高考圓錐曲線與不等式(教師已編輯)

1、高考圓錐曲線中的熱點問題考情解讀：1. 本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長、定點、定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度較大.2.求軌跡方程也是高考的熱點與重點，若在客觀題中出現(xiàn)通常用定義法，若在解答題中出現(xiàn)一般用直接法、代入法、參數(shù)法或待定系數(shù)法，往往出現(xiàn)在解答題的第(1)問中1直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與橢圓的位置關系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程若>0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若<0，則直線與橢圓相離(2)直線與雙曲線的位置關系的判定方法：將直線方程與

2、雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，當>0時，直線與雙曲線相交；當0時，直線與雙曲線相切；當<0時，直線與雙曲線相離若a0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點(3)直線與拋物線的位置關系的判定方法：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0(或ay2byc0)當a0時，用判定，方法同上當a0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點2有關弦長問題有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交

3、于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|與|y2y1|時通常使用根與系數(shù)的關系，即作如下變形：|x2x1|，|y2y1|.(2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)3弦的中點問題有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算4軌跡方程問題(1)求軌跡方程的基本步驟：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設出軌跡上任一點的坐標解析法(坐標法)尋找動點與已知點滿足的關系式幾何關系將動點與已知點的坐標代入幾何關系代數(shù)化化簡整理方程簡化證明所得方程為所求的軌跡方程完成其充要性(2)求軌跡

4、方程的常用方法：直接法：將幾何關系直接翻譯成代數(shù)方程；定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程；代入法：把所求動點的坐標與已知動點的坐標建立聯(lián)系；交軌法：寫出兩條動直線的方程直接消參，求得兩條動直線交點的軌跡；(3)注意建系要符合最優(yōu)化原則；求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數(shù)表達式步驟省略后，驗證時常用途徑：化簡是否同解變形，是否滿足題意，驗證特殊點是否成立等.熱點一圓錐曲線中的范圍、最值問題例1(2013·浙江)如圖，點P(0，1)是橢圓C1：1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2y24的直徑l1，l2是

5、過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時直線l1的方程思維啟迪(1)P點是橢圓上頂點，圓C2的直徑等于橢圓長軸長；(2)設直線l1的斜率為k，將ABD的面積表示為關于k的函數(shù)解(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓C2：x2y24，故點O到直線l1的距離d，所以|AB|22.又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.

6、所以|PD|.設ABD的面積為S，則S|AB|·|PD|，所以S，當且僅當k±時取等號所以所求直線l1的方程為y±x1.思維升華求最值及參數(shù)范圍的方法有兩種：根據(jù)題目給出的已知條件或圖形特征列出一個關于參數(shù)的函數(shù)關系式，將其代入由題目列出的不等式(即為消元)，然后求解不等式；由題目條件和結(jié)論建立目標函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域已知橢圓C的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點P(1，)(1)求橢圓C的標準方程；(2)線段PQ是橢圓過點F2的弦，且，求PF1Q內(nèi)切圓面積最大時實數(shù)的值解(1)e，P(1，)滿足1，又a2b2c2，a24，b23，橢圓

7、標準方程為1.(2)顯然直線PQ不與x軸重合，當直線PQ與x軸垂直時，|PQ|3，|F1F2|2，SPF1Q3；當直線PQ不與x軸垂直時，設直線PQ：yk(x1)，k0代入橢圓C的標準方程，整理，得(34k2)y26ky9k20，>0，y1y2，y1·y2.SPF1Q×|F1F2|×|y1y2|12，令t34k2，t>3，k2，SPF1Q3，0<<，SPF1Q(0,3)，當直線PQ與x軸垂直時SPF1Q最大，且最大面積為3.設PF1Q內(nèi)切圓半徑為r，則SPF1Q(|PF1|QF1|PQ|)·r4r3.即rmax，此時直線PQ與x軸

8、垂直，PF1Q內(nèi)切圓面積最大，1.熱點二圓錐曲線中的定值、定點問題例2(2013·陜西)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點B(1,0)，設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明：直線l過定點思維啟迪(1)設動圓圓心坐標，利用圓的半徑、半弦長和弦心距組成的直角三角形求解；(2)設直線方程ykxb，將其和軌跡C的方程聯(lián)立，再設兩個交點坐標，由題意知直線BP和BQ的斜率互為相反數(shù)，推出k和b的關系，最后證明直線過定點(1)解如圖，設動圓圓心為O1(x，y)，由題意，得|O1A|O1

9、M|，當O1不在y軸上時，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點，|O1M|，又|O1A|，化簡得y28x(x0)又當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標為(0,0)也滿足方程y28x，動圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明如圖由題意，設直線l的方程為ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb64>0.由根與系數(shù)的關系得，x1x2，x1x2，x軸是PBQ的角平分線，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0將代

10、入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此時>0，直線l的方程為yk(x1)，即直線l過定點(1,0)思維升華(1)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關在這類試題中選擇消元的方向是非常關鍵的(2)由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：yy0k(xx0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過定點(0，m)已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x28y的焦點(1)求橢圓C的方程；(2)已知點P(2,3)，Q(2，3)在橢圓上，點A、

11、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足APQBPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由解(1)設橢圓C的方程為1(a>b>0)，則b2.由，a2c2b2，得a4，橢圓C的方程為1.(2)當APQBPQ時，PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為k，PA的直線方程為y3k(x2)，由整理得(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480，x12，同理PB的直線方程為y3k(x2)，可得x22.x1x2，x1x2，kAB，直線AB的斜率為定值.熱點三圓錐曲線中的探索性問題例3已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線

12、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：x324y204(1)求C1，C2的標準方程；(2)是否存在直線l滿足條件：過C2的焦點F；與C1交于不同的兩點M，N，且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由思維啟迪(1)比較橢圓及拋物線方程可知，C2的方程易求，確定其上兩點，剩余兩點，利用待定系數(shù)法求C1方程.(2) 聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化已知條件進行求解.解(1)設拋物線C2：y22px(p0)，則有2p(x0)，據(jù)此驗證四個點知(3，2)，(4，4)在C2上，易求得C2的標準方程為y24x.設橢圓C1：1(a>b>0)，把點(2,0)，(，)代入得，解得，所以C1的標準方程為y21.

13、(2)容易驗證當直線l的斜率不存在時，不滿足題意當直線l的斜率存在時，設其方程為yk(x1)，與C1的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21.由，即·0，得x1x2y1y20.(*)將代入(*)式，得0，解得k±2，所以存在直線l滿足條件，且直線l的方程為2xy20或2xy20.思維升華解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關題型解決問題的一般策略是先假設結(jié)論成立，然后進行演繹推理或?qū)С雒?，即可否定假設或推出

14、合理結(jié)論，驗證后肯定結(jié)論，對于“存在”或“不存在”的問題，直接用條件證明或采用反證法證明解答時，不但需要熟練掌握圓錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、判別式等知識，還要具備較強的審題能力、邏輯思維能力以及運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題的能力如圖，拋物線C：y22px的焦點為F，拋物線上一定點Q(1,2)(1)求拋物線C的方程及準線l的方程(2)過焦點F的直線(不經(jīng)過Q點)與拋物線交于A，B兩點，與準線l交于點M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，k3，問是否存在常數(shù)，使得k1k2k3成立，若存在，求出的值；若不存在，說明理由解(1)把Q(1,2)代入y22px，得2p4，所以拋物線

15、方程為y24x，準線l的方程：x1.(2)由條件可設直線AB的方程為yk(x1)，k0.由拋物線準線l：x1，可知M(1，2k)又Q(1,2)，所以k3k1，即k3k1.把直線AB的方程yk(x1)，代入拋物線方程y24x，并整理，可得k2x22(k22)xk20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關系，知x1x2，x1x21.又Q(1,2)，則k1，k2.因為A，F(xiàn)，B共線，所以kAFkBFk，即k.所以k1k22k2k2，即k1k22k2.又k3k1，可得k1k22k3.即存在常數(shù)2，使得k1k2k3成立1圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能

16、明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：利用判別式來構(gòu)造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關系；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍2定點、定值問題的處理方法定值包括幾何量的定值或曲線過定點等問題，處理時可以直接推理求出定值，也可以先通過特定位置猜測結(jié)論后進行

17、一般性證明對于客觀題，通過特殊值法探求定點、定值能達到事半功倍的效果3探索性問題的解法探索是否存在的問題，一般是先假設存在，然后尋找理由去確定結(jié)論，如果真的存在，則可以得出相應存在的結(jié)論；若不存在，則會由條件得出矛盾，再下結(jié)論不存在即可.真題感悟(2014·北京)已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y2上，且OAOB，試判斷直線AB與圓x2y22的位置關系，并證明你的結(jié)論解(1)由題意，得橢圓C的標準方程為1，所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)直線AB與圓x2y22相切證明如下：

18、設點A，B的坐標分別為(x0，y0)，(t,2)，其中x00.因為OAOB，所以·0，即tx02y00，解得t.當x0t時，y0，代入橢圓C的方程，得t±，故直線AB的方程為x±，圓心O到直線AB的距離d.此時直線AB與圓x2y22相切當x0t時，直線AB的方程為y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圓心O到直線AB的距離d.又x2y4，t，故d.此時直線AB與圓x2y22相切押題精練已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且EGF2的周長為4.(1)求橢圓C的方程；(

19、2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足t(O為坐標原點)，當|<時，求實數(shù)t的取值范圍解(1)由題意知橢圓的離心率e，e2，即a22b2.又EGF2的周長為4，即4a4，a22，b21.橢圓C的方程為y21.(2)由題意知直線AB的斜率存在，即t0.設直線AB的方程為yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由得(12k2)x28k2x8k220.由64k44(2k21)(8k22)>0，得k2<.x1x2，x1x2，t，(x1x2，y1y2)t(x，y)，x，yk(x1x2)4k.點P在橢圓C上，22，16k2t

20、2(12k2)|<，|x1x2|<，(1k2)(x1x2)24x1x2<，(1k2)4·<，(4k21)(14k213)>0，k2>.<k2<.16k2t2(12k2)，t28，又<12k2<2，<t28<4，2<t<或<t<2，實數(shù)t的取值范圍為(2，)(，2)(推薦時間：50分鐘)一、選擇題1已知點M與雙曲線1的左、右焦點的距離之比為23，則點M的軌跡方程為()Ax2y226x250Bx2y216x810Cx2y226x250Dx2y216x810答案C解析設點M(x，y)，F(xiàn)1(5,

21、0)，F(xiàn)2(5,0)，則由題意得，將坐標代入，得，化簡，得x2y226x250.2已知橢圓E的左、右焦點分別為F1、F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點，若PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()A. B.C. D.答案A解析由題意可知，F(xiàn)1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根據(jù)勾股定理得22(2c)2，所以離心率e.3已知拋物線y28x的焦點F到雙曲線C：1(a>0，b>0)漸近線的距離為，點P是拋物線y28x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F1(0，c)的距離與到直線x2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線

22、的方程為()A.1 By21C.x21 D.1答案C解析由題意得，拋物線y28x的焦點F(2,0)，雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為axby0，拋物線y28x的焦點F到雙曲線C：1(a>0，b>0)漸近線的距離為，a2b.P到雙曲線C的上焦點F1(0，c)的距離與到直線x2的距離之和的最小值為3，|FF1|3，c249，c，c2a2b2，a2b，a2，b1.雙曲線的方程為x21，故選C.4若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為()A2 B3 C6 D8答案C解析設P(x0，y0)，則1，即y3，又因為F

23、(1,0)，所以·x0·(x01)yxx03(x02)22，又x02,2，即·2,6，所以(·)max6.5設M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線的準線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析依題意得F(0,2)，準線方程為y2，又以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線的準線相交，且|FM|y02|，|FM|>4，即|y02|>4，又y00，y0>2.6已知雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1(c,0)，F(xiàn)2

24、(c,0)，若雙曲線上存在點P滿足，則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A(1，1) B(1，)C(，) D(1，)答案A解析根據(jù)正弦定理得，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|.因為e>1，所以|PF1|>|PF2|，點P在雙曲線的右支上又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|(e1)2a，解得|PF2|，因為|PF2|>ca，所以>ca，即>e1，即(e1)2<2，解得1<e<1.又e>1，所以e(1，1)，故選A.二、填空題7直線ykx1與橢圓1恒有公共點，則m的取值范圍是_答案m1且m5解析方程1表示橢圓，m>0

25、且m5.直線ykx1恒過(0,1)點，要使直線與橢圓總有公共點，應有：1，m1，m的取值范圍是m1且m5.8在直線y2上任取一點Q，過Q作拋物線x24y的切線，切點分別為A、B，則直線AB恒過定點_答案(0,2)解析設Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點A處的切線方程為yy1x1(xx1)，化簡得，yx1xy1，同理，在點B處的切線方程為yx2xy2.又點Q(t，2)的坐標滿足這兩個方程，代入得：2x1ty1，2x2ty2，則說明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程2xty，即直線AB的方程為：y2tx，因此直線AB恒過定點(0,2)9

26、(2014·遼寧)已知橢圓C：1，點M與C的焦點不重合若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|BN|_.答案12解析橢圓1中，a3.如圖，設MN的中點為D，則|DF1|DF2|2a6.D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.10(2013·安徽)已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點若該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_答案1，)解析以AB為直徑的圓的方程為x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知

27、解得a1.三、解答題11.如圖所示，橢圓C1：1(a>b>0)的離心率為，x軸被曲線C2：yx2b截得的線段長等于C1的短軸長C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E.(1)求C1，C2的方程；(2)求證：MAMB；(3)記MAB，MDE的面積分別為S1，S2，若，求的取值范圍(1)解由題意，知，所以a22b2.又22b，得b1.所以曲線C2的方程yx21，橢圓C1的方程y21.(2)證明設直線AB：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知M(0，1)則x2kx10，·(x1，y11)·

28、(x2，y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210，所以MAMB.(3)解設直線MA：yk1x1，MB：yk2x1，k1k21，M(0，1)，由解得或所以A(k1，k1)同理，可得B(k2，k1)故S1|MA|·|MB|·|k1|k2|.由解得或所以D(，)同理，可得E(，)故S2|MD|·|ME|·，則的取值范圍是，)12已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的焦距為2，其一條漸近線的傾斜角為，且tan .以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E.(1)求橢圓E的方程；(2)設點A是橢圓E的左頂點，P、Q為橢圓E上異于點

29、A的兩動點，若直線AP、AQ的斜率之積為，問直線PQ是否恒過定點？若恒過定點，求出該點坐標；若不恒過定點，說明理由解(1)雙曲線1的焦距2c2，則c，a2b27.漸近線方程y±x，由題意知tan .由得a24，b23，所以橢圓E的方程為1.(2)在(1)的條件下，當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為ykxm，由，消去y得(34k2)x28kmx4m2120.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2，又A(2,0)，由題意知kAP·kAQ·，則(x12)(x22)4y1y20，且x1x22.則x1x22(x1x2)44(kx1m)(kx2m)

30、(14k2)x1x2(24km)(x1x2)4m240.則m2km2k20.(m2k)(mk)0.m2k或mk.當m2k時，直線PQ的方程是ykx2k.此時直線PQ過定點(2,0)，顯然不符合題意當mk時，直線PQ的方程為ykxk，此時直線PQ過定點(1,0)當直線PQ的斜率不存在時，若直線PQ過定點，P，Q點的坐標分別是(1，)，(1，)，滿足kAP·kAQ.綜上，直線PQ恒過定點(1,0) 高考不等式專題1、【高考陜西文15】（不等式選做題）若存在實數(shù)使成立，則實數(shù)的取值范圍是 .2.【2012高考遼寧文24】(本小題滿分10分)選修45：不等式選講 已知，不等式的解集為-2。 ()求a的值； (