高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)58《圓錐曲線的綜合問(wèn)題》(教師版)

1、課時(shí)作業(yè)58圓錐曲線的綜合問(wèn)題1(2019·河北石家莊一模)傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)F，與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且A2 F，則該橢圓的離心率為(B)A. BC. D解析：由題可知，直線的方程為yxc，與橢圓方程聯(lián)立得(b2a2)y22b2cyb40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又A2 F，(cx1，y1)2(x2c，y2)，y12y2，可得，e，故選B.2(2019·河北七校聯(lián)考)如圖，由拋物線y28x與圓E：(x2)2y29的實(shí)線部分構(gòu)成圖形，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線始終與圓形中的拋物線部分及圓部分有交點(diǎn)，則|AB|的取值范圍為(D)A2,3 B

2、3,4C4,5 D5,6解析：由題意可知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F(2,0)，圓(x2)2y29的圓心為E(2,0)，因此點(diǎn)P，F(xiàn)，E三點(diǎn)重合，所以|PA|3.設(shè)B(x0，y0)，則由拋物線的定義可知|PB|x02，由得(x2)28x9，整理得x24x50，解得x11，x25(舍去)，設(shè)圓E與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，所以xCxD1，因此0x01，又|AB|AP|BP|3x02x05，所以|AB|x055,6，故選D.3已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為(A)A. BC3 D2解析：解法一：設(shè)橢圓方程為1(a1b10

3、)，離心率為e1，雙曲線的方程為1(a20，b20)，離心率為e2，它們的焦距為2c，不妨設(shè)P為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左，右焦點(diǎn)，則易知解得在F1PF2中，由余弦定理得(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)·(a1a2)cos 60°4c2，整理得a3a4c2，所以4，即4.設(shè)a，b，a·b|a|·|b|××，故的最大值是，故選A.解法二：不妨設(shè)P在第一象限，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理得m2n2mn4c2.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，離心率為e1，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2，離心率為e2，它們

4、的焦距為2c，則.2，易知21的最小值為.故max.故選A.4(2019·貴陽(yáng)模擬)已知雙曲線x2y21的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，動(dòng)直線l：ykxm與圓x2y21相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x2x1的最小值為(A)A2 B2C4 D3解析：直線l與圓相切，原點(diǎn)到直線的距離d1，m21k2.由得(1k2)x22mkx(m21)0，k21，1k1，由于x1x2，x2x1，0k21，當(dāng)k20時(shí)，x2x1 取最小值2，故選A.5(2019·河南鄭州一模)如圖，已知拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)(2,4)，圓C

5、2：x2y24x30，過(guò)圓心C2的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則|PN|4|QM|的最小值為(A)A23 B42C12 D52解析：由題意可設(shè)拋物線C1的方程為y22px(p0)，因?yàn)閽佄锞€C1過(guò)點(diǎn)(2,4)，所以162p×2，得p4，所以y28x.圓C2：x2y24x30，整理得(x2)2y21，可得圓心C2(2,0)恰好是拋物線y28x的焦點(diǎn)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x2，所以P(2,4)，Q(2，4)，所以|PN|4|QM|PC2|C2N|4|QC2|4|C2M|PC2|4|QC2|544×4525.當(dāng)直線l的斜

6、率存在且不為零時(shí)，可設(shè)l的方程為yk(x2)，聯(lián)立可得k2(x2)28x，整理得k2x2(4k28)x4k20，0，則x1x24，故x2，所以|PN|4|QM|PC2|4|QC2|5x14x24×5x14x215x11521581523.因?yàn)?325，所以|PN|4|QM|的最小值為23.故選A.6(2018·浙江卷)已知點(diǎn)P(0,1)，橢圓y2m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足2，則當(dāng)m5時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大解析：本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)的最值設(shè)B(t，u)，由A2 P，易得A(2t,32u)點(diǎn)A，B都在橢圓上，從而有3u212u90，即u

7、24u3.即有4u3mu，m，t2m2m(m5)24.當(dāng)m5時(shí)，(t2)max4，即|t|max2，即當(dāng)m5時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大7(2019·合肥模擬)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn)，則O·F的最小值為6.解析：點(diǎn)P為橢圓1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P(x，y)(3x3，2y2)，依題意得左焦點(diǎn)F(1,0)，O(x，y)，F(xiàn)(x1，y)，O·Fx(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即6O·F12，故最小值為6.8(2019·河北百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：x28y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l1，直線l2與拋物線

8、C相切于點(diǎn)P，記點(diǎn)P到直線l1的距離為d1，點(diǎn)F到直線l2的距離為d2，則的最大值為.解析：依題意，得點(diǎn)F(0,2)，因?yàn)閥，所以y，設(shè)P(x0，y0)，則直線l2：yy0(xx0)，即xyy00，故點(diǎn)F到直線l2的距離d2·，又點(diǎn)P到直線l1的距離d1|PF|y02，所以×××，當(dāng)且僅當(dāng)，即y00時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為.9(2018·北京卷)已知拋物線C：y22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，求證：

9、為定值解：(1)因?yàn)閽佄锞€y22px過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以2p4，即p2.故拋物線C的方程為y24x，由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24×k2×10，解得k0或0k1.又PA，PB與y軸相交，故直線l不過(guò)點(diǎn)(1，2)從而k3.所以直線l斜率的取值范圍是(，3)(3,0)(0,1)(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2.直線PA的方程為y2(x1)令x0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM22.同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN2.由Q Q，Q Q得1yM，1yN.所以·

10、;·2.所以為定值10(2016·全國(guó)卷)已知橢圓E：1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)t4，|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，求k的取值范圍解：(1)設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y10.當(dāng)t4時(shí)，E的方程為1，A(2,0)由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，直線AM的傾斜角為.由此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2×××.(2)由題意知，t3，k0，A(，0)將直線AM的方程yk(x)

11、代入1得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0.由x1·()得x1，故|AM|x1|.由題設(shè)知，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)當(dāng)k時(shí)上式不成立，因此t.t3等價(jià)于0，即0.由此得或解得k2.因此k的取值范圍是(，2)11已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由解：(1)證明

12、：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k9.所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值(2)四邊形OAPB能為平行四邊形因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k3.由(1)得OM的方程為yx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xp.由得x，即xp.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入l的方程得b，因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xp2xM.于是2×，解得k14，k24.因?yàn)閗i0

13、，ki3，i1,2，所以當(dāng)l的斜率為4或4時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形12(2019·濰坊模擬)已知橢圓C：1(ab0)上動(dòng)點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，直線PF1恰與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓C的離心率e為半徑的圓相切(1)求橢圓C的方程(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，若PA，PB交直線x6于不同的兩點(diǎn)M，N.問(wèn)以線段MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)由橢圓的定義可知2a4，a2，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，直線PF1與圓一定相交，故點(diǎn)P只能在橢圓的上、下頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)(0，b

14、)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)(c,0)，則直線PF1：bxcybc0，由題意得原點(diǎn)O到直線PF1的距離等于橢圓C的離心率e，所以，所以c23b2，又a2b2c2，所以b1，故橢圓C的方程為y21.(2)由題意知直線PA，PB的斜率存在且都不為0.設(shè)kPAk，點(diǎn)P(x0，y0)，x0±2，又A(2,0)，B(2,0)，所以kPA·kPB·，得kPB，直線PA的方程為yk(x2)，令x6，得y8k，故M(6,8k)；直線PB的方程為y(x2)，令x6，得y，故N(6，)因?yàn)閥M·yN8k·()8<0，所以以線段MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)，設(shè)為G，H，并

15、設(shè)MN與x軸的交點(diǎn)為K，在以線段MN為直徑的圓中應(yīng)用相交弦定理得，|GK|·|HK|MK|·|NK|8k|·|8，因?yàn)閨GK|HK|，所以|GK|HK|2，從而以線段MN為直徑的圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)G(62，0)，H(62，0)13已知拋物線C1：x24y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2.(1)求C2的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且A與B同向()若|AC|BD|，求直線l的斜率；()設(shè)C1在點(diǎn)A處的切線與x軸的交點(diǎn)為M，證明：直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，MFD總是鈍角三角形解：(1)由C1：x24y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2b21.又C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2，C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且C1的方程為x24y，由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以1.聯(lián)立，得a29，b28.故C2的方程為1.(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)()因A與B同向，且|AC|BD|，所以AB，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是這個(gè)方程的兩根，所以x