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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上截長補短法例1. 已知,如圖1-1,在四邊形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC.求證:BAD +BCD=180.分析:因為平角等于180,因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角,圖中缺少全等的三角形,因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形,可通過“截長補短法”來實現(xiàn).證明:過點D作DE垂直BA的延長線于點E,作DFBC于點F,如圖1-2圖1-1BD平分ABC,DE=DF,圖1-2在RtADE與RtCDF中,RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180,BAD+DCF=180,即BAD+BCD=180例2. 已知,如圖3-1,1
2、=2,P為BN上一點,且PDBC于點D,AB+BC=2BD.求證:BAP+BCP=180.分析:與例1相類似,證兩個角的和是180,可把它們移到一起,讓它們是鄰補角,即證明BCP=EAP,因而此題適用“補短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.證明:過點P作PE垂直BA的延長線于點E,如圖3-2圖3-11=2,且PDBC,PE=PD,在RtBPE與RtBPD中,圖3-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD,AB+BD+DC=BD+BE,AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+
3、BCP=180例3. 如圖2-1,ADBC,點E在線段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB.求證:CD=AD+BC.分析:結(jié)論是CD=AD+BC,可考慮用“截長補短法”中的“截長”,即在CD上截取CF=CB,只要再證DF=DA即可,這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題,從而達(dá)到簡化問題的目的.圖2-1證明:在CD上截取CF=BC,如圖2-2在FCE與BCE中,F(xiàn)CEBCE(SAS),2=1.又ADBC,ADC+BCD=180,DCE+CDE=90,圖2-22+3=90,1+4=90,3=4.在FDE與ADE中,F(xiàn)DEADE(ASA),DF=DA,CD=DF+CF,CD=AD+BC.圖4-1例4. 已知:如圖4-1,在ABC中,C2B,12.求證:AB=AC+CD.分析:從結(jié)論分析,“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,即延長AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.證明:方法一(補短法)圖4-2延長AC到E,使DC=CE,則CDECED,如圖4-2ACB2E,ACB2B,BE,在ABD與AED中,ABDAED(AAS),AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC,AB=AC+DC.方法二(截長法)圖4-3在AB上截取AF=AC,如圖4-3在AFD與ACD中,AFDACD(SAS),DF=
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