的形式（1） （2）例3、設集合, ,求,. 二、弧度與弧度制1、弧度與弧度制：弧度制另一種度量角的單位制， 它的單位是rad 讀作弧度定義：長度等于 的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。orC2rad1radrl=2roAAB 如圖：ÐAOB=1rad ，ÐAOC=2rad ， 周角=2prad 注意：1、正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度

9、數(shù)是02、角a的弧度數(shù)的絕對值 （為弧長，為半徑）3、用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0） 用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。4、在同一個式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制與弧度制的換算弧度定義：對應弧長等于半徑所對應的圓心角大小叫一弧度 角度與弧度的互換關(guān)系： 360°= rad 180°= rad 1°= 注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.例1、 把化成弧度 解： 例2、 把化成度 解：例2、將下列各角從弧度化成角度 （1） rad （2）2.1 rad  （3） 例3、用

10、弧度制表示：1°終邊在軸上的角的集合 2°終邊在軸上的角的集合 3°終邊在坐標軸上的角的集合 解：1°終邊在軸上的角的集合 2°終邊在軸上的角的集合 3°終邊在坐標軸上的角的集合 三、弧長公式和扇形面積公式 ； 例1、已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是 1或4 .例2、若兩個角的差為1弧度，它們的和為，求這連個角的大小分別為 。例3、 直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對的弧長 解： ： ： 例4、（1）一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇 形

11、的面積是多少？（2）一扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？解 （1）設扇形的圓心角是rad，因為扇形的弧長是r,所以扇形的周長是2r+r.依題意，得2r+r=r,=-2=(-2)×1.142×57.30°65.44°65°26,扇形的面積為S=r2=（-2）r2.（2）設扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20,即l=20-2r (0r10)扇形的面積S=lr，將代入，得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以當且僅當r=5時，S有最大值25.此時l=20-2×5=10,

12、=2.所以當=2 rad時，扇形的面積取最大值.例5、（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解 設扇形半徑為R，中心角為，所對的弧長為l.（1）依題意，得22-17+8=0,=8或.82,舍去,=.(2)扇形的周長為40,R+2R=40，S=lR=R2=R·2R.當且僅當R =2R,即R=10, =2時面積取得最大值，最大值為100.（七）任意角的三角函數(shù)（定義）1 設a是一個任意角，在a的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y），則P與原點的距離 2比值叫做a的正弦

13、記作： ；比值叫做a的余弦 記作： 比值叫做a的正切 記作： ；比值叫做a的余切 記作： 比值叫做a的正割 記作： ；比值叫做a的余割 記作： 注意突出幾個問題：角是“任意角”，當b=2kp+a(kÎZ)時，b與a的同名三角函數(shù)值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應由象限確定三角函數(shù)在各象限的符號： 定義域： 4. 是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點，且cos=,則sin= . 已知角的終邊落在直線y=-3x (x0)上，則 2 .例8、 已知a的終邊經(jīng)過點P(2,-3)，求a的六個三角函數(shù)值xoyP(2,-3) 解： sina=- cosa= tana=- cota=- seca= csca=- 例9、 求下列各角的六個三角函數(shù)值 0 p 解： 的解答見P16-17