圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一般方程 參數(shù)方程

1、7.6圓的方程（1）教學(xué)目的：1、使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)圓心、半徑準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑2、能根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法、定義法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3、能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實(shí)際問題一、復(fù)習(xí)引入：1、具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡是圓？（圓的定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡稱為圓）2、求曲線方程的一般步驟為：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合；(可以省略，直接列出曲線方程)（3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程;（4）化方程為最簡形式；（5）證明以化簡后的方程的解為坐

2、標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) (可以省略不寫,如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說明)二、講解新課：1、已知圓心為，半徑為， 如何求的圓的方程？ 運(yùn)用上節(jié)課求曲線方程的方法，從圓的定義出發(fā)，正確地推導(dǎo)出：這個(gè)方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ：若圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，這時(shí)，則圓的方程就是3、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要三個(gè)量確定了且0，圓的方程就給定了。這就是說要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，確定，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決三、講解范例：例1 求以C(1,3)為圓心，并且和直線相切的圓的方程解：已知圓心坐標(biāo)C(1,3)，

3、故只要求出圓的半徑，就能寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。因?yàn)閳AC和直線相切，所以半徑就等于圓心C到這條直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得因此，所求的圓的方程是 變式：求以C(1,3)為圓心，且和直線截得的弦長為8的圓的方程。（注：在求圓的方程時(shí)，要注意運(yùn)用圓的幾何意義，使問題解決簡化）例2已知圓的方程，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程分析：此題關(guān)鍵是求切線的斜率，為此須分兩種情形討論。 解：如圖，設(shè)切線的斜率為，半徑OM的斜率為， 因?yàn)閳A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，于是 經(jīng)過點(diǎn)M的切線方程是 ，整理得 因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所求切線方程是點(diǎn)評：1、 “待定系數(shù)法”：即設(shè)出圓的切線方程，將其代入到圓的方程，得到一個(gè)關(guān)

4、于或的一元二次方程，利用判別式進(jìn)行求解。但此法不如用幾何方法簡練實(shí)用。幾何方法：利用圓心到直線的距離等于半徑(本題利用了圓心到切點(diǎn)的距離為半徑的知識)，由此確定了斜率的，從而得到點(diǎn)斜式的切線方程。以上兩種方法只能求出存在斜率的切線，若斜率不存在，則要結(jié)合圖形配補(bǔ)。2、若圓的方程是：，是圓上一點(diǎn)，則過M的切線方程是：。例3求過點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程解一：（待定系數(shù)法）設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離等于半徑，解得， 切線方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑解二：利用切線方程公式，關(guān)鍵是求出切點(diǎn)坐標(biāo)。例4一圓過原點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在直線上，求此圓的方程。（學(xué)

5、生思考、探索不同解法）解法一：（待定系數(shù)法）圓心在直線上， 設(shè)圓心坐標(biāo)為， 則圓的方程為， 點(diǎn)和在圓上，解得，所以，所求的圓的方程為解法二：（定義法）由題意：圓的弦的斜率為，中點(diǎn)坐標(biāo)為， 弦的垂直平分線方程為，即， 圓心在直線上，且圓心在弦的垂直平分線上， 由解得，即圓心坐標(biāo)為， 又圓的半徑，所以，所求的圓的方程為例5已知一圓與軸相切，在直線上截得的弦長為，圓心在直線上，求此圓的方程解：圓心在直線上，設(shè)圓的方程為， 圓與軸相切， 又圓心到弦的距離為， ，所以，所求的圓方程為或說明：（1）求圓的方程，常用待定系數(shù)法，要注意用部分條件設(shè)方程（少設(shè)未知數(shù)），再用其余的條件求待定的系數(shù)； 四、課堂練習(xí)

6、：P77T1、2、3、42、已知圓，求：（1）過點(diǎn)A（4，-3）的切線方程（2）過點(diǎn)B（-5，2）的切線方程分析：求過一點(diǎn)的切線方程，當(dāng)斜率存在時(shí)可設(shè)為點(diǎn)斜式，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在時(shí)，結(jié)合圖形驗(yàn)證；當(dāng)然若過圓上一點(diǎn)的切線方程，可利用公式求得解：（1）點(diǎn)A（4，-3）在圓上過點(diǎn)A的切線方程為：（2）點(diǎn)B（-5，2）不在圓上，當(dāng)過點(diǎn)B（-5，2）的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求切線方程為，即由，得此時(shí)切線方程為：當(dāng)過點(diǎn)B（-5，2）的切線斜率不存在時(shí)，結(jié)合圖形可知=-5，也是切線方程綜上所述，所求切線方程為：或=-5五、小結(jié) ：1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念及推導(dǎo)；

7、2如何求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：待定系數(shù)法、定義法3求圓的切線方程的常用方法：公式法、待定系數(shù)法。圓的方程（圓的一般方程）教學(xué)目標(biāo)：1.掌握圓的一般方程，知道它的特點(diǎn)；2.能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心坐標(biāo)和半徑；3.能用待定系數(shù)法由已知條件求出圓的方程教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：1、寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？2、求圓的方程的方法？3、經(jīng)過一點(diǎn)求圓的切線方程的方法？（二）新課講解：1圓的一般方程 將上述標(biāo)準(zhǔn)方程展開，整理，得，可見，任何一個(gè)圓的方程都可以寫成的形式。反過來，形如的方程的曲線是否一定是圓呢？（學(xué)生思考、探索） 將配方得： 把方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較，可以看出： （1）當(dāng)時(shí)，方程表示以為

8、圓心，為半徑的圓； （2）當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)； （3）當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，此時(shí)，我們把方程叫做圓的一般方程2圓的一般方程形式上的特點(diǎn)： （1）和的系數(shù)相同，且不等于； （2）沒有這樣的二次項(xiàng) 以上兩點(diǎn)是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件充要條件是？（A=C0，B=0，）說明：1、要求圓的一般方程，只要用待定系數(shù)法求出三個(gè)系數(shù)、就可以了2、圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有什么優(yōu)點(diǎn)？（圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：有利于作圖。一般方程：有利于判別二元二次方程是不是圓的方程）（三）例題分析：例1求過三點(diǎn)、的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)解：設(shè)所求的圓方程為， 、在圓上

9、，解得，所求的圓方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為注意：由于所求的圓過原點(diǎn)，可設(shè)原的方程為；本題也可以換一種說法：已知中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別、，求的外接圓的方程例2已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)、距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線解：設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，由題意：， ，化簡得，這就是所求的曲線方程把方程配方得：，所以方程的曲線是以為圓心，為半徑的圓（作圖）注意：本題也可以一般化 已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)、距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線提示：以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可以按照上例的方法求解。可得：要注意討論對曲線的形狀的影響例3已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，定點(diǎn)

10、，若，求實(shí)數(shù)的值解：設(shè)、， 由，消去得：， 由題意：方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， 由韋答定理：， ，即， 即， ， ，代入得：，即，適合，所以，實(shí)數(shù)的值為圓的方程（圓的參數(shù)方程）教學(xué)目標(biāo)：1.理解圓的參數(shù)方程，能熟練求出圓心在原點(diǎn)、半徑為的圓的參數(shù)方程；2.理解參數(shù)的意義；3.理解圓心不在原點(diǎn)的圓的參數(shù)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑熟練地求出圓的參數(shù)方程；4.能進(jìn)行圓的一般方程和圓的參數(shù)方程的互化，并能用之解題教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程2、P（x,y）是圖形F上的任意一點(diǎn)，它在平移后圖形F上的對應(yīng)點(diǎn)為P(x,y),平移向量為（h,k）=.則平移公式是？（二）新課講解：（點(diǎn)題：圓的

11、參數(shù)方程）1圓的參數(shù)方程的推導(dǎo) （1）設(shè)圓的圓心在原點(diǎn)，半徑是，圓與軸的正半軸的交點(diǎn)是，設(shè)點(diǎn)在圓上從開始按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的位置與旋轉(zhuǎn)角有密切的關(guān)系：當(dāng)確定時(shí)，點(diǎn)在圓上的位置也隨著確定；當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在圓上的位置也隨著變化這說明，點(diǎn)的坐標(biāo)隨著的變化而變化設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，你能否將、分別表示成以為自變量的函數(shù)？根據(jù)三角函數(shù)的定義， 顯然，對于的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)都在圓上。我們把方程組叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為的圓的參數(shù)方程，是參數(shù)（2）圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程是怎樣的？圓可以看成由圓按向量平移得到的（如圖），由可以得到圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）2參數(shù)方程的概念在

12、取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)、都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)，即并且對于的每一個(gè)允許值，方程組所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系、之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程將曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，可得到曲線的普通方程。參數(shù)方程和普通方程可以互化如：將圓的參數(shù)方程的參數(shù)消去，就得到圓的普通方程（三）例題分析：例1把下列參數(shù)方程化為普通方程：（1）（為參數(shù)）（2）（為參數(shù)）（3）（t為參數(shù)）解：（1）(利用同角公式化簡)，由得，這就是所求的普通方程（2）（整體代入消元）由原方程組得，把

13、代入得，化簡得：（），這就是所求的普通方程（3）平方后加減消元說明：1、將參數(shù)方程和普通方程的互化，要注意參數(shù)的取值范圍與、的取值范圍之間的制約關(guān)系，保持等價(jià)性2、注意消參的方法，及參數(shù)的幾何性質(zhì)。例2如圖，已知點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？解：設(shè)點(diǎn)，圓的參數(shù)方程為，設(shè)點(diǎn)，由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓【思考】：這個(gè)問題不用參數(shù)方程怎么解？（相關(guān)點(diǎn)法）又解：設(shè)， 點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在圓上， 即點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓變式：若Q分的比為1：2，求Q點(diǎn)的軌跡方程。例3：設(shè)圓（為參數(shù)）上有且僅有兩點(diǎn)到直線-4x+3y=2的距離等于1，則r的取值范圍是 例4已知實(shí)數(shù)、滿足，（1）求的最大值；（2）求的最小值解：原方程