第六章幾何變換

1、習(xí) 題 六 （1） 1.平行四邊形內(nèi)有點(diǎn)，已知，求證.證明：令，則、四點(diǎn)共圓，。2.七條直線(xiàn)兩兩相交，試證所有交角中至少有一角小于.證明：將七條直線(xiàn)平移并使它們交于一點(diǎn)0，假設(shè)所有交角都，則七角角度之和。產(chǎn)生矛盾，假設(shè)不成立，所以原命題成立。3.中，為邊上的中線(xiàn)，求證：。證明：令，連交于M,N，則分別是的中點(diǎn)，（均為平行四邊形）在中，在中4.設(shè)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，求正方形的面積.解：令又又5.已知正六邊形，分別是邊的中點(diǎn)，為的交點(diǎn),(1)求與的夾角;(2)求證.（1）解：設(shè)為正六邊形中點(diǎn)則有又與的夾角為（2）證明：四邊形6.中，斜邊，形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和的最小值為，求這個(gè)三角形的銳角。解：令則

2、當(dāng)共線(xiàn)時(shí)三頂點(diǎn)距離和最小為此時(shí)，則在中，由余弦定理：7.已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)和，一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與交角為的方向射到上的點(diǎn)后，依次反射到和上的點(diǎn)和（入射角等于反射角）。設(shè)的坐標(biāo)為。若，則的取值范圍是（）解:坐標(biāo)為令方程坐標(biāo)為由入射角等于反射角得方程為坐標(biāo)為方程為坐標(biāo)為方程為坐標(biāo)為，選（C）8.等邊內(nèi)有一點(diǎn)，已知，求的面積。解:令,則其中9.以的邊為斜邊向形外作等腰直角三角形，為中點(diǎn)，求證證明:又為中心反射變換且對(duì)稱(chēng)中心為中點(diǎn)，。10.用幾何變換證明命題：在正方形中，若，在正方形內(nèi)，則是正三角形.證明:如圖，在正方形內(nèi)作正三角形則.又重合即,為正三角形.11.相似變換有哪些不變性與不變量？答:相似

3、變換保持點(diǎn)與直線(xiàn)的結(jié)合關(guān)系，以及點(diǎn)在直線(xiàn)上的順序關(guān)系不變,具有同素性.不變量:簡(jiǎn)單比，兩直線(xiàn)夾角大小，兩平面圖形的面積比等. 12利用位似變換證明，三角形的外心、垂心、重心共線(xiàn).如圖所示,的外心，垂心，重心分別為O、H、G，求證: O、H、G，共線(xiàn)證明:設(shè)D、E、F分別為中點(diǎn),連是三角形外心 ，是三角形垂心，.共線(xiàn).13.過(guò)半圓的直徑上一點(diǎn)C作，交半圓于，另一圓內(nèi)切半圓于，切于，求證：共線(xiàn)提示：依題意，圓圓。易證是下的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)共線(xiàn)14各是的邊的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是，又是的重心，求證：交于一點(diǎn)且三點(diǎn)共線(xiàn)證明：由于又是個(gè)位似變換所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)則為新位似變換的中心，共線(xiàn)15用仿射變換證明長(zhǎng)半軸為，短半軸為的橢圓的面積為.證明:在圓中令得長(zhǎng)半軸為，短半軸為的橢圓則.16證明不存在棱數(shù)為的多面體.證明：設(shè)多面體有個(gè)面最簡(jiǎn)單的多面體為四面體且有六條棱這多面體的面只能是三角形，否則棱數(shù)大于若多面體棱數(shù)為7，則多面體中，無(wú)整數(shù)解這樣的多面體不存在17在下列概念中，哪些屬于歐氏幾何？那些屬于仿射幾何?哪些屬于射影幾何？· 三角形，平行四邊形，菱形，矩形 · 直線(xiàn)，圓，拋物線(xiàn) · 三角形的高，中線(xiàn)，角平分線(xiàn) 解：(1)射影幾何:三角形；仿射幾何:平行四邊形 ；歐