專題：對勾函數(shù)

1、精心整理基本不等式與對勾函數(shù)對勾函數(shù)y = ax+b (a >0,b > 0)的圖像與性質(zhì) x1f(幻=ax + (a > 0, > 0) x當(dāng)西>jf苦)s力+ -2拈當(dāng)且僅 當(dāng)事再)-J工3r當(dāng)k < 口.= 八k)=(胃工* $ 工性質(zhì)：1 .定義域：(-,0)<j (0,z)2 .值域：(口,270b)u(2Jab,+=c)3 .奇偶性：奇函數(shù)，函數(shù)圖像整體呈 兩個(gè)“對勾”的形狀，且函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)呈中心對稱，即f(x) f(-x) =04 .圖像在一、三象限當(dāng)x>0時(shí)，由基本不等式知y=ax+b2(當(dāng)且僅當(dāng)x =、戶取等號)，即f(x)

2、在 x af(x)在x=d時(shí)，取最大值-磊b)減區(qū)間是(0,憑x= Jb時(shí),取最小值2<'ab由奇函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)x<0時(shí),5 .單調(diào)性：增區(qū)間為(；，+8),一、對勾函數(shù)的變形形式類型一：函數(shù)y =ax+b(a <0,b < 0)的圖像與性質(zhì)x此函數(shù)與對勾函數(shù)y =(-a)x匕口關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)圖像為x性質(zhì)：精心整理精心整理斜勾性質(zhì):a <0,b >0作圖如下:此類函數(shù)可變形為f(x)=ax +_ b ,y = ax (ab : 0) xa >0,b c0作圖如下ax2 bx c,f (x) (ac 0)xc+b,則f(x)可由對勾函數(shù)y

3、= ax+，上下平移得到 xx例1作函數(shù)f(x) = x2+x+1的草圖 x2.4解：f(x)=-=f (x) = x+1 作圖如下:xx類型四：函數(shù) f (x) = x +-a(a A0,k # 0)x k此類函數(shù)可變形為f(x)=(x + k+a)-k,則f(x)可由對勾函數(shù)y = x+'a左右平移，上 x kx下平移得到例2作函數(shù)f (x) =x +的草圖x -2.11解：f(x)=x + = f(x)=x2+2 作圖如下：x-2x -2例3作函數(shù)f(x) =*Q + x的作圖：x 2解： f (x)=-3 x = f (x)=-2-1 x = 1 1 x = x 2 1- -

4、1x 2x 2x 2x 2練習(xí)：1.求函數(shù)f (x) =x + 1在(2,收)上的最低點(diǎn)坐標(biāo)2x -42.求函數(shù)f(x)=x+上的單調(diào)區(qū)間及對稱中心x - 1類型五：函數(shù)f(x) = o/(a ¥0,b A0)x2 b此類函數(shù)定義域?yàn)镽,且可變形為f(x)=1=a_ x bb x xxa.若a>0,則f(x)的單調(diào)性和對勾函數(shù)y = x+B的單調(diào)性相反，圖像如下: x/11、(-a,a )2. b 2、b精心整理3 .奇偶性：奇函數(shù)，函數(shù)圖像整體呈兩個(gè)倒著的“對勾”的形狀，且函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)呈中心對稱，即f(x)f(-x)=04 .圖像在一、三象限當(dāng)x>0時(shí)，由基本不等式

5、知f(x)fr"六(當(dāng)且僅當(dāng)、=而取等號), 2J x即£屋)在* =而時(shí)，取最大值 由奇函數(shù)性質(zhì)知: 當(dāng)x<0時(shí)，”*)在乂=-此時(shí)，取最小值-a=2 b5 .單調(diào)性：減區(qū)間為(、；b,+8)，(-叱-Mb )增區(qū)間是-b, b例4作函數(shù)f(x)=巖的草圖解： f ( x) = - f (x)=2=x 1x 11 x xxb.若a M0,作出函數(shù)圖像：例5作函數(shù)f(x) = 匕的草圖x 42.類型六：函數(shù) f(x) = ax-bxc(a¥0) x m,.2,. xx此類函數(shù)可變形為 f (x) = a(x+m) +s(x+m)+t = a(x + m) +

6、_ + s(at >0), x mx m則f(x)可由對勾函數(shù)y=ax+L左右平移，上下平移得到 x2.4例6說明函數(shù)f(x) = -_土由對勾函數(shù)y = x十2如何變換而來x 1x， 、2 ，、 ，解：f(x)=(x 1)-(x F 1=x 11 -1x 1x 1故此函數(shù)f(x)可由對勾函數(shù)y=x+2向(填“左”、“右”)平移單位，向(填“上”、 x“下”)平移單位.草圖如下：2練習(xí)：1.已知x>-1,求函數(shù)f(x)=-7x)的最小值x 122.已知x<1,求函數(shù)f(x) = x FT0的最大值x -1.一. 一一x m類型七：函數(shù)f(x) = 1(a=0)ax bx c例

7、7求函數(shù)f (x) = 2 x T在區(qū)間(1戶)上的最大值x x 2解：當(dāng) x=1 時(shí)，"1)=0當(dāng)x,1時(shí),f (x):2(x-1)x -13(x -1) 4(x-1)2 3(x7) 4 x_1).3x -1x-1問：若區(qū)間改為4,")則f(x)的最大值為2. Oxz . Q練習(xí)：1.求函數(shù)f(x) = x2 2x 3在區(qū)間0*)上的最大值 x x 2類型八：函數(shù)f(x)=：X ,x a此類函數(shù)可變形為標(biāo)準(zhǔn)形式：f(x) =x a b-ax a b-a (b-a 0) x ax a例8求函數(shù)f (x)=的最小值x -1 4角軍：f(x), x -14=.x -1 ,x -1練習(xí)：1.求函數(shù)f(x)=415的值域2.求函數(shù)f(x)=T±2的值域x 3類型九：函數(shù)f(x)=-x3(a>0) ,x a此類函數(shù)可變形為標(biāo)準(zhǔn)形式：f(x)(Jx2 + a)2 +b - ax2 + a +-,b a (b - a > o).x2 a例9求函數(shù)f (x) = =的最小值Vx2 +42_解： f ( x) =' = f (x)=x2 4=Vx2 + 4+ . 1.x2 4練習(xí)：1.求函數(shù)f (x)=例10已知a >0,求函數(shù)y= x2 1 x2 17 x