八上培優(yōu)5半角模型

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔八上培優(yōu)5 半角模型 方法：截長補(bǔ)短圖形中，往往出現(xiàn) 90°套45°的情況，或者120°套60°的情況。還有2a套的情況。求證的結(jié)論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形。旋轉(zhuǎn)移位造全等，翻折分割構(gòu)全等。截長法，補(bǔ)短法。勤學(xué)早和新觀察均有專題。勤學(xué)早在第49頁，新觀察在第34頁，新觀察培優(yōu)也有涉及，在第27頁2兩個(gè)例題，29頁有習(xí)題。這些題大同小異，只是圖形略有變化而已。證明過程一般要證明兩次全等。下面是新觀察第 34頁14題1 .如圖，四邊形 ABCDh ZA=Z C=90 , /D=60 , AB=BC E、F,分別在

2、AD CD上，且/EBF=60° .求證：EF=AE+CF2 .如圖2,在上題中，若 E、F分別在AR DC的延長線上，其余條件不變，求證：AE=EF+CF3 .如圖，ZA=Z B=90° , CA=CB=4, ZACB=120 , E ECF=60 , AE=3, BF=2,求五邊形 ABCDE 的面積.4 .如圖1.在四邊形 ABCD43. AB=AD Z B+Z D=180f , E、F分別是邊 BC CD上的點(diǎn)，且/ BAD=2 /EAF.(1)求證：EF=BE+DF(2)在(1)問中，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) E、F分別運(yùn)動到BC CD延長線上時(shí)， 如圖

3、2所示，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.文案大全圖1圖23.如圖3,在四邊形 ABD什，/ B+/ 0=180 , DB=D，/BDC=12 0 ,以D為頂點(diǎn)作一個(gè) 60°的 角，角的兩邊分別交 AB AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.勤學(xué)早第40頁試題1 . (1)如圖，已知 AB= AC, /BAC=90 ,/ MAN=45 ,過點(diǎn) C作 NC LAC交 AN于點(diǎn) N過點(diǎn)B作BM 垂直 AB交AMT點(diǎn)M,當(dāng)/ MAN4/ BAC內(nèi)部時(shí)，求證： BM+CN =MN;證明：延長 MB 到點(diǎn) G 使 BG=C址接 AG 證 4AB竽

4、ACN(SAS)/. AN=AG/ BAG=,/NAC. L / GAM = GAB + / BAMN CAN+Z BAM=45 = L / MAN,證4 AM陣 AMG(SAS), ' ： MN= MG= BM + BG= BM NC.證明二：(此證明方法見新觀察培優(yōu)第27頁例3)(2)如圖，在的條件下，當(dāng) AMB AN在AB兩側(cè)時(shí)，的結(jié)論是否成立？請說明理由 基本模型二 120 °套60 °解：不成立，結(jié)論是：MN=CNH BM, 證明略.2 .如圖， ABC中,CA=CB,/ACB=120 ,E 為 AB上一點(diǎn)，/ DCE=60，/DAE= 120°

5、 , 求證：DE=BE證明：（補(bǔ)短法）延長EB至點(diǎn)F,使BF=AD連接CFS CB除 CAD CEN CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如圖， ABC中,CA=CB,/ ACB=120 求證：AD+DE= BE.，點(diǎn) E 為 AB上一點(diǎn)，/ DCE=/ DAE= 60° ,證明：（截長法）在BE上截取BF=AD連接CF,易證 CB陣 CAED CED ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比較：新觀察培優(yōu)版 27頁例4如 圖， ABC是邊長為1的等邊三角形， BDC是頂角，/ BDC= 120°的等腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個(gè) 60&#

6、176;角，角的兩邊分別交 AR AC于M N,連ZMN,試求 AMN勺周長.分析：由于/ MDN=60 , /BDC=120 ,所以/ BDM/ CDN=60 ,注意至U DB=DC考慮運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)法”將/ BDM和/ CDN移到一起，尋找全等三角形。另一方面,AMN的周長 AM+AN + MN= AB+AC+MN-BM- CN.猜想MN= BM+CNE三角形全等解決.新觀察培優(yōu)68頁 例5 如圖， 點(diǎn)A B(2,0)在x軸上原點(diǎn)兩側(cè)，C在y軸正半軸上，OC平分/ ACB.求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1, AQ 在/ CAB內(nèi)部，P是AQ上一點(diǎn)， 滿足/ ACB= AQB,AP=BQ試判斷 CPQ勺

7、形狀, 并予以證明；如圖2. BDLBC交y軸負(fù)半軸于 D. / BDO=60 , F為線段 AC上一動點(diǎn)，E在CB延長線上， 滿足/ CFD吆E=180° .當(dāng)F在AC上移動時(shí)，結(jié)論：CE+CF直不變；CE- CF值不變，其中只 有一個(gè)正確結(jié)論，請選出正確結(jié)論并求其值 分析:(1)由/ A08 BOC導(dǎo) AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由 AC國 BCQ導(dǎo) CP=CQ.(3)由BD± BC,Z BDO=60 ,可證得等邊 ABC.由角平分線和 DBBC的條件，運(yùn)用對稱性知 DA ± AC,連結(jié) DA,力口上條件/ CFD吆 E=180° ,

8、可證得 ADF三 BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三2 a °套o(hù)t14.(1)如圖1,在四邊形 ABC前，AB=AD,/ B+/ D=180 , E,F 分別是BC,CDk的點(diǎn)，且/ EAF三 2/ BAD,求證:EF= BE+ DF;(2)如圖2,在(1)的條件下，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E,F分別運(yùn)動到BC,CD延長線上時(shí)，貝U EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是 EF=BE- DFG解:(1)EF=BE+DF,延長 FD到點(diǎn) G,使 DG=BE連接 AG,證 ABEAADG (SAS), . ：AE = AG,，_1/ BAE方 DAG &#

9、39;'/ EA / BAD, 2：/ GAF= DAG+ DAF= BAE+ DAF BAD- / EAF= / EAF, ： / 'EAF= / GAF, 證AAEFGAF(SAS),.： EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;EF=BE DF.外地試題:4.探究：如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCM邊BC CD上，/ EAF=45 ,連ZEF,求證：EF=BE+DF1應(yīng)用：如圖，在四邊形 ABCD4點(diǎn)E、F分別在 BG CD上,AB=AD / B+Z D=90 , / EAFj2/BAD 若 EF=3, BE=2 貝U df=.D圄 圖5.

10、通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的.下面是一個(gè)案例，請補(bǔ) 充完整.原題：如圖1,點(diǎn)E、F分另I在正方形 ABCD勺邊BC CD上，/ EAF=45 ,連接EF,求證：EF=BE+DF (1)思路梳理,AB=AD，把 ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至 ADG可使AB與AD重合. /ADGh B=90° , . FDGW ADG吆 ADC=180 ,則點(diǎn) F、D> G共線.根據(jù),易證 AFG,從而得 EF=BE+DF(2)類比引申如圖 2,四邊形 ABCM, AB=AD / BAD=90 點(diǎn) E、F 分別在邊 BG CD上，/ EAF=45 .若/

11、 B、/D都不是直角，但當(dāng)/ B與/ D滿足等量關(guān)系 時(shí)，仍有EF=BE+DF請給出證明； (3)聯(lián)想拓展如圖 3,在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 點(diǎn) 0 E均在邊 BC上，且/ DAE=45 ,彳#想 BQ DE EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程.7. (1)如圖1,在四邊形 ABCD, AB=AD Z B=Z D=90° , E、F分別是邊 BG CD上的點(diǎn)，且AE=AF/EAF=1/BAD現(xiàn)有三種添加輔助線的方式：延長 EB至G,使BG=BE連接 AG延長 FD2至G,使DG=BE連接AG;過點(diǎn)A作AGL EF,垂足為G;選擇其中一種方法添加輔助線，求證：E

12、F=BE+FD(2)如圖 2,在四邊形 ABCD, AB=AD 若/ B+/ D=180° , / EAF=1 / BAD 證明(1)中結(jié)論2是否還成立？(3)如圖3,在四邊形 ABCD43, AB=AD Z B+Z ADC=180 , E、F分別是邊 BC CD延長線上的點(diǎn)，且/ EAF=L/BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間2的數(shù)量關(guān)系，并證明.8. (1)如圖1,在四邊形 ABCM, AB=AD / B=Z D=90° , E、F分別是邊 BG CD上的點(diǎn)，且/_ _ 1EAF=/BAD 求證：EF=BE+FD21(2)如圖2

13、,在四邊形 ABCM, AB=AD / B+Z D=180 , E、F分別是邊 BG CD上的點(diǎn)，且/ EAF2/BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(3)如圖3,在四邊形 ABCD43, AB=AD Z B+Z ADC=180 , E、F分別是邊 BC CD延長線上的點(diǎn)，-1且/ EAF=- Z BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、2BE FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.半角模型問題放到平面直角坐標(biāo)系中是什么樣子?1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中， AO昉等腰直角三角形，A

14、 (4, 4)7ffil圖2圖3(1)求B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖2,若C為x正半軸上一動點(diǎn)， 以AC為直角邊作等腰直角 ACD Z ACD=90 ,連接OD 求/ AOD勺度數(shù)；(3)如圖3,過點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于E, F為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長線上，以 EG為直角邊作等腰 RtEGH過A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M連FM等式AM=FM+OF否成立？若 成立，請說明；若不成立，說明理由.解：(1)如圖所示，作 AE± OB于E,-A (4, 4),.OE=4,. AOB為等腰直角三角形，且 AE± OB.OE=EB=4.OB=8.B (8, 0);(2)如圖所示，作 A

15、E! OB于E, DF±OB于F, . ACD為等腰直角三角形，.AC=DC / ACD=90即/ACF+Z DCF=90 , / FDC+ DCF=90 , / ACF=/ FDC又 / DFChAEC=90 ,.DFe ACEA (AAS ,EC=DF=4 FC=AEA (4, 4),AE=OE=4FC=OE 即 OF+EF=CE+EFOF=CEOF=DF/ DOF=45 ,. AOB為等腰直角三角形，/ AOB=45 ,/ AOD= AOB+Z DOF=90 ;(3) AM=FM+O成立，理由：如圖所示，在 AM AE=OE=4上截取 AN=OF 連 EN又. / EANh E

16、OF=9O , AN=OF.A (4, 4),EAh EOF (SAS,又 EM=EM.NE曄 FEM (SAS ,MN=MFAM-MF=AM-MN=AN AM-MF=O F即 AM=FM+QF/OEF4 AEN EF=EN 又 EG陰等腰直角三角形，GEH=45 ,即/ OEF-+Z OEM=45 , ./ AEN4Z OEM=45 又. / AEO=90 , ./ NEM=45 =/ FEM【點(diǎn)評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的綜 合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.2.如圖，直線 L交x軸、y軸分別

17、于 A、B兩點(diǎn)，A (a, 0) B (0, b),且(a-b ) 2+|b-4|=0(1)求A B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2) C為線段AB上一點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 3, P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足/ OCP=45 ,求P 點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，過 B作BD± OC交OC OA分別于 F D兩點(diǎn)，E為OA上一點(diǎn)，且/ CEA= ZBDQ試判斷線段 OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(1)解：: ( a-b) 2+|b-4|=0 , a-b=0 , b-4=0 ,a=4, b=4,A (4, 0), B (0, 4);(2)3.如圖，已知 A (a, b), AB，y 軸于 B,且?t

18、足 |a-2|+(b-2) 2=0,(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1,分別以AB, AO為邊作等邊三角形 ABC和 AOD試判定線段 AC和DC的數(shù)量關(guān)系 和位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2,過A作A已x軸于E,點(diǎn)F、G分別為線段 OE AE上兩個(gè)動點(diǎn)，滿足/ FBG=45 , 試探究OF-AG的值是否發(fā)生變化?如果不變，求其值；如果變化，請說明理由.FG2017-2018江漢期中 如圖點(diǎn) P為 ABC的外角/ BCD的平分線上一點(diǎn)， PA=PB(1)求證：/ PAC=/ PBC(2)作 PE! BC于 E,若 AC=5 BC=11,求 S；A PCE SA PBE(3)若M N分別是邊 AG

19、 BC上的點(diǎn)，且/ MPN/APR則線段 AM MN BN之間有何數(shù)量關(guān)2系，并說明理由. PC平分/ DCB，PE=PF在 RtPAF和 RtPEB中, PF PEPA= PB.-.RtAPAF RtAPEB / PAC4 PBC(2)如圖2,過點(diǎn) P作PF，AC于F,-. PE± BC, CP是/ BCD勺平分線, PE=PF / PCF=/ PCE PC=PC. PC障 PCE.CF=CE由(1)知，RtPA陣 RtAPEB .AF=BE. AC+CF=BC-C E. 5+CF=11-CE. CE=CF=3 PFe PEC S PFC=SPEC) Rt PAF RtAPEB S

20、paf=SPEB).S PCE： SPBE-SaPFC； SPFA1 =CFX PF: ACX PF2 2=CF: AC=3: (3+5) =3: 8;(3)如圖3,在BC上截取 BQ=AM 在 PMA PQB 中，PA= PB</PAM =NPBQMA= BQ, . PMA PQBPM=PQ / MPA=QPB / APM廿 QPA=Z APQ吆 QPB即：/ APB=/ MPQ，一 1 ， 一. / MPN> / APB2，一 1 ，一 ./ MPN> / MPQ2 ./ MPN= QPN. AF=AC+CF BE=BC-CE在 MPN 4QPC 中,fPN = PNI&

21、lt;/MPN = NQPNMP = QP, . MPN2 QPC .MN=QNSV ABFSV ACFBN=AM+M N【點(diǎn)評】此題是三角形綜合題，主要考查了全 等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理和角平 分線的定義，解（1）的關(guān)鍵是判斷出 PE=PF 解（2）的關(guān)鍵是求出 CE=CF=3解（3）的關(guān) 鍵是構(gòu)造全等三角形判斷出/APB=/ MPQ是一道中等難度的中考?？碱}.2015-2016江岸八上期末 已知在 ABC中，AB=AC射線BM BN在/ ABC內(nèi)部，分別交線段 AC于 點(diǎn)G H.（1）如圖 1,若/ ABC=60、/ MBN=30 ,作 AE± BN于點(diǎn) D,分另交 B

22、G BMT點(diǎn) E、F.求證：CE=AG若BF=2AF連接CF,求/ CFE的度數(shù)；（2）如圖2,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AE交BM于點(diǎn)F,連接 CF,若/ BFE=/ BAC=2 CFE,直接寫出【分析】（1）由AB=AC Z ABC=60得到 ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/ BAC= /ACB=60 , AB=CA 求彳導(dǎo)/ BFD4AFG=60 ,推出/ EAC= GBA證得 GB& EAC 根據(jù)全等三 角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖1,取BF的中點(diǎn)K連接AK,由BF=2AF推出 FAK是等腰三角一 _1 . _形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/FAK=/ FKA,求得/ AKF= - / BF4 30 ,根據(jù)全等三角2形的性質(zhì)得到 AG=CE BG=AE /AGBWAEC推出 GA右 EFC根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/CFE=Z AKF即可得至ij結(jié)論；（2）如圖2,在BF上取BK=AF連接AK,推出/ EACW FBA根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S-abk=Saacf, /AKBW AFG證得 FAK是等腰三角形, 【解答】解：（1）.一AB=AC / ABC=60 .ABC為等邊三角形，貝U/ BAC4 ACB=60 , AB=C